Ricerche di geometria analitica/11

by Eugenio Beltrami

Questo testo è riletto e controllato.

Eugenio Beltrami - Ricerche di geometria analitica (1879)

Capitolo 11

◄

10

12

►

§ 11.

Consideriamo l’equazione

(1)	$\sum _{0}^{n}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}=0$,

nella quale le u sono $n+1$ funzioni lineari delle coordinate x, y, z, t d’un punto dello spazio, le $A$ e le $a$ sono costanti e $\lambda$ è un parametro arbitrario. Quest’equazione rappresenta un piano il quale, al variare di $\lambda$, inviluppa una sviluppabile della classe $n$ al più. Fra i piani tangenti di questa sviluppabile, o fra i piani osculatori della linea gobba che ne è lo spigolo regresso, vi sono gli $n+1$ piani fondamentali $u=0$, che corrispondono ai valori $\lambda =a_{0}$, $a_{1},\ldots a_{n}$. Ma se, designando con $\lambda '$, $\lambda '',\ldots \lambda ^{(n-m)}$ $n-m$ valori particolari (fissi) di $\lambda$, si stabiliscono fra le $n+1$ funzioni lineari u le seguenti relazioni identiche

(2)

$\sum {\frac {Au}{\lambda '-a}}=0$,

$\sum {\frac {Au}{\lambda ''-a}}=0,\cdots \sum {\frac {Au}{\lambda ^{n-m}-a}}=0$,

la classe della sviluppabile discende evidentemente da $n$ ad $m$. Il numero $n-m$ di tali relazioni non può mai superare $n-3$, epperò $m$ non può mai essere minore di $3$ nè maggiore di $n$.

Eliminando le $2n-2$ costanti essenzialmente arbitarie dell’equazione (1) dalle $4(n-m)$ equazioni che si ottengono dalle (2) eguagliando separatamente a zero, in ciascuna, i coefficienti di x, y, z, t, rimangono

$2(n+1-2m)$

relazioni fra le sole coordinate degli $n+1$ piani $u=0$. Di questi piani $2m$ sono dunque arbitrarii; ogni altro piano deve soddisfare a due condizioni per entrare a far parte d’un equazione della forma (1), cioè per essere osculatore d’una linea di classe m già osculata dai primi $2m$ piani. E poichè una linea gobba razionale di classe $m$ è generalmente determinata da $2m$ piani osculatori arbitrarii, così l’equazione (1), accompagnata delle condizioni (2), è generalmente atta a rappresentare il piano osculatore variabile d’una linea gobba razionale di classe m, colla sola restrizione che il numero $n+1$ dei piani $u=0$ sia sempre maggiore di $m$.

Quando m è $>3$ le relazioni (2) non costituiscono che una parte delle $n-3$ relazioni lineari che devono sussistere fra le $n+1$ funzioni $u$. Ne rimangono ancora $m-3$, della forma

$\sum cu=0$,

dove le $c$ sono costanti; relazioni delle quali si deve tener conto al bisogno.

Le riduzioni svolte nel § 6 si applicano senz’altro anche al caso attuale.

E parimente sussistono le condizioni del § 7, che ora debbonsi invece riferire ai piani tangenti doppii o stazionarii.

Il caso più semplice dell’uso dei piani stazionatii come piani fondamentali è offerto dall’equazione

(3)	${\frac {Ax}{(\lambda -a)^{2}}}+{\frac {By}{(\lambda -b)^{2}}}+{\frac {Cz}{(\lambda -c)^{2}}}+{\frac {Dt}{(\lambda -d)^{2}}}=0$,

la quale si presenta nel modo più semplice e naturale allo studio della linea gobba di 4° ordine e di 2^a specie.

