Scientia - Vol. X/Philosophische Conzeption und mathematische Analyse in der Weltbetrachtung

by Autori vari

Norbert Herz

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Autori vari - Scientia - Vol. X

Philosophische Conzeption und mathematische Analyse in der Weltbetrachtung

Norbert Herz

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Scientia - Vol. X

L'évolution de l'espace et du temps

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PHILOSOPHISCHE KONZEPTION

UND MATHEMATISCHE ANALYSE

IN DER WELT BETRACHTUNG

Unser Wissen, welcher Art immer es auch sei und auf welcher Grundlage immer wir uns es auch aufgebaut denken, ist der jeweilige Stand der Erkenntnis der Natur. Wir erforschen die Natur der Dinge, der leblosen und der belebten, die Art und den Verlauf der Erscheinungen, das Wesen des Lebens, des Denkens, Fühlens und Wollens; denn auch die Pflanze, das Tier, der Mensch sind Glieder jenes gewaltigen Alls, das wir eben als «die Natur» bezeichnen.

Aus der einfachen Naturbetrachtung hervorgegangen, hat sieh verhältnismässig rasch die Naturerklärung hinzugesellt. Verhältnismässig rasch; denn wie lange es gedauert hat, bis der Mensch zu einer regelmässigen und systematischen Naturbetrachtung kam, bis überhaupt aus dem homo primigenius ein homo sapiens wurde, ist uns unbekannt; aber sobald der menschliche Geist an die genauere Verfolgung des Verlaufes der Erscheinungen herangetreten ist, diese zu vergleichen sich bestrebte, war auch bereits jene Stufe der Erkenntnis erreicht, auf welcher er sich mit diesem Wissen nicht mehr zufrieden gab, sondern einen kausalen Zusammenhang der Erscheinungen suchte.

Die Eintheilung der Naturwissenschaften in beschreibende (Naturgeschichte) und erklärende (Naturlehre oder Physik), ist daher kaum zutreffend. Der Begriff der Naturgeschichte, sofern dieselbe als eine systematische Wissenschaft sich mit dem Aufzählen und Beschreiben von Objekten beschäftigt, im Gegensatz zur Naturlehre, welche diese Erscheinungen erklären soll, kann nur aus didaktischen Gründen gebilligt werden, denn seit den ältesten Zeiten hat auch die Naturgeschichte sich die Aufgabe gestellt, eine Erklärung der Lebensvorgänge zu geben. Es ist daher nur berechtigt, wenn gegenwärtig allgemein der Name Biologie für den älteren, weniger korrekten Namen Naturgeschichte angewendet wird.

Ein auf den ersten Blick allerdings fundamentaler Unterschied scheint in den beiden Gebieten Biologie und Physik noch zu liegen: die biologischen Erscheinungen und Gesetze sind mit Ausnahme einiger weniger Fälle zum allergrössten Teile noch einer strengen d.i. mathematischen Behandlung nicht zugänglich, während physikalische Erscheinungen gegenwärtig, solange dieselben nicht durch mathematische Formeln dargestellt werden, als nicht ausreichend erklärt gelten. Wenn es heute jemand unternehmen wollte oder unternimmt — denn solche Fälle kommen in der Tat nicht allzu selten vor — eine physikalische Theorie aufzustellen, ohne dieselbe mathematisch zu verfolgen, so bleibt dieselbe immer lückenhaft und nicht genügend sichergestellt. Ob es sich nun um die Entstehung der Welt aus Gasnebeln, ob es sich um die Vergangenheit und Zukunft der Erde, um die auf derselben stattfindenden, ihre Veränderung bedingenden Prozesse handelt, oder ob es sich um die molekularen Veränderungen eines Körpers handelt, die seine chemische Beschaffenheit ändern, stets ist der Prüfstein einer Theorie die Rechnung. Wieviele Theorien wurden aufgestellt, die an sich geistvoll und sinnreich genannt zu werden verdienen und dennoch haltlos befunden wurden; wieviele Streitfragen wurden diskutiert, ohne dass sie zu einer Entscheidung geführt werden konnten, bis die mathematische Analyse sich derselben bemächtigte, welcher es erst gelang, einen Schritt nach vorwärts zur Lösung oder doch wenigstens Klärung derselben zu machen.

Allein die Rechnung vermag ein Problem nie anzugreifen ohne die nötigen Grundlagen aus der philosopischen Betrachtung zu gewinnen. Erst wenn ein Problem genügend durchdacht ist, womit sich oft auch eine genauere Präzisierung der Fragestellung ergibt, vermag die mathematische Analyse die Bedingungen für den Verlauf einer Erscheinung in eine für die Rechnung brauchbare Form einzukleiden. Dass der philosophischen Erklärung genügende empirische Daten zu Grunde liegen müssen, welche, wenn der mathematischen Behandlung unterworfen, weil Massbestimmungen betreffend, wenigstens in den meisten Fällen viel vollkommenerer Natur sein müssen, ist ja an sich klar.

So ist also der Weg den die Wissenschaft nimmt, in drei grosse Abteilungen zu gliedern: 1) die Sammlung empirischer Daten d. i. das Beobachten; 2) das Sammeln und Zusammenstellen der Beobachtungen, um eine Gesetzmässigkeit zu erkennen und abzuleiten; 3) die Ueberprüfung der durch die blosse Ueberlegung aufgestellten Gesetze durch Rechnung und Zusammenfassung derselben in mathematisches Gewand.

