Ricerche di geometria analitica/12

by Eugenio Beltrami

Capitolo 12

../11 IncludiIntestazione 15 marzo 2025 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Eugenio Beltrami - Ricerche di geometria analitica (1879)

Capitolo 12

◄

11

§ 12.

I vantaggio che offre la forma d’equazioni da noi fin quì adoperata per rappresentare gli elementi variabili (punto, retta, piano) nello studio dei luoghi risultanti da un’infinità semplice di tali elementi (linee piane, linee gobbe, sviluppabili), suggerisce naturalmente l’idea di cercarne l’applicazione diretta^[1]

Non è forse lecito sperare che tale applicazione si possa fare con eguale facilità e vantaggio, nè ora intendiamo di addentrarci in questa ricerca. Non vogliamo però chiudere il presente scritto senza dare almeno un saggio della possibilità e dell’utilità di tale ulteriore applicazione; e ciò faremo coll’assumere ad equazione di un piano variabile la seguente

${\frac {x}{a_{1}\lambda +a_{2}\mu +a_{3}}}+{\frac {y}{b_{1}\lambda +b_{2}\mu +b_{3}}}$

$+{\frac {z}{c_{1}\lambda +c_{2}\mu +c_{3}}}+{\frac {t}{d_{1}\lambda +d_{2}\mu +d_{3}}}=0$

dove $\lambda$ e $\mu$ sono due parametri indipendenti. Questa forma d’equazione si presenta spontaneamente come la più semplice possibile, quando si cerca un riscontro, nell’ipotesi di due parametri indipendenti, alle forme adoperate in quella d’un parametro solo: essa risulta, infatti, dall’equazione della tangente variabile d’una conica inscritta aggiungendo una coordinata ed un parametro.

Per maggiore simmetria introdurremo tre parametri omogenei, scrivendo $\lambda _{1}:\lambda _{3}$ invece di $\lambda$ e $\lambda _{2}:\lambda :3$ invece di $\mu$, e porremo inoltre

(1)	${\begin{cases}a_{1}\lambda _{1}+a_{2}\lambda _{2}+a_{3}\lambda _{3}=\alpha ,\\b_{1}\lambda _{1}+b_{2}\lambda _{2}+b_{3}\lambda _{3}=\beta ,\\c_{1}\lambda _{1}+c_{2}\lambda _{2}+c_{3}\lambda _{3}=\gamma ,\\d_{1}\lambda _{1}+d_{2}\lambda _{2}+d_{3}\lambda _{3}=\delta ;\end{cases}}$

che con l’equazione del piano variabile prende la forma

(2)	${\frac {x}{\alpha }}+{\frac {y}{\beta }}+{\frac {z}{\gamma }}+{\frac {t}{\delta }}=0$.

E poichè le quattro funzioni $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, lineari ed omogenee rispetto ai parametri $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, sono necessariamente legate da una relazione lineare ed omogenea, supporremo che tale relazione sia

(3)	$A\alpha +B\beta +C\gamma +D\delta =0$,

dove le A, B, C, D sono quattro costanti, i cui rapporti sono determinati dalle tre equazioni

(3)'

$Aa_{1}+Bb_{1}+Cc_{1}+Dd_{1}=0$,

$i=1,2,3$.

Ciò premesso, è facilissimo trovare le coordinate del punto variabile $(xyzt)$ della superficie inviluppo, che diremo superficie $\Sigma$. Queste coordinate soddisfano, infatti, all’equazione del piano mobile ed alle due derivate di essa rispetto ai parametri $\lambda$ e $\mu$, o, ciò che torna lo stesso, soddisfanno alle tre derivate dell’equazione (2) rispetto ai parametri omogenei $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, vale a dire alle tre equazioni

${\frac {a_{1}x}{\alpha ^{2}}}+{\frac {b_{1}y}{\beta ^{2}}}+{\frac {c_{1}z}{\gamma ^{2}}}+{\frac {d_{1}t}{\delta ^{2}}}=0$,

$i=1,2,3$

le quali, confrontate colle (3)', danno subito

(4)	$x:y:z:t=A\alpha ^{2}:B\beta ^{2}:C\gamma ^{2}:D\delta ^{2}$.

Le coordinate del piano tangente in questo punto sono, in virtù della stessa equazione (2), date da

(5)	$p:q:r:s={\frac {1}{\alpha }}:{\frac {1}{\beta }}:{\frac {1}{\gamma }}:{\frac {1}{\delta }}$.

Ne risulta che fra le coordinate locali e le tangenziali relative ad uno stesso punto della superficie si hanno le relazioni

(6)	$p^{2}x:q^{2}y:r^{2}z:s^{2}t=A:B:C:D$,

donde

$px:qy:rz:st$

$={\frac {A}{p}}:{\frac {B}{q}}:{\frac {C}{r}}:{\frac {D}{s}}$

$={\sqrt {Ax}}:{\sqrt {By}}:{\sqrt {Cz}}:{\sqrt {Dt}}$.

Quindi l’equazione di definizione

$px+qy+rz+st=0$

dà luogo, per la superficie $\Sigma$, alle due seguenti

(7)	${\sqrt {Ax}}+{\sqrt {By}}+{\sqrt {Cz}}+{\sqrt {Dt}}=0$,

(8)	${\frac {A}{p}}+{\frac {B}{q}}+{\frac {C}{r}}+{\frac {D}{s}}=0$,

la prima delle quali è l’equazione locale, la seconda è l’equazione tangenziale della superficie stessa. Questa superficie è dunque del 4° ordine e della 3^a classe.