Se in questa equazione si sostituiscono al posto di x, y, z, t i valori dati dalle formole

(4)	$x:y:z:t$
	$={\frac {(\lambda -a)^{2}(\mu _{1}-a)(\mu _{2}-a)}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{2}(\mu _{1}-b)(\mu _{2}-b)}{Bf'(b)}}$
	$:{\frac {(\lambda -c)^{2}(\mu _{1}-c)(\mu _{2}-c)}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{2}(\mu _{1}-d)(\mu _{2}-d)}{Df'(d)}}$

essa risulta identicamente soddisfatta, qualunque sieno le qualità $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$, talchè queste formole rappresentano le coordinate, variabili con $\mu _{1}$ e con $\mu _{2}$, d’un punto qualunque del piano osculatore $\lambda$ della quartica.

Se si fa $\mu _{2}=\lambda$, ossia se si pone

(5)	$x:y:z:t$
	$={\frac {(\lambda -a)^{3}(\mu _{1}-a)}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{3}(\mu _{1}-b)}{Bf'(b)}}$
	$:{\frac {(\lambda -c)^{3})(\mu _{1}-c)}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{3}(\mu _{1}-d)}{Df'(d)}}$,

sono soddisfatte a un tempo, qualunque sia $\mu _{1}$, l’equazione (3) e la sua derivata rapporto a $\lambda$, talchè queste formole rappresentano le coordinate, variabili con $\mu _{1}$, d’un punto qualunque della tangente $\lambda$ della quartica, ossia d’un punto della sviluppabile di cui questa curva è spigolo regresso.

E finalmente, se si fa anche $\mu _{1}=\lambda$ ossia se si pone

(6)	$x:y:z:t$
	$={\frac {(\lambda -a)^{4}}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{4}}{Bf'(b)}}:{\frac {(\lambda -c)^{4}}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{4}}{Df'(d)}}$,

sono soddisfatte a un tempo l’equazione (3) e le sue derivate, prima e seconda, rapporto a $\lambda$, talchè queste formole rappresentano le coordinate nel punto $\lambda$ nella quartica.

Per conoscere il significato delle variabili denotate dinanzi con $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$, consideriamo l’equazione

(7)	${\frac {Ax}{(\lambda -a)(\mu -a)}}+{\frac {By}{(\lambda -b)(\mu -b)}}$
	$+{\frac {Cz}{(\lambda -c)(\mu -c)}}+{\frac {Dt}{(\lambda -d)(\mu -d)}}=0$.

Tenendo $\lambda$ costante e lasciando variare $\mu$, quest’equazione rappresenta il piano osculatorio variabile d’una cubica gobba che diremo cubica $lambda$. Fra questi piani osculatori vi sono sempre i quattro piani fondamentali, cioè i piani stazionarii della quartica. Inoltre la cubica $\lambda$ e la quartica hanno in comune il punto $\lambda$ e la tangente in esso. Sieno ora $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, $\mu _{3}$ i parametri dei tre piani osculatori della cubica $\lambda$ che passano pel punto qualunque $(xyzt)$: dalle formole del § 9 si ha

$px={\frac {(\lambda -a)(\mu _{1}-a)(\mu _{2}-a)(\mu _{)}}{Af'(a)}},\qquad {\text{ecc.}}$

Se il punto $(xyzt)$ è preso nel piano $\lambda$, una delle quantità $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, $\mu _{3}$, per esempio $\mu _{3}$, è $=\lambda$, e si ottengono così le formole (4). Dunque $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ sono i paramenti dei due piani osculatori, distinti da $\lambda$, che si possono condurre alla cubica $\lambda$ dal punto $(xyzt)$ del piano $\lambda$. Se poi si fa anche $\mu _{2}=\lambda$, si ottengono le formole (5), epperò la variabile $\mu _{1}$ rappresenta in queste formole il paramento dell’unico piano, distinto da $\lambda$, che si può condurre alla cubica $\lambda$ dal punto $(xyzt)$ della tangente $\lambda$ della quartica.