Welche mathematische Operation kann je zu dem Satze führen: Druck und Gegendruck müssen einander gleich sein? Dass ein Gas, welches zusammengedrückt wird, dem auf ihm lastenden Druck z. B. eines Kolbens einen Gegendruck infolge seiner Expansivkraft entgegenstellt, dass der Druck, welcher auf dem Kolben lastet und die Expansivkraft einander gleich sein müssen, muss durch Ueberlegung, durch das unmittelbare Denken erschlossen werden; wäre der äussere Druck grösser, so würde das Gas noch weiter zusammengedrückt; wäre die Expansivkraft grösser, so würde der Kolben zurückgeschoben; dieses dauert so lange, bis beide Kräfte sich das Gleichgewicht halten. Dass ein schwimmender Körper so tief in einer Flüssigkeit einsinkt, bis der Auftrieb der Flüssigkeit gleich ist dem Gewicht des schwimmenden Körpers folgt ebenso.

Aber die sämtlichen hier verwendeten Begriffe: Druck, Expansivkraft, Gewicht, Auftrieb, Kraft, sind Erfahrungsbegriffe, aus den Beobachtungen, allerdings selbst wieder durch die Ueberlegung konstruiert; und wie die Geschichte der Wissenschaften lehrt, erst relativ spät zur Erkenntnis gekommen.

Aber nicht nur Druck und Gegendruck — es möge das Beispiel von den Gasen noch einen Schritt weitergeführt werden — werden in Beziehung gebracht. Es ist unmittelbar klar und direkt der Vorstellung zugänglich, dass zwischen Druck und Volumen eine Beziehung bestehen muss. Wird ein Gas durch eine äussere Kraft zusammengedrückt, so liegt in dem Begriffe des «Zusammendrückens» eine Verkleinerung des Volumens, und man wird unmittelbar zu dem Satze geführt: Je grösser der Druck desto kleiner wird das Volumen und je kleiner das Volumen, desto grösser die Expansivkraft des Gases. Das Volumen wird von dem Druck, die Expansivkraft von dem Volumen abhängig gemacht. Aber mehr kann durch die blosse Ueberlegung nicht geschlossen werden; es kann, wenn der Druck 2, 3, 4 mal so gross wird, das Volumen auf die Hälfte, den dritten, den vierten Teil reduziert werden (umgekehrte einfache Proportionalität) oder auch bzw. auf den vierten, neunten, sechzehnten Teil u. s. w. (umgekehrte quadratische Proportionalität). Es könnte auch ein anderes Gesetz vorliegen: etwa dass bei gleich grossen Druckzunahmen das Volumen um gleiche Beträge vermindert werde (wie es sich für das Temperaturgesetz gezeigt hat). Es erforderte sehr genaue Versuche um das Gesetz der verkehrten einfachen Proportionalität (das Boyle-Mariottesche Gesetz) aufstellen zu können; und es erforderte noch viel genauere Versuche, um zu zeigen dass dieses Gesetz wohl, wenigstens innerhalb gewisser Grenzen als äusserst nahe richtig anzusehen ist, dass es aber trotzdem nicht vollkommen strenge ist, sondern nur als eine Näherungsformel für ein viel allgemeineres, innerhalb weiterer Grenzen giltiges Gesetz (das Van der Waals’sche Gesetz) angesehen werden muss.

Es wäre ein Irrtum zu glauben, dass in den ältesten Zeiten der geistigen Entwicklung des Menschengeschlechtes nicht von allen drei Stadien der Naturbetrachtung und Erklärung gesprochen werden könne. Wir treuen dieselben in den einfachsten Kenntnissen der Antike. Der Beobachtung des Sonnen- und Mondlaufes, der verschiedenen Stellung dieser Gestirne gegen den Horizont des Beobachtungsortes folgte die Erkenntnis der Gesetzmässigkeit dieser Veränderung und die Bestimmung der Jahres- und Monatslänge, der Beziehungen zwischen denselben, welche ja schon frühzeitig zu relativ guten Vorausbestimmungen (Kalender, Finsternisse) führten. Der Beobachtung gewisser anderer Gestirne (Wandelsterne) folgte die Erkenntnis der Regelmässigkeit ihrer Bewegungen und hierauf die Bestimmung der Masszahlen ihrer zodiakalen Umlaufszeit. Die Beobachtung gewisser Unregelmässigkeiten in ihrer Bewegung führte neuerdings zur Erkenntnis, dass es nicht regellose, sondern gesetzmässige Abweichungen von der gleichmässigen Bewegung wären, welche sich durch übereinander gelagerte, gegeneinander bewegliche homozentrische Sphären erklären liessen (Eudoxus um 400 v. Chr.). Die weitere Verfolgung und Prüfung dieser Idee konnte nun allerdings nur durch Rechnung oder, da diese zu jener Zeit noch nicht so weit vorgeschritten war, durch eine derselben äquivalente Darstellung mittels beweglicher Modelle vorgenommen werden, woraus die Konzeption von «kristallenen Sphären» sich entwickelt haben mag. Diese Prüfung zeigte eine allgemeine Uebereinstimmung nur für den Mond, die Sonne, Saturn und Jupiter, aber nicht zu behebende Abweichungen für Mars, Venus und Merkur, die schon in den ältesten Zeiten auffallen mussten. Schon die die Rechnung ersetzende mechanische Prüfung zeigte die Theorie fehlerhaft.

In wessen Geist die philosophische Konzeption der Epizykeln, die Möglichkeit einer Erklärung der Bewegungen der Himmelskörper durch diese, entstanden sein mag, lässt sich nicht angeben. Apollonius, der die Epizykeln schon um 250 v. Chr. als geometrische Figuren studierte, machte keine Anwendung derselben auf die Himmelskörper und wir müssen Hipparch, von dem diese Anwendung herrührt, auch als denjenigen ansehen, der diese Idee zuerst fasste.