I parametri omogenei $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, oppure (ciò che torna più comodo) le loro funzioni lineari $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, si possono considerare come coordinate omogenee d’un punto in un piano ausiliare, che diremo piano $\Lambda$, e che intenderemo quind’innanzi riferito al quadrilatero fondamentale

$\alpha =0$,

$\beta =0$,

$\gamma =0$,

$\delta =0$.

Si ottiene così una rappresentazione piena della superficie, nella quale ad ogni punto del piano $\Lambda$ corrisponde, in virtù delle equazioni (4), un punto unico ed individuato della superficie $\Sigma$, e ad ogni punto di questa, in generale, corrisponde un punto unico ed individuato di quello^[2].

Per iscoprire ora le proprietà più caratteristiche della superficie $\Sigma$, cerchiamo anzitutto qual linea di essa corrisponda ad una retta del piano $\Lambda$. Se $(\alpha _{0}\beta _{0}\gamma _{0}\delta _{0})$ ed $(\alpha _{1}\beta _{1}\gamma _{1}\delta _{1})$ sono due punti di questo piano, lo che suppone soddisfatte le condizioni

(9)	${\begin{cases}A\alpha _{0}+B\beta _{0}+C\gamma _{0}+D\delta _{0}=0,\\A\alpha _{1}+B\beta _{1}+C\gamma _{1}+D\delta _{1}=0,\end{cases}}$

un punto qualunque $(\alpha \beta \gamma \delta )$ della retta che li congiunge è determinato dalle equazioni

$\alpha :\beta :\gamma :\delta =(\alpha _{0}+\lambda \alpha _{1}):(\beta _{0}+\lambda \beta _{1}):(\gamma _{0}+\lambda \gamma _{1}):(\delta _{0}+\lambda \delta _{1})$.

Ne consegue che le coordinate x, y, z, t del punto corrispondente della superficie $\Sigma$ sono determinate (4) dalle equazioni

(10)	$x:y:z:t$
	$=A(\alpha _{0}+\lambda \alpha _{1})^{2}:B(\beta _{0}+\lambda \beta _{1})^{2}:C(\gamma _{0}+\lambda \gamma _{1})^{2}:D(\delta _{0}+\lambda \delta _{1})^{2},$

mentre le coordinate p, q, r, s del piano tangente nel punto stesso sono determinate (5) da queste altre

(11)	$p:q:r:s$,
	$={\frac {1}{\alpha _{0}+\lambda \alpha _{1}}}:{\frac {1}{\beta _{0}+\lambda \beta _{1}}}:{\frac {1}{\gamma _{0}+\lambda \gamma _{1}}}:{\frac {1}{\delta _{0}+\lambda \delta _{1}}}$.

Di quì si conclude che la linea della superficie $\Sigma$ corrispondente ad una retta del piano $\Lambda$ è una conica, e che i piani tangenti a $\Sigma$ lungo questa conica osculano una cubica gobba.

Il piano della conica è uno dei piani tangenti alla superficie lungo la conica stessa. Per dimostrar ciò denotiamo con $\lambda '$ un valor particolare di $\lambda$ con $p',q',r',s'$ i valori che risultano dalle formole 11 per $\lambda =\lambda '$, e sostituiamo i valori 10 delle x, y, z, t nell’equazione

(12)	$p'x+q'y+r'z+s't=0$

del piano $\lambda '$. Il primo membro di quest’equazione, ossia l’espressione

${\frac {A(\alpha _{0}+\lambda \alpha _{1})^{2}}{\alpha _{0}+\lambda '\alpha _{1}}}+{\frac {B(\beta _{0}+\lambda \beta _{1})^{2}}{\beta _{0}+\lambda '\beta _{1}}}+{\frac {C(\gamma _{0}+\lambda \gamma _{1})^{2}}{\gamma _{0}+\lambda '\gamma _{1}}}+{\frac {D(\delta _{0}+\lambda \delta _{1})^{2}}{\delta _{0}+\lambda '\delta _{1}}}$,

equivale alla seguente

$A(\alpha _{0}+\lambda '\alpha _{1})+B(\beta _{0}+\lambda '\beta _{1})+C(\gamma _{0}+\lambda '\gamma _{1})+D(\delta _{0}+\lambda '\delta _{1})$

$+2(\lambda -\lambda ')(A\alpha _{1}+B\beta _{1}+C\gamma _{1}+D\delta _{1})$

$-(\lambda -\lambda ')^{2}\left({\frac {A\alpha _{1}^{2}}{\alpha _{0}+\lambda '\alpha _{1}}}+{\frac {B\beta _{1}^{2}}{\beta _{0}+\lambda '\beta _{1}}}+{\frac {C\gamma _{1}^{2}}{\gamma _{0}+\lambda '\gamma _{1}}}+{\frac {D\gamma _{1}^{2}}{\delta _{0}+\lambda '\delta _{1}}}\right)$,

come si verifica a colpo d’occhio, scrivendo $\alpha _{0}+\lambda '\alpha _{1}+(\lambda -\lambda ')\alpha _{1}$ in luogo di $\alpha _{0}+\lambda \alpha _{1}$, ecc. Ma, per l’identità (9), quest’espressione si riduce alla sua ultima parte, epperò si annulla, qualunque sia $\lambda$, se $\lambda '$ soddisfa all’equazione

${\frac {A\alpha _{2}^{2}}{\alpha _{0}+\lambda '\alpha _{1}}}+{\frac {B\beta _{1}^{2}}{\beta _{0}+\lambda '\beta _{1}}}+{\frac {C\gamma _{1}^{2}}{\gamma _{0}+\lambda '\gamma _{1}}}+{\frac {D\delta _{1}^{2}}{\delta _{0}+\lambda '\delta _{1}}}=0$.