Facendo nelle formole (4) $\mu _{1}=\mu _{2}=\mu$, cioè ponendo

(8)	$x:y:z:t$
	$={\frac {(\lambda -a)^{2}(\mu -a)^{2}}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{2}(\mu _{b})^{2}}{Bf'(b)}}$
	$:{\frac {(\lambda -c)^{2}(\mu -c)^{2}}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{2}(\mu -d)^{2}}{Df'(d)}}$,

si ottengono le coordinate del punto d’intersezione del piano osculatore $\lambda$ della quartica colla tangente $\mu$ della cubica $\lambda$, punto che al variare di $\mu$ genera nel piano anzidetto una conica, com’è notissimo, e come d’altronde risulta dalle formole stesse. Stante la simmetria di queste formole rispetto a $\lambda$ ed a $\mu$, il detto punto è anche l’intersezione del piano osculatore $\mu$ della quartica colla tangente $\lambda$ della cubica $\mu$. Se nelle formole (8) si considerano come simultaneamente variabili $\lambda$ e $\mu$, le coordinate x, y, z, t appartengono al punto variabile d’una superficie. Questa superficie, che può essere considerata come l’inviluppo del piano (7), qualora nell’equazione di questo si facciano variare ad un tempo $\lambda$ e $\mu$, contiene per intero la quartica, la quale è rappresentata sovr’essa dall’equazione $\lambda =\mu$, ed è il luogo di tutte le coniche secondo le quali ciascun piano osculatore $\lambda$ della quartica è intersecato dalle corrispondenti sviluppabili $\lambda$. L’equazione locale di questa superficie è

${\sqrt {\frac {Ax}{f'(a)}}}+{\sqrt {\frac {By}{f'(b)}}}+{\sqrt {\frac {Cz}{f'(c)}}}+{\sqrt {\frac {Dt}{f'(d)}}}=0$,

e la sua equazione tangenziale

${\frac {A}{pf'(a)}}+{\frac {B}{qf'(b)}}+{\frac {C}{rf'(c)}}+{\frac {D}{sf'(d)}}=0$.

È più comodo scrivere

$Af'(a)$,

$Bf'(b)$,

$Cf'(c)$,

$Df'(d)$

in luogo rispettivamente di

A,

B,

C,

D.

Così facendo, l’equazione del piano osculatore della quartica prende la forma

(3)'	${\frac {Af'(a)x}{(\lambda -a)^{2}}}+{\frac {Bf'(b)y}{(\lambda -b)^{2}}}+{\frac {Cf'(c)z}{(\lambda -c)^{2}}}+{\frac {Df'(d)t}{(\lambda -d)^{2}}}=0$,

e le coordinate del punto variabile di questa linea sono date da

(6)'	$x:y:z:t$,
	$={\frac {(\lambda -a)^{4}}{A\left\{f'(a)\right\}^{2}}}:{\frac {(\lambda -b)^{4}}{B\left\{f'(b)\right\}^{2}}}:{\frac {(\lambda -c)^{4}}{C\left\{f'(c)\right\}^{2}}}:{\frac {(\lambda -d)^{4}}{D\left\{f'(d)\right\}^{2}}}$.

Se le quantità a, b, c, d variano in modo che il rapporto armonico $(abcd)$ rimanga costante, la quartica rimane inalterata. Infatti sieno $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ quattro nuove quantità tali che si abbia

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

In tal caso è notissimo che si ppossono determinare le costanti $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ in modo che, designando con $e$ una qualunque delle quantità a, b, c, d e con $e'$ la corrispondente fra le quantità $a'$, $b'$, $c'$, $d'$, si abbia

$e'={\frac {\alpha e+\beta }{\gamma e+\delta }}$;

e reciprocamente. Da questa relazione si deduce

$a'-b'={\frac {a-b}{(\gamma a+\delta )(\gamma b+\delta )}}(a\delta -\beta \gamma ),\qquad {\text{ecc.}}$

epperò

$f'(e')={\frac {f'(e)}{(\gamma e+\delta )^{2}}}{\frac {(a\delta -\beta \gamma )^{3}}{(\gamma a+\delta )(\gamma b+\delta )(\gamma c+\delta )(\gamma d+\delta )}}$,

ossia

$f'(e')={\frac {Mf'(e)}{(\gamma e+\delta )^{2}}}$,

dove $M$ è un fattore simmetrico rispetto ad a, b, c, d. Di qui si trae

${\frac {f'(e')}{(\lambda '-e')^{2}}}={\frac {Mf'(e)}{\left\{\gamma '(\gamma e+\delta )-(\alpha e+\beta )\right\}^{2}}}$

ossia

${\frac {f'(e')}{(\lambda '-e')^{2}}}={\frac {Nf'(e)}{(\lambda -e)^{2}}}$,

dove $N$ è un nuovo fattore simmetrico rispetto ad a, b, c, d e $\lambda$ è una variabile legata a $\lambda '$ nella relazione