Ist aber hieraus zu ersehen, dass eine vollkommen einwandfreie Erklärung der Naturerscheinungen nur durch die rechnungsmässige Verfolgung derselben möglich ist, so folgt aber weiters, dass die Vollkommenheit der Naturerkenntnis schon in jenen historisch entfernten Epochen von dem Grade der Kenntnis in den mathematischen Wissenschaften abhieng; ein Satz, der sich auch in der späteren Entwicklung der Wissenschaft bis auf unsere Zeit verfolgen lässt. In vielen Fällen entwickelte sich die Mathematik geradezu als Hilfswissenschaft der Naturforschung; oft forderte diese mit gebieterischer Notwendigkeit eine Entwicklung jener in einer gewissen Richtung; war diese gegeben so folgte unmittelbar darauf ein ungeahnter Aufschwung der Naturwissenschaften, und umgekehrt ergab sich ein Stillstand der Entwicklung in diesen, wenn die Mathematik nicht neue Wege der Forschung zeigte.

Wegen des folgenden möge hier einiges über die Epizykeln erwähnt werden. Denken wir uns den Mond A in einem Kreise genau gleichmässig um die Erde bewegt (wenn man gegen den Himmel blickt, zwischen den Sternen von rechts nach links); aber um den Mond in einer gewissen Entfernung einen Begleiter desselben B, um ihn ebenfalls mit gleichmässiger Bewegung in einem in derselben Ebene liegenden Kreise rotierend. Der

Mondbegleiter B wird bald hinter dem Monde verschwinden, bald vor demselben vorübergehen. Wenn er sich hinter dem Monde befindet, wird seine Bewegung von rechts nach links, von der Erde gesehen, rascher erscheinen als diejenige des Mondes, da er diesen überholt. In denjenigen Stellen seiner Bahn, welche vor dem Monde sind, wird er wegen seiner kreisenden Bewegung um den Mond mit diesem weiter rücken, aber gegen diesen etwas nach rechts zurückbleiben, die beiden Bewegungen subtrahieren sich; ja, wenn der Halbmesser der Bahn von B um A und die Geschwindigkeit von B in dieser Bahn genügend gross ist, wird seine Bewegung von der Erde aus gesehen in eine solche von links nach rechts übergehen: sie wird retrograd.

Die sämtlichen Bewegungen der Himmelskörper wurden nun in dieser Weise gedeutet. A ist nicht der Himmelskörper selbst, sondern ein mathematischer Punkt, der sich in einem Kreise (dem Deferenten) bewegt; B ist der Himmelskörper; seine Bahn um A, der kleine Kreis dessen Mittelpunkt Aist, ist der Epizykel; es hängt von den Verhältnissen der Halbmesser von Deferent und Epizykel und von den Geschwindigkeiten des Epizykelmittelpunktes und des Himmelskörpers ab, wie die Bahn von der Erde aus gesehen, erscheint. Die mathematische Analyse hat zu untersuchen, ob man diese Grössen so bestimmen kann, dass die Beobachtungen dargestellt werden, d. h. dass die durch die Beobachtung bestimmte Richtung des Himmelskörpers stets auch durch die Rechnung bestätigt wird, bez. vorausgerechnet werden kann.

Diese Bedingungen erfüllte die Epizykeltheorie nicht nur für Sonne und Mond, sondern auch für die Planeten; nur war überdies anzunehmen, dass die Erde nicht im Mittelpunkt des Deferenten stand, sondern etwas aus dem Mittelpunkte Abschoben, d. h. dass der Deferent eine gewisse Exzentrizität hatte.

Die Rechnung ergab aber auch für die epizyklische Bewegung gewisse Entfernungen der Himmelskörper, oder doch wenigstens gesetzmässige Veränderungen der Entfernungen - Ob dieses die wahren Entfernungen waren, d. h. ob die Epizykelntheorie auch die Entfernungen «darstellte», konnte nicht geprüft werden; man hatte kein Mittel, um dieselben (ausser für den Mond, für welchen die Theorie im grossen und ganzen stimmte) mit genügender Genauigkeit aus den

Beobachtungen zu ermitteln; die Prüfung der Epizykelntheorie durch die Beobachtungen ergab nur soweit letztere einen Schluss zuliessen, die Richtigkeit derselben.

Um die Zeit von Chr. Geb. hatte die Mathematik einen Höhepunkt erreicht, der im allgemeinen viel zu wenig hoch geschätzt wird. Die Auflösung von ebenen Dreiecken erfolgte, allerdings durch Zerlegung in rechtwinkelige Dreiecke nach Methoden, die gegenüber den heutigen nur dadurch schwerfällig erscheinen, dass die jetzt üblichen Bezeichnungen und Zeichen fehlten; die Auflösung von sphärischen Dreiecken muss, in Anbetracht des damaligen recht schwerfälligen Rechnungsmechanismus als geradezu genial bezeichnet werden, und der Almagest des Ptolemäus aus dem Jahre 125 n. Chr. gibt uns ein glänzendes Zeugnis von dem effektiven Wissensstand der damaligen Zeit in der Mathematik und Astronomie. Wäre dieses Werk der griechischen Astronomie nicht auf uns gekommen, so könnte man die sämtlichen späteren Werke der Araber und des Mittelalters, die Alfonsinischen Tafeln, Peurbachs Planetentheorien, bis Kopernikus, als Werke ersten Ranges erklären, wie dieses mitunter geschah. Wer aber den Almagest des Ptolemäus gelesen hat wird in allen diesen späteren Werken nichts neues finden; es sind genau dieselben Methoden, nur Verbesserung der Konstanten auf Grund späterer Beobachtungen: mit dem Stillstande der Mathematik war der Fortschritt der Astronomischen Theorien gehemmt.