Ora quest’equazione, liberata dai denominatori, e tenuto conto delle identità (9), si riduce alla seguente

${\frac {A\alpha _{1}^{2}}{\alpha _{0}}}+{\frac {B\beta _{1}^{2}}{\beta _{0}}}+{\frac {C\gamma _{1}^{2}}{\gamma _{0}}}+{\frac {D\delta _{1}^{2}}{\delta _{0}}}$

$+\lambda '\left\{\left({\frac {A\alpha _{1}^{2}}{\alpha _{0}}}+{\frac {B\beta _{1}^{2}}{\beta _{0}}}+{\frac {C\gamma _{1}^{2}}{\gamma _{0}}}+{\frac {D\delta _{1}^{2}}{\delta _{0}}}\right)\left({\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{0}}}+{\frac {\beta _{1}}{\beta _{0}}}+{\frac {\gamma _{1}}{\gamma _{0}}}+{\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)\right.$

$\left.-\left({\frac {A\alpha _{1}^{3}}{\alpha _{0}^{2}}}+{\frac {B\beta _{1}^{3}}{\beta _{0}^{2}}}+{\frac {C\gamma _{1}^{3}}{\gamma _{0}}}+{\frac {D\delta _{1}^{3}}{\delta _{0}^{2}}}\right)\right\}=0$

che è, come si vede, lineare rispetto a $\lambda '$. Esiste dunque un valore unico e determinato di $\lambda '$, pel quale il corrispondente piano (12) contiene tutti i punti (10), epperò la conica luogo di questi punti è l’intersezione parziale della superficie $\Sigma$ con questo piano tangente. nel punto di contatto, la conica e la cubica gobba osculata dai piani tangenti hanno non solo un punto, ma eziandìo una tangente comune. Il piano poi della conica sega nuovamente la superficie secondo un’altra conica, giacchè ogni sezione piana della superficie è necessariamente un luogo di 4° ordine.

Quest’ultima proprietà della superficie $\Sigma$ appartiene ad ogni piano tangente. Per dimostrar ciò direttamente, basta osservare che un piano arbitrario

(13)	$p_{0}x+q_{0}y+r_{0}z+s_{0}t=0$

sega la superficie $\Sigma$ secondo una linea di 4° ordine, cui corrisponde nel piano $\Lambda$ la conica

(14)	$Ap_{0}\alpha ^{2}+Bq_{0}\beta ^{2}+Cr_{0}\gamma ^{2}+Ds_{0}\delta ^{2}=0$.

Questa conica appartiene ad un sistema lineare triplicemente infinito (considerando come arbitrarie le quantità $p_{0}$, $q_{0}$, $r_{0}$, $s_{0}$), nel quale è contenuta una doppia infinità di coniche spezzantisi in due rette. Per determinare queste coniche speciali bisogna porre fra le coordinate $\alpha _{0}$, $\beta _{0}$, $\gamma _{0}$, $\delta _{0}$ del loro punto doppio le relazione

(15)	${\begin{cases}p_{0}\alpha _{0}=q_{0}\beta _{0}=r_{0}\gamma _{0}=s_{0}\delta _{0},\\A\alpha _{0}+B\beta _{0}+C\gamma _{0}+D\delta _{0}=0,\end{cases}}$

dalle quali consegue che le coordinate $p_{0}$, $q_{0}$, $r_{0}$, s$_{0}$ d’ogni piano segante la superficie $\Sigma$ secondo una linea rappresentata nel piano $\Lambda$ da una coppia di rette, cioè secondo due coniche, sono vincolate dall’equazione

(15)'

${\frac {A}{p_{0}}}+{\frac {B}{q_{0}}}+{\frac {C}{r_{0}}}+{\frac {D}{s_{0}}}=0$,

che è appunto l’equazione tangenziale della superficie. Reciprocamente, per ogni piano tangente della superficie, cioè per ogni sistema di valori delle $p_{0}$, $q_{0}$, $r_{0}$, $s_{0}$ soddisfacenti alla relazione (15)', riesce possibile la determinazione delle coordinate $\alpha _{0}$, $\beta _{0}$, $\gamma _{0}$, $\delta _{0}$ in conformità alle condizioni (15).

Dalla forma di queste stesse condizioni emerge che ogni punto del piano $\Lambda$ è punto doppio d’una, e d’una sola, conica del sistema (14), e precisamente di quella che rappresenta la sezione fatta nella superficie $\Sigma$ da quel piano tangente il cui punto di contatto è rappresentato dal punto arbitrariamente assunto nel piano $\Lambda$.