$\lambda ={\frac {\delta \lambda '-\beta }{\alpha -\gamma \lambda '}}$

ossia

$\lambda '={\frac {\alpha \lambda +\beta }{\gamma \lambda +\delta }}$.

Ne risulta che sostituendo le quantità $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ alle a, b, c, d senza mutare la variabile $\lambda$, si ottiene lo stesso risultato (nella formazione dell’equazione (3)') che tenendo immutate quelle quantità sostituendo

${\frac {\delta \lambda -\beta }{\alpha -\gamma \lambda }}$

al posto di $\lambda$, con che il sistema dei piani (3)' resta inalterato.

Se invece il rapporto armonico $(abcd)$ cambia, la quartica cambia anch’essa, restando però sempre sulla superfici rappresentata dall’equazione locale

${\sqrt {Ax}}+{\sqrt {By}}+{\sqrt {Cz}}+{\sqrt {Dt}}=0$,

o dall’equazione tangenziale

${\frac {A}{p}}+{\frac {B}{q}}+{\frac {C}{r}}+{\frac {D}{s}}=0$.

Questa superficie è lìinviluppo del piano rappresentato dall’equazione

(7)'	${\frac {Af'(a)x}{(\mu -a)(\nu -a)}}+{\frac {Bf'(b)y}{(\mu -b)(\nu -b)}}$,
	$+{\frac {Cf'(c)z}{(\mu -c)(\nu -c)}}+{\frac {Df'(d)t}{(\mu -d)(\nu -d)}}=0$,

nella quale $\mu$ e $\nu$ sono due parametri indipendenti; e le coordinate dei punti di questa superficie sono date da

(8)'	$x:y:z:t$,
	$={\frac {(\mu -a)^{2}(\nu -a)^{2}}{A\left\{f'(a)\right\}^{2}}}:{\frac {(\mu -b)^{2}(\nu -b)^{2}}{B\left\{f'(b)\right\}^{2}}}$
	$:{\frac {(\mu -c)^{2}(\nu -c)^{2}}{C\left\{f'(c)\right\}^{2}}}:{\frac {(\mu -d)^{2}(\nu -d)^{2}}{D\left\{f'(d)\right\}^{2}}}$.

Siccome poi, per $\mu =\lambda ,\nu =\lambda$, le formole (7)' ed (8)' coincidono rispettivamente colle (3)' e (6)', così ognuna delle quartiche considerate è tal linea della superficie, che i punti tangenti a questa nei punti di quella sono al tempo stesso piani osculatori della linea. Ne consegue che ognuna di quelle quartiche è una limea assintotica della superficie luogo di esse. Facendo variare le a, b, c, d in modo che il rapporto anarmonico $(abcd)$ prenda tutti i valori possibili, si ottengano tutte le line assintotiche della superficie, e da quest’osservazione è facile concludere che ogni piano tangente sega la superficie secondo due coniche.

Questa superficie è dunque la celebre superficie di Steiner, detta anche superficie romana, alla quale è più specialmente consacrato il § seguente. Il metodo seguito in esso, oltre servire di esemplificazione al concetto generale formulato al principio del § stesso, conduce nel modo più semplice e più elementare allo studio delle superficie in discorso, e rende ragione a priori delle formole (7)' (8)' trovate incidentalmente nel presente §; formole che contengono, apparentemente, un numero di parametri arbitrarii maggiore del bisogno, e che, per tal ragione, possono forse sembrare meno idonee all’uopo.