Einen grossen Fortschritt linden wir erst wieder in der Kopernikanischen Weltanschauung, welche für die Folgezeit grundlegend wurde. Ohne dieselbe können wir uns die Arbeiten Keplers und Newtons gar nicht denken. Dass dieselbe bereits in dem vermittelnden System des Martianus Capella enthalten war, dass sie sich wahrscheinlich schon im Altertum bei Aristarch findet, zeigt nur, dass der Geist viel früher reif für dieselbe war und dass sie wahrscheinlich viel früher zum Durchbrach gekommen wäre, wenn nicht hemmende Einflüsse sich der Erkenntnis entgegengestellt hätten. Aber die unmittelbare Folge für die Erkenntnis der Weltordnung, für die Struktur des Weltganzen, war relativ gering. Die «Harmonie der Sphären» war längst enttront, aber noch immer war kein anderer Herrscher an deren Stelle gesetzt; noch war kein Weltgesetz gefunden, welches als mundi regens universi

den Weltlauf beherrscht. Noch waren die Bewegungen um die Sonne Kreise mit Epizykeln; die grosse, sogenannte optische oder parallaktische Ungleichheit in der Bewegung der Planeten, welche davon herrührte, dass der Beobachter nicht im Bahnmittelpunkt, sondern selbst auf einem beweglichen Punkte, der Erde, sich befindet, war eliminiert; wirkliche Ungleichheiten in der Bewegung aber mussten noch immer durch Epizykeln erklärt werden.

Wieder war es die Mathematik welche befruchtend auf den Fortschritt des Wissens wirkte. Kepler hatte durch seine Rechnungen über die Bahn des Planeten Mars Gesetze für die allgemeine Weltordnung gefunden. Ausgehend von der Ueberlegung, dass nach einer vollen Umlaufszeit, welche durch Jahrhunderte lange Beobachtungen schon sehr genau bekannt war, der Planet an demselben Punkte A seiner Bahn stehen muss, er aber, da die Erde eine andere Umlaufszeit hat, von verschiedenen Punkten B und C der Erde aus gesehen wird, ergab sich ein Mittel, das Dreieck A B C, in welchem die Winkel durch die Zwischenzeit der Beobachtungen und die beobachteten Richtungen nach dem Planeten bekannt waren, aufzulösen, d. h. die Seitenverhältnisse und damit die Entfernung des Mars von der Sonne zu berechnen. Für verschiedene Punkte der Marsbahn wiederholt, ergab sich durch diese Rechnungen, dass die Epizykelntheorie die Entfernungen von der Sonne nicht richtig darstellte. Die fortgesetzten Untersuchungen, in denen er wiederholt seine anfänglichen Annahmen durch die Rechnungsresultate widerlegt fand, bis er endlich auf seine berühmten drei Gesetze geführt wurde, können, wie ich dieses bereits in meiner «Geschichte der Bahnbestimmung von Planeten und Kometen» gesagt habe, als die grösste Induktion aller Zeiten bezeichnet werden; sie können als ein unvergängliches Denkmal dafür gelten, dass die allgemeine Weltordnung nie und nimmer ohne Prüfung von Hypothesen durch Vergleichung mit Beobachtungen gefunden werden kann und dass man zu dieser Prüfung die Mathematik nicht entbehren kann.

Aber die Wissenschaft ist ja nicht nur Astronomie. Es kann nicht meine Absicht sein, mich hier in Details über die Geschichte der einzelnen Wissenschaften zu verbreiten; es ist dieses auch nicht nötig, da dieselben wohl ausreichend bekannt sind. Aber das eine ist sicher, wir stehen selbst heute noch, ob und wie weit dieses berechtigt ist, wäre noch zu entscheiden, in vielen Wissenschaften auf dem Standpunkte, dass sie der mathematischen Analyse nicht bedürfen. Für die Chemie ist es allerdings bekannt, dass erst die durch Wägung bestimmte Gewichtszunahme bei der Verbrennung den Anstoss zu den folgenden zahlen massigen Gesetzen (Valenz, Molekularformeln u. s. w.) gab, deren volle Bestätigung sodann auf physikalischer Grundlage erhalten werden konnte. Auch für die Biologie, Physiologie und Psychologie ist ein vielversprechender Anfang gemacht durch die Untersuchungen von Herbart, Fechner, Helmholtz, v. Kries; und gerade diese letzteren, jedenfalls mehr als die einfachen, für die chemische Analyse nötigen arithmetischen Operationen, zeigen, dass nebst genaueren messenden Versuchen zur Ableitung von allgemeinen physiologischen und psychologischen Gesetzen die Hilfsmittel der mathematischen Analyse wesentliche Dienste leisten.

Es darf natürlich nicht behauptet werden, dass eine Wissenschaft durch den Mangel an mathematischen Deduktionen noch auf einer tiefen Stufe stehe. Unsere Erfahrungen über den Fortschritt der verschiedenen Wissensgebiete zeigen zur genüge, dass insbesondere in der Biologie Gesetze auch ohne eine solche gefunden wurden; die Resultate der Untersuchungen über Zellteilung und Vermehrung, die physiologische Chemie, die Muskel- und Nervenphysiologie, Abstammungslehre und Selektionstheorie sind hiefür Beweise. Bedarf es zu Erhärtung oder zur Weiterführung derselben überhaupt der Mathematik? Sind dieselben der mathematischen Behandlung zugänglich?

Als ein meines Wissens noch nicht bekanntes Beispiel möge hier das folgende erwähnt werden, welches die Physiologie der Sekretion und Assimilation auf bekannte physikalische Gesetze zurückführt. Sekretion findet stets in Drüsen statt; zur Assimilation der Nahrung dienen die in den Darm hineinragenden Darmzotten. Lassen sich diese Erscheinungen durch bekannte physikalische Kräfte erklären? Genügend bekannt sind die Erscheinungen der Kapillarität. Benetzende Flüssigkeiten steigen in engen Röhren (Kapillarröhren) um so höher, je enger die Röhre ist; bringt man einen Tropfen einer benetzenden Flüssigkeit (Wasser gegen Glas) in eine nach einer Seite enger werdende Röhre, so wird der Flüssigkeitstropfen zum engeren Ende hingezogen. Die sogenannten Zylinderepithelzellen am Drüsengrund und an der Konvexität der Darmzotten sind aber derartige konisch gestaltete Röhrchen; eine Reihe solcher mit den breiten Basisflächen a nach der einen, mit den schmalen b nach der anderen Seite gekehrt, werden auf der Seite b einen konkaven Hohlraum (das Lumen des Drüsenschlauches) einschliessen, so dass diese Drüsenepithelien aus dem umgebenden a anliegenden Gewebe Flüssigkeit in den Hohlraum des Drüsenschlauches befördern: sie sezernieren. Auch die durch Zerfall der Drüsenepithelien gebildeten Sekrete werden als ihrer Zellmembran entkleidete, den veränderten Zellinhalt darstellende Flüssigkeiten aus der interzellularen Kapillarröhre in der Richtung von a nach b in das Lumen des Drüsenschlauches befördert. Umgekehrt bildet die konvexe Seite a in einem mit Flüssigkeit gefüllten Hohlraum (Darm) flottierend, das Ende einer Darmzotte durch welches die Flüssigkeit aus dem a umgebenden Hohlraum in das Innere derselben und von da weiter befördert, also assimiliert wird.