Così, ogni retta di questo piano appartiene ad una, e ad una sola, di quelle coniche del sistema (14) che si spezzano in due rette. Ciò risulta a priori dal fatto che la conica della superficie, corrispondente ad una retta del piano, giace in un piano tangente, e che quindi la sezione completa fatta da questo piano nella superficie è rappresentata da una coppia di rette, una delle quali dev’essere necessariamente la data. Ma giova dimostrare direttamente quest’importante proprietà, per poterne ricavare altre conseguenze interessantissime.

Sia dunque

$A'\alpha +B'\beta +C'\gamma +D'\delta =0$

l’equazione della retta tracciata ad arbitrio nel piano $\Lambda$. Se, coll’ajuto di questa equazione e della (3), si eliminano dall’equazione (14) due delle coordinate $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ e si rende identico il risultato rispetto alle altre due, si trova, dopo un calcolo facile,

$Ap_{0}:Bq_{0}:Cr_{0}:Ds_{0}$

$=(AB)(AC')(AD'):(BC')(BD')(BA'):(CD')(CA')(CB'):(DA')(DB')(DC'),$

dove per brevità si è posto $(AB')=AB'-BA'$, ecc. La forma di questo risultato suggerisce di porre

${\frac {A}{A'}}=a$,

${\frac {B}{B'}}=b$,

${\frac {C}{C'}}=c$,

${\frac {D}{D'}}=d$,

con che la retta assunta ad arbitrio nel piano $\Lambda$ viene ad essere rappresentata dall’equazione

${\frac {A\alpha }{a}}+{\frac {B\beta }{b}}+{\frac {C\gamma }{c}}+{\frac {D\delta }{d}}=0$

nella quale le arbitrarie sono ora le quantità a, b, c, d. Per tale sostituzione, le formule trovate dinanzi per $p_{0}$, $q_{0}$, $r_{0}$, $s_{0}$ prendono la forma seguente:

$p_{0}:q_{0}:r_{0}:s_{0}={\frac {Af'(a)}{a^{2}}}:{\frac {Bf'(b)}{b^{2}}}:{\frac {Cf'(c)}{c^{2}}}:{\frac {Df'(d)}{d^{2})}}$,

dove

$f(\lambda )=(\lambda -a)(\lambda -b)(\lambda -c)(\lambda -d)$.

Questi valori soddisfano pel Lemma (III), alla condizione (15)', cioè appartengono ad un punto tangente. Assegnati così i valori di $p_{0}$, $q_{0}$, $r_{0}$, $s_{0}$, le coordinate $\alpha _{0}$, $\beta _{0}$, $\gamma _{0}$, $\delta _{0}$ di quel punto della retta data che è punto doppio della conica di cui essa fa parte restano determinate, in virtù delle equazioni (15), dalle formole

$\alpha _{0}:\beta _{0}:\gamma _{0}:\delta _{0}={\frac {1}{p_{0}}}:{\frac {1}{q_{0}}}:{\frac {1}{r_{0}}}:{\frac {1}{s_{0}}}$;

e finalmente le coordinate $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$, $t_{0}$ di quel punto della superficie che a questo corrisponde, cioè del punto ove ha luogo il contatto col piano $(p_{0}q_{0}r_{0}s_{0})$, sono determinate, in virtù delle equazioni (4), dalle formole

$x_{0}:y_{0}:z_{0}:t_{0}=A\alpha _{0}^{2}:B\beta _{0}^{2}:C\gamma _{0}^{2}+D\delta _{0}^{2}$.

Dunque, qualunque sieno le costanti a, b, c, d, cioè qualunque sia la retta tracciata nel piano $\Lambda$, esiste sempre una, ed una sola, conica del sistema (14) della quale essa fa parte, ed è pure determinato quel punto della retta che è punto doppio per questa conica.

Posto ciò, scriviamo $a-\lambda$, $b-\lambda$, $c-\lambda$, $d-\lambda$ al posto di a, b, c, d. Dietro quanto precede si ha:

(16)	${\frac {A\alpha }{\lambda -a}}+{\frac {B\beta }{\lambda -b}}+{\frac {C\gamma }{\lambda -c}}+{\frac {D\delta }{\lambda -d}}=0$

come equazione d’una retta arbitraria del piano $\Lambda$;

(16)'

$\alpha :\beta :\gamma :\delta ={\frac {(\lambda -a)^{2}}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{2}}{Bf'(b)}}:{\frac {(\lambda -c)^{2}}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{2}}{Df'(d)}}$

come coordinate di quel punto di essa che è punto doppio della conica cui essa appartiene nel sistema (14);

(16)''

$x:y:z:t={\frac {(\lambda -a)^{4}}{A\left\{f'(a)\right\}^{2}}}:{\frac {(\lambda -b)^{4}}{B\left\{f'(b)\right\}^{2}}}:{\frac {(\lambda -c)^{4}}{C\left\{f'(c)\right\}^{2}}}:{\frac {(\lambda -d)^{4}}{D\left\{f'(d)\right\}^{2}}}$,

come coordinate del punto della superficie $\Sigma$ che corrisponde al punto anzidetto del piano $\Lambda$; e finalmente

(16)'''

$p:q:r:s={\frac {Af'(a)}{(\lambda -a)^{2}}}:{\frac {Bf'(b)}{(\lambda -b)^{2}}}:{\frac {Cf'(c)}{(\lambda -c)^{2}}}:{\frac {Df'(d)}{(\lambda -d)^{2}}}$

come coordinate del piano che tocca la superficie nel punto (16) e che la sega secondo due coniche una delle quali è rappresentata nel piano $\Lambda$ dalla retta (16).

Ora l’equazione (16), in virtù dell’identità (3), rappresenta, per a, b, c, d costanti e $\lambda$ variabile, la tangente variabile d’una conica inscritta nel quadrilatero fondamentale, e le formole (16)' definiscono le coordinate del punto in cui questa conica è toccata dalla tangente (16). Possiamo dunque enunciare il teorema seguente: Data nel piano $\Lambda$ una retta qualunque, e data quindi la conica che tocca a un tempo a un tempo questa retta ed i quattro lati del quadrilatero fondamentale, al punto di contatto di questa conica colla retta data corrisponde un punto della superficie $\Sigma$: la sezione di questa superficie col piano tangente in detto punto è rappresentata nel piano $\Lambda$ da due rette delle quali una è la data.

Si può aggiungere, come corollario, che: Dato nel piano $\Lambda$ un punto qualunque, la conica del sistema (14) che ha ivi un punto doppio è costituita dalle tangenti alle due coniche che passano per questo punto e che sono inscritte nel quadrilatero fondamentale.

Da queste proposizioni scaturisce una proprietà importantissima. Le due tangenti principali della superficie $\Sigma$ in un punto qualunque di essa sono, evidentemente, le tangenti alle due coniche secondo le quali la superficie è segata dal piano tangente in quel punto. Le direzioni di queste tangenti condotte, nel punto corrispondente, alle due coniche passanti per questo punto ed inscritte nel quadrilatero fondamentale. Ne risulta che alle coniche del piano $\Lambda$ inscritte in questo quadrilatero corrispondono sulla superficie $\Sigma$ linee che hano dovunque per tangenti le tangenti princièali, corrispondono, cioè, le assintotiche della superficie. Dunque le assintotiche della superficie $\Sigma$ sono le linee di 4° ordine e di 2^a specie rappresentate dalle formole (16)'', mentre le loro immagini sul piano $\Lambda$ sono le coniche inscritte nel quadrilatero fondamentale e rappresentate dalle formole (16)'. Questa proprietà si verifica a posteriori osservando che le formole (16)''', le quali determinano i piani tangenti della superficie $\Sigma$ lungo la linea (16)'', determinano al tempo stesso i piani osculatori di questa linea: il che risulta immediatamente dal confronto delle formole (16)'' e (16)''' colle (6)' e (3)' del § 11. Dietro ciò che abbiamo già veduto nel § 4 ed in quest’ultimo, l’arbitrio che regna nella scelta delle costanti a, b, c, d si riduce a quello del rapporto armonico $(abcd)$, il quale è costante per una stessa assintotica, variabile dall’una all’altra: esso è il rapoorto armonico dei quattro punti in cui ciascuna assintotica tocca le quattro coniche singolari della superficie.

Possiamo ora renderci ragione chiaramente delle formole (7)' ed (8)' del precedente §. Designando con $\mu$ e $\nu$ i valori $\lambda$ relativi alle due rette del sistema (16) che passano per un punto qualunque $(\alpha \beta \gamma \delta )$ del piano $\Lambda$, cioè ponendo

(17)	$f(\lambda )\left\{{\frac {A\alpha }{\lambda -a}}+{\frac {B\beta }{\lambda -b}}+{\frac {C\gamma }{\lambda -g}}+{\frac {D\delta }{\lambda -d}}\right\}=M(\lambda -\mu )(\lambda -\nu ),$

dove M è la quantità indipendente da $\lambda$, si ha

(17)'

$\alpha :\beta :\gamma :\delta$

$={\frac {(\mu -a)(\nu -a)}{Af'(a)}}:{\frac {(\mu -b)(\nu -b)}{Bf'(b)}}:{\frac {(\mu -c)(\nu -c)}{Cf'(c)}}:{\frac {(\mu -d)(\nu -d)}{Df'(d)}}$,

epperò le coordinate locali e tangenziali del punto ad esso corrispondente sulla superficie $\Sigma$ sono date (4) (5) da

$x:y:z:t$

$={\frac {(\mu -a)^{2}(\nu -a)^{2}}{A\left\{f'(a)\right\}^{2}}}:{\frac {(\mu -b)^{2}(\nu -b)^{2}}{B\left\{f'(b)\right\}^{2}}}:{\frac {(\mu -c)^{2}(\nu -c)^{2}}{C\left\{f'(c)\right\}^{2}}}:{\frac {(\mu -d)^{2}(\nu -d)^{2}}{D\left\{f'(d)\right\}^{2}}},$

$p:q:r:s$

$={\frac {Af'(a)}{(\mu -a)(\nu -a)}}:{\frac {Bf'(b)}{(\mu -b)(\nu -b)}}:{\frac {Cf'(c)}{(\mu -c)(\nu -c)}}:{\frac {Df'(d)}{(\mu -d)(\nu -d)}}$.