Ehe ich jedoch an die Beantwortung der allgemeinen Frage: «Bedarf es zur Erhärtung oder Weiterrührung biologischer Gesetze der Mathematik?» schreite, erscheint es mir nötig, noch näher die Bedingungen zu präzisieren, welche eine erfolgreiche Anwendung derselben zulassen. Vielleicht wird eine Zeit kommen, wo wir mit den Hilfsmitteln der mathematischen Analyse in der uns jetzt gegebenen oder vielleicht in einer anderen, uns gegenwärtig noch unbekannten Form auch hier einsetzen werden können: nicht etwa dass man die ganze Biologie in eine mathematische Formel würde kleiden können, wie es wohl auch schon in etwas phantastischer Weise für das ganze Weltproblem vorausgesagt wurde, sondern in der Weise, dass alle Vorgänge der lebenden Natur sich aus einem oder aus einigen wenigen Gesetzen, die sich in mathematische Form kleiden lassen, ergeben werden. Gegenwärtig sind wir aber in der Biologie, wie es scheint, von diesem Stadium noch sehr weit entfernt.

Wenn ich also auch auf Details in jenen Wissenschaften, welche heute noch der mathematischen Analyse unzugänglich oder wenig zugänglich sind, nicht eingehe, so muss doch zunächst der Physik, welche die Grundlagen für die Gesetze des Weltalls liefert, ein besonderes Augenmerk zugewendet werden.

Die Antike und das frühe Mittelalter entbehrten jener Methoden, namentlich jener messenden Untersuchungsmethoden, die uns jetzt zu geböte stehen. Aber dieses war in der Astronomie auch der Fall. Allerdings, vergleicht man die astronomischen Beobachtungen jener Zeitepochen mit anderen physikalischen Beobachtungen: Messungen, Wägungen, so bleibt, so weit unsere gegenwärtigen Kenntnisse reichen, der Vorteil scheinbar auf Seite der astronomischen Beobachtungen. Scheinbar; denn Längen und Flächenmessungen, Wägungen wurden sicher auch schon im Altertum vorgenommen; allein sichere Mitteilungen über die angestrebte und erzielte Genauigkeit fehlen uns. Vielleicht war dieselbe grösser als man im allgemeinen anzunehmen geneigt ist. Man hat bisher Nachmessungen von aus jener Zeit erhaltenen kulturhistorischen Denkmälern nur vom dem Standpunkte aus erörtert, als damit gewisse Verhältniszahlen (vorzugsweise der goldene Schnitt) in Zusammenhang gebracht wurden, nicht aber von dem Standpunkte, die erhaltenen Dimensionen dieser Objekte als Zeugen eines gewissen Grades der angestrebten und erlangten Genauigkeit zu betrachten. Sehen wir aber die Resultate von diesem Standpunkte aus an, so werden uns die Dimensionen so wie unter Umständen die Gewichte von überlieferten Objekten zu einer recht hohen Meinung von den Fähigkeiten der antiken Völker, Messungen und Wägungen durchzuführen, liefern.

Und doch ist uns kein Werk über Physik in dem heutigen Sinne dieses Wortes aus dem Altertum erhalten, welches wie die mathematischen Werke des Euclid, Apollonius, wie das astronomische Werk des Ptolemäus, derartige Messungen oder Wägungen physikalisch verwertet hätte, und wir können auch nicht annehmen, dass ein solches vorhanden gewesen, aber nicht auf uns gekommen wäre; denn gerade in der Physik sind uns die Kenntnisse der Alten in dem Sammelwerk des Aristoteles erhalten. Doch kann eine Bestätigung des gesagten in den Werken des Archimedes (der Zeit nach etwa 100 Jahre vor Hipparch): seinem Hebelgesetz und dem nach ihm genannten hydrostatischen Paradoxon, sowie in den noch aus viel früherer Zeit (Pythagoras) datierenden Verhältniszahlen für die harmonischen Töne, gefunden werden. Wieso also kam es, dass die physikalischen Kenntnisse in der Antike soweit hinter denjenigen der Astronomie zurückgeblieben waren? Es mögen wohl zwei Gründe zusammengewirkt haben, um diese auffallende Erscheinung herbeizuführen: Erstens fehlte der Antike unsere jetzige philosophische Konzeption des Kraftbegriffes und zweitens waren die Rechnungsmethoden der Antike für die Untersuchung von physikalischen Erscheinungen komplizierterer Natur nicht verwendbar.

Dass die Antike den Kraftbegriff überhaupt nicht hatte, ist allerdings nicht ganz richtig. Anziehung und Abstossung finden sich in den philosophischen Systemen der Griechen als Freundschalt und Feindschaft, Zustreben und Fliehen; aber es gab keine Erscheinung, welche es gestattet hätte, eine Gesetzmässigkeit zu erkennen. Selbst wenn die Magnetnadel oder die Reibungselektrizität am Bernstein bekannt gewesen wären, hätten daraus keine Folgerungen gezogen werden können; denn beim Magnete kann man sich nie von der Wechselwirkung von vier Polen befreien und die elektrischen Erscheinungen am Bernstein sind zu flüchtig, als dass sie in jener Zeit zur Ableitung von Gesetzen hätten benützt werden können. ^[1]

Unser Kraftbegriff war der Antike fremd. Er taucht relativ spät auf; noch Kepler verbindet mit diesem Namen einen ganz anderen Begriff, als wir es jetzt tun; unser Kraftbegriff ist eine Schöpfung Galilei’s.

Da ist denn vielleicht die Frage nicht unberechtigt, ob das was wir uns jetzt unter dem Begriffe der Kraft vorstellen auch Anspruch darauf erheben kann, wirklich als das Fundament unserer ganzen Physik zu dienen.

«Jede nicht wahrnehmbare Ursache irgend einer Erscheinung nennen wir Kraft». Aber dieses war ja auch dem Zustreben und Fliehen, der Freundschaft und Feindschaft der Antike, es war auch der «Virtus motrix» Keplers, welche er mit der magnetischen Kraft vergleicht und für welche er auch bereits den Namen «gravitas» einführt, eigen. Aber seine «gravitas» unterscheidet sich von derjenigen Newtons dadurch, dass sie bei Kepler in der Richtung der Bewegung und nicht in der Verbindungslinie der beiden anziehenden Körper wirkt. Dieses ist an sich ein wichtiger prinzipieller

Unterschied; auch wir nehmen zwar die Kräfte in der Richtung der Bewegung an, aber nur in dem Falle, dass eine einzige Ursache vorliegt; denn die Bewegungsrichtung fällt nur dann mit der Richtung der Verbindungslinie zusammen, wenn der Körper nicht ausserdem eine eigene Bewegung (z. B. eine gleichförmige Bewegung infolge der Trägheit) hat. So werden zwei Magnetpole, zwei elektrische Körper, zwei ponderable Massen, wenn nur ihre gegenseitige Wirkung vorliegt, sich in der Verbindungslinie derselben einander nähern bez. von einander entfernen, und diese Bewegung wird nur geändert, wenn einer der Funkte nebstdem z. B. eine gleichförmige Bewegung in einer anderen Richtung infolge des Beharrungsvermögen hat. Ueber die Molekularkräfte ist uns gar nichts bekannt; sofern wir berechtigt zu sein glauben, sie mit den fernwirkenden Kräften zu vergleichen, nehmen wir ebenfalls an, dass sie in der Richtung der Verbindungslinie wirken. Nach Analogie schliessen wir sogar auf ein bestimmtes Wirkungsgesetz, die n^te Potenz der Entfernungen, wobei n naturgemäss vorerst unbestimmt bleibt und eine Bestimmung erst aus geeigneten Beobachtungen angestrebt werden muss. Auch die Elektrizität, als Bewegung von Jonen aufgefasst, passt sich dieser Annahme an. Aber man lernte eine Erscheinung kennen, welche darauf hindeutete, dass die Richtung der Kraft nicht in der Verbindungslinie der beiden wirkenden Teilchen liegen müsse: ein elektrischer Strom, der über einen Magnetpol geführt wird, wird diesen weder anziehen noch abstossen, sondern senkrecht zur Ebene bewegen welche durch den Stromleiter und den Magnetpol gelegt wird. Ganz abgesehen davon, dass durch die elektrische Theorie des Magnetismus (Ersetzung der Elementarmagnete durch Elementarströme) die Wirkungsweise eine andere Erklärung fand, muss doch hervorgehoben werden, dass diese Erscheinung nicht einen Augenblick im Stande war, unsere Auffassung von der «Kraft» zu ändern.

Zwei Umstände sind es daher hauptsächlich, welche unserem Kraftbegriff eine fest umschriebene charakteristische Form gegeben haben; wenn auch der Begriff der Kraft sich nach dem gesagten eigentlich schon in seiner philosophischen Konzeption von demjenigen im Altertum und auch von demjenigen Keplers unterscheidet, so liegt der prinzipielle Unterschied noch viel mehr darin dass: 1. unsere Ansicht über die Wirkungsweise derselben durch die philosophische Anschauung Galileis über die Trägheit, das Behammgvermögen, und die daraus gefolgerten Schlüsse über die «Zusammensetzung der Kräfte» eine wesentliche Aenderung erfahren haben; und

2. ist wesentlich hervorzuheben, dass wir seit Newton mit dem Begriffe der Kraft untrennbar zusammengesetzt ihr Wirkungsgesetz, wenn möglich in mathematischer Form, denken. Dort wo dieses nicht der Fall ist, wie bei den Molekularkräften, substituieren wir für das uns unbekannte Gesetz ein uns zulässig erscheinendes, aus der Analogie zu entnehmendes. Sowie wir uns, wenn wir in der Geometrie von einem Dreiecke sprechen, immer ein bestimmtes Dreieck vorstellen, aber die gewonnenen Resultate als für jedes Dreileck giltig ansehen, so stellen wir uns, wenn wir von einer Kraft sprechen, eine bestimmte Kraft, eine uns durch ein uns vertrautes Wirkungsgesetz gegebene Kraft dar; nur dort, wo dieses dennoch nicht möglich ist, sind wir noch auf dem Standpunkte der Antike: die animalische Kraft, die vitale Kraft, sofern dieselben nicht auf die unserem Verständnis bereits näher gerückten Kräfte reduziert werden können, haben für uns keine andere Bedeutung als den alten Völkern die «Kraft».