Queste formole s’accordano perfettamente colle citate formole (7)' ed (8)' del § 11, e tale accordo mette in luce il significato geometrico delle variabili denotate qui e nel precedente § con $\mu$ e $\nu$, del pari che quello delle costanti a, b, c, d. Esso rende altresì ragione del perchè queste formole rappresentino una superficie unica ed individuata, qual’è appunto la $\Sigma$, malgrado l’indeterminazione delle costanti a, b, c, d.

Possiamo ora formare l’equazione generale della coppia di rette del piano $\Lambda$ che corrispondono alle intersezioni della superficie $\Sigma$ coi proprii piani tangenti. Sieno $\mu _{0}$, $\nu _{0}$ valori particolari (che supporremo diseguali) delle variabili $\mu$, $\nu$. L’equazione del piano tangente a $\Sigma$ nel punto $(\mu _{0}\nu _{0})$, considerata sotto la forma

$\sum {\frac {Af'(a)x}{(\mu _{0}-a)(\nu _{0}-a)}}=0$,

può scriversi così

$\sum {\frac {Af'(a)x}{\mu _{0}-a}}=\sum {\frac {Af'(a)x}{\nu _{0}-a}}$.

Sostituendo in quest’equazione i valori (8)' del § precedente, si ottiene

$\sum {\frac {(\mu -a)^{2}(\nu -a)^{2}}{(\mu _{0}-a)f'(a)}}=\sum {\frac {(\mu -a)^{2}(\nu -a)^{2}}{(\nu -a)f'(a)}}$,

ossia, in forza del Lemma (II),

(18)	${\frac {(\mu -\mu _{0})^{2}(\nu -\mu _{0})^{2}}{f(\mu _{0})}}={\frac {(\mu -\nu _{0})^{2}(\nu -\nu _{0})^{2}}{f(\nu _{0})}}$.

In virtù dell’identità (17) quest’equazione equivale alla seguente

$f(\mu _{0})\left\{{\frac {A\alpha }{\mu _{0}-a}}+{\frac {B\beta }{\mu _{0}-b}}+{\frac {C\gamma }{\mu _{0}-c}}+{\frac {D\delta }{\mu _{0}-d}}\right\}^{2}$

$=f(\nu _{0})\left\{{\frac {A\alpha }{\nu _{0}-a}}+{\frac {B\beta }{\nu _{0}-b}}+{\frac {C\gamma }{\nu _{0}-c}}+{\frac {D\delta }{\nu _{0}-d}}\right\}^{2}$,

e questa è appunto la cercata equazione della coppia di rette che rappresenta nel piano $\Lambda$ la suddetta intersezione.

Se nell’equazione (18) si considerano come costanti le $\mu$, $\nu$ e come variabili le $\mu _{0}$, $\nu _{0}$, si ha l’equazione in $\mu _{0}$, $\nu _{0}$ della linea di contatto fra la superficie $\Sigma$ ed i piani tangenti condotti ad essa dal punto $(\mu ,\nu )$ della superficie stessa. Anche di questa linea è facile avere l’immagine sul piano $\Lambda$. Infatti basta por mente all’equazione (2), per concludere subito che l’equazione

(19)	${\frac {x_{0}}{\alpha }}+{\frac {y_{0}}{\beta }}+{\frac {z_{0}}{\gamma }}+{\frac {t_{0}}{\delta }}=0$,

dove le $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$, $t_{0}$ sono costanti e le $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sono variabili legate dalla relazione (3), rappresenta la linea del piano $\Lambda$ che corrisponde alla linea di contatto della superficie $\Sigma$ coi piani tangenti condotti ad essa dal punto qualunque $(x_{0}y_{0}z_{0}t_{0})$. La linea piana è di 3° ordine e passa per i sei vertici del quadrilatero fondamentale: la linea di contatto sulla superficie è rappresentata dalle due equazioni simultanee

${\sqrt {Ax}}+{\sqrt {By}}+{\sqrt {Cz}}+{\sqrt {Dt}}=0$,

$x_{0}{\sqrt {\frac {A}{x}}}+y_{0}{\sqrt {\frac {B}{y}}}+z_{0}{\sqrt {\frac {C}{z}}}+t_{0}{\sqrt {\frac {D}{t}}}=0$.

Se poi il punto $(x_{0}y_{0}z_{0}t_{0})$ è preso sulla superficie stessa, e se è quello cui corrisponde nel piano il punto $(\alpha _{0}\beta _{0}\gamma _{0}\delta _{0})$, l’equazione (19) diventa

(20)	${\frac {A\alpha _{0}^{2}}{\alpha }}+{\frac {B\beta _{0}^{2}}{\beta }}+{\frac {C\gamma _{0}^{2}}{\gamma }}+{\frac {D\delta _{0}^{2}}{\delta }}=0$

e rappresenta una linea di 3° ordine passante, come nel caso generale, per i sei vertici del quadrilatero, ma avente inoltre un punto doppio in $(\alpha _{0}\beta _{0}\gamma _{0}\delta _{0})$.

Per esprimere razionalmente le coordinate dei punti di quest’ultima linea in funzione d’un parametro $\theta$, designanamo con $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$, $\theta _{4}$, $\theta _{5}$, $\theta _{6}$ i valori (necessariamente distinti) di questo parametro che corrispondono rispettivamente ai sei vertici

	$\beta =\gamma =0$,	$\gamma =\alpha =0$,	$\alpha =\beta =0$,
	$\alpha =\delta =0$,	$\beta =\delta =0$,	$\gamma =\delta =0$.

Per tale ipotesi, i cercati valori di $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ assuma la forma seguente:

	$A\alpha =\Theta a(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{4})$,
	$B\beta =\Theta b(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{5})$,
	$C\gamma =\Theta c(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{6})$,
	$D\delta =\Theta d(\theta -\theta _{4})(\theta -\theta _{5})(\theta -\theta _{6})$,

dove a, b, c, d sono coefficienti costanti e $\Theta$ è un fattor comune indeterminato. Ora, dovendo innanzi tutto essere soddisfatta l’identità (3), bisogna che per ogni valore di $\theta$ si abbia

$a(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{4})+b(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{5})$

$+c(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{6})+d(\theta -\theta _{4})(\theta -\theta _{5})(\theta -\theta _{6})=0$,

e perchè ciò avvenga basta che tale eguaglianza, nella quale $\theta$ sale al 3° grado, sussista per più di tre valori di $\theta$. Facendo successivamente $\theta =\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\theta _{4},\theta _{5},\theta _{6},$ e ponendo per comodo

$\theta _{r}-\theta _{s}=(rs)$,

si ottengono le sei equazioni

$a(31)(12)=d(15)(16),b(12)(23)=d(26)(24),c(23)(31)=d(34)(35)$

$b(34)(35)=c(24)(64),c(15)(56)=a(35)(45),a(26)(64)=b(16)(56)$

fra le quali si possono in quattro diversi modi eliminare le a, b, c, d. Per esempio, moltiplicando fra loro le ultime tre equazioni, membro a membro, si ha

(21)	$(15)(26)(34)=(16)(24)(35)$.

Questa relazione esprime che le tre coppie

$\theta _{1},\theta _{4};\quad \theta _{2},\theta _{5};\quad \theta _{3},\theta _{6}$

formano un’involuzione, e le altre relazioni analoghe esprimono la stessa cosa. Bisogna dunque primieramente che sia soddisfatta tale condizione; e, ciò ammesso, si possono adoperare tre delle sei equazioni precedenti per determinare i rapporti delle costanti a, b, c, d. Scegliendo a tal uopo le prime tre, si riconosce che è lecito porre

$a=(23)(15)(16)$,

$b=(31)(26)(24)$,

$c=(12)(34)(35)$,

$d=(23)(31)(12)$.

Possiamo dunque concludere intanto che le formole

(22)

${\begin{cases}\alpha =\Theta {\frac {(23)(15)(16)}{A}}(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{4}),\\\beta =\Theta {\frac {(31)(26)(24)}{B}}(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{4})(\theta -\theta _{5}),\\\gamma =\Theta {\frac {(12)(34)(35)}{C}}(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{4}),\\\delta =\Theta {\frac {(23)(31)(12)}{D}}(\theta -\theta _{4})(\theta -\theta _{5})(\theta -\theta _{6})\end{cases}}$

soddisfano all’identità (3) e rappresentano, per ciò, una linea razionale di 3° ordine passante pei sei vertici del quadrilatero fondamentale. Resta ora a vedere sotto quali altre condizioni questa linea coincida con quella rappresentata dall’equazione (20).

A tal fine designiamo con $\theta _{1}$ e $\theta _{j}$ i parametri degli elementi doppj dell’involuzione anzidetta, ed osserviamo che applicando alle coppie

$(i,i)$,

$(5,2)$,

$(3,6)$

la formula (22), si ha

(23)	${\frac {(i2)(i3)}{(i5)(i6}}=-{\frac {(23)}{(56)}}$,

epperò

	${\frac {(i2)(i3)}{(i5)(i6)}}={\frac {(j2)(j3)}{(j5)(j6)}}$,	ed analogamente
	${\frac {(i3)(i1)}{(i6)(i4)}}={\frac {(j3)(j1)}{(j6)(j4)}}$,
	${\frac {(i1)(i2)}{(i4)(i5)}}={\frac {(j1)(j2)}{(j4)(j5)}}$.

Da quì si trae

${\frac {(i2)(i3)(i4)}{(j2)(j3)(j4)}}={\frac {(i3)(i1)(i5)}{(j3)(j1)(j5)}}={\frac {(i1)(i2)(i6)}{(j1)(j2)(j6)}}={\frac {(i4)(i5)(i6)}{(j4)(j5)(j6)}}$,

ossia

$\alpha _{i}:\beta _{i}:\gamma _{i}:\delta _{i}=\alpha _{j}:\beta _{j}:\gamma _{j}:\delta _{j}$,

dove gli indici $i$ e $j$ servono a distinguere i valori delle $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ relativi a $\theta =\theta _{i}$ e $\theta =\theta _{j}$. Da ciò si conclude che ai due valori $\theta _{i}$ e $\theta _{j}$ del parametro $\theta$ corrisponde un solo e medesimo punto della curva, che è il punto doppio di essa, e che quindi si deve avere

(24)	$\alpha _{i}:\beta _{i}:\gamma _{i}:\delta _{i}=\alpha _{0}:\beta _{0}:\gamma _{0}:\delta _{0}$.