Die beiden erwähnten Punkte bedürfen jedoch noch einer näheren Erörterung. Wenn Kepler behauptete, dass zwischen der Sonne und den Planeten eine Kraft in der Richtung der Tangente der Planetenbahn wirkt, und den Planeten in dieser Richtung forttreibt, so zog er aus der Anschauung genau denselben Schluss wie wir, dass nämlich die Richtung der Kraft aus der Richtung der erzeugten Bewegung erschlossen werden muss, und dass diese letztere uns Aufschluss über die erstere gibt. Ihm waren aber, nicht nur die Auffassung sondern eben die zu derselben führenden Tatsachen von der Zusammensetzung der Kräfte unbekannt. Denken wir uns in zwei Punkten A und B etwa unter einer Platte (also unsichtbar) zwei Elektromagnete, durch deren Bobinen mittels Schliessens zweier Taster a, b Ströme geleitet werden können; in einem dritten Punkte P auf der Platte sei eine eiserne Kugel; der Tasterschluss a bewirkt ein Rollen der Kugel gegen A; der Tasterschluss b ein Rollen gegen B; ein unbeteiligter Beobachter wird, wenn beide Taster a, b zugleich geschlossen werden und die Kugel eine mittlere Richtung gegen einen zwischen A und B gelegenen Punkt C einschlägt, dort einen Elektromagnet vermuten; eine Kraft, wo tatsächlich keine ist. Die Resultierende ist keine wirklich vorhandene Kraft, sondern eine gedachte, welche zwei gegebene ersetzen kann, welche aber durch eine gegenwirkende Kraft, etwa durch einen Elektromagnet D in der entgegengesetzten Richtung von C aufgehoben werden kann.

Diese Erfahrungstatsache lehrt uns, dass unsere Auffassung von der Kraft insolange als die richtige angesehen werden muss, als sich nicht Tatsachen ergeben, die derselben widerstreiten. Aber alle unsere Beobachtungen zeigen, dass kein Grund vorliegt, von dieser Auffassung abzugehen, denn wo Abweichungen konstatiert werden, kann auch stets eine wenn auch nicht sichtbare, so doch ideelle Ursache, also wieder eine Kraft angegeben werden, welche sich denselben Prinzipien unterordnet, und alle Abweichungen erklärt. Diese Konzeption der Zusammensetzung der Kräfte (quantitativ abgeleitet aus dem Bewegungsparallelogramm, welches zum Geschwindigkeits-, Beschleunigungs- und Kräfteparallelogramm führt) welche aus reinen Erfahrungstatsachen deduziert wird, und keineswegs als mathematisches Axiom dargestellt werden darf, wie dieses mitunter dennoch in der analytischen Mechanik geschieht, ist eine Folge der fundamentalen Auffassung von Galilei.

Zu dieser Auffassung der Kräfte mussten wir daher geführt werden; sie liegt in unserem Erfahrungsbereiche und wir sind berechtigt, sie auf alle Tatsachen der Erfahrung anzuwenden. Dies aber führt uns auf den zweiten oben erwähnten Punkt: unsere Anwendung setzt ein Mittel voraus, die Wirkung derselben Kräfte unter wechselnden Umständen und ferner die Zusammenwirkung verschiedener Kräfte zu messen, zu vergleichen und durch Rechnung zu verfolgen.

Wäre ein solches Mittel nicht in der durch Leibnitz und Newton gegebenen Infinitesimalrechnung, wie sich dieselbe aus den früheren rudimentären Anfängen, der Tangentenmethode von Barrow, der Methode des Unteilbaren von Cavalieri, der Fluxionsrechnung von Roberval entwickelte, gefunden worden, so hätte diese Auffassung von der Kraftwirkung nie jenen Prüfungen unterworfen werden können, jene Bestätigungen gefunden, jene Resultate gezeitigt, welche wir heute so sehr bewundern. Sowie die grossen Fortschritte der griechischen Astronomie aus dem gleichzeitigen Zusammentreffen der Idee von der epizyklischen Bewegung mit den Fortschritten in der Behandlung mathematischer Probleme hervorgieng, so ist unser jetziges Wissen ein Resultat der philosophischen Konzeption des Kraftbegriffes und der auf dieselbe angewendeten Infinitesimalrechnung.

Das Kraftgesetz: «Die allgemeine Anziehung wirkt im verkehrten Quadrate der Entfernungen», ebenfalls von Newton in bestimmter Weise ausgesprochen, bot eine Handhabe, die Kräfte und ihre Wirkungen der Rechnung zu unterwerfen. Besonders aber muss hervorgehoben werden, dass Newton sich durchaus nicht von der vorgefassten Meinung leiten liess, als müssten alle Kräfte nach diesem Gesetze wirken. Er untersuchte im Gegenteil auch andere Kraftgesetze, um daraus die durch die Beobachtungen konstatierte Drehung der Apsiden (grosse Achsen der Planetenbahnen) zu erklären.

Im weiteren Verlaufe aber hat dann die mathematische Analyse gezeigt, dass das Newton’ sehe Kraftgesetz als allgemeines Naturgesetz angenommen werden müsse, und dass daraus alle Erscheinungen, auch die von Newton auf andere Weise erklärten, folgen, u. z. gerade durch die Annahme der allgemeinen Wirksamkeit desselben, d. h. der Nebenwirkung anderer Körper, welche gewisse «Störungen» in der zunächst betrachteten Hauptwirkung eines Körpers hervorbringen.