Per dimostrare che, quando ciò ha luogo, la cubica rappresentata dalle formole (22) è identica a quella rappresentata dall’equazione (20), osserviamo che, designando con $\theta '$ il parametro conjugato a $\theta$ nell’involuzione e con $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ le coordinate del punto ad esso corrispondente, dalle formole del tipo (23) si ha

$\theta '-\theta _{2}=(\theta -\theta _{5}){\frac {(\theta '-\theta _{1})(i2)}{(\theta _{1}-\theta )(i5)}}$,

$\theta '-\theta _{3}=(\theta -\theta _{6}){\frac {(\theta '-\theta _{i})(i3)}{(\theta _{i}-\theta )(i6)}}$,

$\theta '-\theta _{4}=(\theta -\theta _{1}){\frac {(\theta '-\theta _{i})(i4)}{(\theta _{1}-\theta )(i1)}}$,

epperò (22)

$A\alpha '=\Theta a(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{5})(\theta -\theta _{6})\left({\frac {\theta -\theta _{i}}{\theta _{i}-\theta }}\right)^{3}{\frac {(i2)(i3)(i4)}{(i1)(i5)(i6)}}$,

donde

$A^{2}\alpha \alpha '=\Theta \Theta '\alpha ^{2}(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{3})(\theta -\theta _{4})(\theta -\theta _{5})(\theta -\theta _{6})\times$

$\times \left({\frac {\theta '-\theta _{i}}{\theta _{i}-\theta }}\right)^{3}{\frac {(i2)(i3)(i4)}{(i1)(i5)(i6)}}$.

Formano le altre tre espressioni analoghe, si trova

${\frac {A^{2}\alpha \alpha '}{\left\{a(i2)(i3)(i4)\right\}^{2}}}={\frac {B^{2}\beta \beta '}{\left\{b(i3)(i1)(i5)\right\}^{2}}}={\frac {C^{2}\gamma \gamma '}{\left\{c(i1)(i2)(i6)\right\}^{2}}}={\frac {D^{2}\delta \delta '}{\left\{d(i4)(i5)(i6)\right\}^{2}}}$,

ossia

(25)	${\frac {\alpha \alpha '}{\alpha _{i}^{2}}}={\frac {\beta \beta '}{\beta _{i}^{2}}}={\frac {\gamma \gamma '}{\delta _{i}^{2}}}={\frac {\delta \delta '}{\delta _{i}^{2}}}$.

Da queste ultime relazioni risulta che essendo, per ogni valore di $\theta '$,

$A\alpha '+B\beta '+C\gamma '+D\delta '=0$,

dev’essere necessariamente, per ogni valore di $\theta$,

${\frac {A\alpha _{i}^{2}}{\alpha }}+{\frac {B\beta _{i}^{2}}{\beta }}+{\frac {C\gamma _{i}^{2}}{\gamma }}+{\frac {D\delta _{i}^{2}}{\delta }}=0$.

Ora quest’ultima equazione riesce appunto identica alla (20) sotto le condizioni (24).

Si può riassumere il fin qui dimostrato dicendo che, qualunque sieno le quantità $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$, $\theta _{4}$, $\theta _{5}$, $\theta _{6}$, purchè le coppie $(14),(25),(36)$ formino involuzione, le formole (22) definiscono una cubica piana razionale, il cui punto doppio corrisponde agli elementi doppii di quest’involuzione, e che rappresenta nel piano $\Lambda$ la linea di contatto fra la superficie $\Sigma$ ed il cono involvente che ha il vertice nel punto corrispondente al punto doppio della cubica.

---

Ponendo quì termine alle presenti ricerche, aggiungeremo che oltre le applicazioni che se ne potrebbero fare ulteriormente nel campo finora trattato; esse potrebbero eziandìo estendersi per altra guisa, e cioè sostituendo al posto delle coordinate $x,y,\ldots$ o delle loro funzioni lineari, funzioni omogenee di grado qualunque delle coordinate stesse. A quest’ordine di ricerche appartiene, in primo luogo, la dottrina delle coniche e delle quadriche omofocali, la quale, nell’aspetto analitico, è anzi quella che ha somministrato l’occasione ed il punto di partenza all’algoritmo generale qui adoperato. Ma tale estensione può concepirsi in modo assai più svariato, e, per accennare un esempio semplicissimo, le proposizioni svolte nell’ultimo §, ove si scrivesse $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $t^{2}$ in luogo di x, y, z, t, darebbero la teoria del sistema doppiamente infinito di quadriche inscritte in un ottaedro, sistema che fa riscontro, in un senso diverso dall’usato, a quello delle coniche omofocali del piano.

---

Note

1. Diciamo diretta; perchè la ricerca sul pentaedro, citata al § 9, mostra già la possibilità d’utilizzare indirettamente le equazioni e le considerazioni proprie del metodo fin qui svolto per lo studio di superficie non sviluppabili.
2. La completa discussione in proposito a ciò esigerebbe lo studio preliminare delle singolarità della superficie, studio sul quale non intendiamo trattenerci, tutto più ch’esso può riguardarsi come esaurito dalle belle ricerche di Cremona e di Clebsch. Qui non abbiamo altra mira che di applicare i procedimenti svolti nei §§ precedenti; nel che ci avverrà quasi sempre di ritrovare per altra via i risultati già noti: come si verifica in particolare per la determinazione delle assintotiche. Cfr. la Nota del prof. Cremona negli Atti dell’Istituto Lombardo (1867) e la Memoria di Clebsch nel t. 67 del Giornale di Borchardt.