Im wesentlichen ist dabei der Vorgang der folgende: für eine gewisse Entfernung ist die Kraft proportional den Massen der beiden aufeinander wirkenden Körper und proportional dem verkehrten Quadrate der Entfernung, wobei die Masse ein ebenfalls aus der Wirkungsweise erschlossener Begriff ist, ohne dass wir uns zunächst von derselben eine Vorstellung eines räumlichen Inhaltes zu machen brauchen. Wirken mehrere Körper (Problem der drei Körper oder der Störungen) auf einen Körper A, so werden für einen gegebenen Augenblick die sämtlichen wirkenden Kräfte nach diesem Gesetze ausgedrückt. Da dieselben aber in verschiedener Richtung wirken, so können sie nicht unmittelbar addiert werden, sondern müssen nach dem Satze vom Kräfteparallelogramm zusammengesetzt werden, oder was dasselbe ist und die Rechnung wesentlich erleichtert, jede Wirkung wird in drei Komponenten nach drei in bestimmter Weise angenommenen aufeinander senkrecht stehenden Richtungen X, Y, Z, zerlegt; in jeder dieser drei Richtungen erhält man daher eine Teilresultierende gleich der algebraischen Summe der einzelnen Komponenten und aus den drei Teilresultierenden nach den drei Richtungen X, Y, Z lässt sich die Gesammtwirkung R aufbauen. Diese Gesammtwirkung R ändert sich aber mit jedem Momente, weil in der Bewegung sich sämtliche Distanzen stetig verändern; so ist also die Kraftgrösse von den jeweiligen Entfernungen abhängig, diese aber ihrerseits von der Bewegung, d. h. von den Kräften selbst. Während unendlich kleiner Zeiträume, während deren die Kraftwirkung als konstant angesehen werden kann, kann aber ihr Betrag aus den Entfernungen aufgestellt werden und aus der Wirkung in unendlich kleinen Zeitteilchen kann durch sogenannte «Integration von Differenzialgleichungen» die Wirkung in endlichen Zeiträumen angegeben werden, sodass für jeden Moment die gegenseitige Lage der Himmelskörper bestimmt wird.

Die Schwierigkeit liegt nun eben in der Integration der Differenzialgleichungen. Der dabei einzuschlagende Weg ist, kurz skizziert der folgende:

Für eine Reihe von Beziehungen zwischen den endlichen Grössen $x$ und $y$ können die Beziehungen für unendlich kleine Veränderungen dieser Grössen abgeleitet werden; wenn eine derselben, $x$ sich um einen unendlich kleinen Betrag $dx$ verändert, so wird $y$ sich ebenfalls um einen unendlich kleinen Betrag $dy$ ändern; aber das Verhältnis dieser Aenderungen wird von Fall zu Fall verschieden sein. Einer kleinen Aenderung $dx$ der Entfernung wird z. B. ein kleiner Kräftezuwachs $dy$ entsprechen; dieser wird jedoch für verschiedene Kraftgesetze ein verschiedener sein, $x$ und $y$ müssen dabei aber nicht eben Entfernung und Kraftgrösse vorstellen; $x$ kann z. B. die Entfernung vom Erdmittelpunkte und $y$ die dort herrschende Temperatur sein; in diesem Falle wird einer gewissen Entfernungsänderung $dx$ vom Erdmittelpunkte eine Temperaturänderung $dy$ entsprechen; es kann $x$ die von einem gegebenen Momente gezählte Zeit und $y$ den von irgend einem Punkte gezählten zugehörigen Weg bedeuten; dann ist $dx$ ein kleines Zeitteilchen für welches $dy$ der zurückgelegte Weg ist, u. s. w.

Es kann nun rein mathematisch für verschiedene einfache und auch fortschreitend immer kompliziertere Beziehungen zwischen $x$ und $y$, welche man als Funktionalbeziehungen bezeichnet es ist $y$ eine «Funktion» von $x$ ohne jede Annahme über die physikalische oder sonstige Bedeutung derselben, die Beziehung zwischen $dx$ und $dy$ gefunden werden. Und diese Beziehungen sind umkehrbar; d.h. kennt man die Beziehung zwischen $dy$ und $dx$, so kann man jene Funktionalbeziehung von $x$ und $y$ angeben oder voraussetzen, aus welcher die Differenzialbeziehung zwischen $dy$ und $dx$, d.i. die Differenzialgleichung folgen würde. Aus der ungeheueren Menge der Funktionalbeziehungen, welche gegenwärtig untersucht sind, folgen aber nicht alle möglichen Differenzialbeziehungen und gerade für jene Differenzialgleichungen, welche die wichtigsten mechanischen Probleme, des Weltalls betreffen, sind noch die Funktionalbeziehungen nicht bekannt.

Wir kennen zwar Funktionalbeziehungen, welche den Ort zweier Himmelskörper bestimmen, so dass aus denselben die bekannten Differenzialbeziehungen für die Bewegung der beiden Körper folgen, d.h. die Differenzialgleichungen für das Problem der zwei Körper, die dem Newtonschen Gesetze der allgemeinen Attraktion unterliegen, sind integrabel.

Aber nicht dasselbe gilt, wenn ausserdem noch die Anziehung anderer Körper in Betracht kommt. Ist die Anziehung eines Körpers überwiegend (die Anziehung der Sonne), so wird das Problem durch Näherungen lösbar. Man nimmt zunächst an, dass die Bewegung des Körpers A so erfolgt, als ob nur die Sonne anziehend wirken würde, und berechnet dann die «Störungen», welche ein dritter, vierter Körper (Jupiter, Saturn) in der Bewegung des betrachteten Planeten A hervorruft. Dadurch wird nun aber der Ort des letzteren verändert und es wird nötig, unter dieser geänderten Voraussetzung die Berechnung der Kräfte und ihrer Wirkungen zu wiederholen. Ist die Aenderung des Ortes durch die Störungen nur eine mässige, so wird möglicherweise eine zweimalige, vielleicht eine dreimalige Wiederholung der Rechnung (Berech nung der Störungen zweiter, dritter Ordnung) ausreichen, um endlich den richtigen Ort des Himmelskörpers A zu finden. Immer reicht dieses nicht aus; die Störungen sollten — dieses besagt der gewählte Name — stets klein bleiben. Wenn die Stellung der Himmelskörper im Laufe der Zeiten gegenüber derjenigen aus dem Zweikörperproblem gerechneten ungestörten Bahn fortwährend nur wenig, bald nach der einen bald nach der anderen Seite abweicht, so wird die wahre Bahn um die ungestörte schwanken, und diese letztere stellt dann eine mittlere Bahn vor. Die Sachlage ändert sich sofort, wenn z. B. im Problem der drei Körper, die Sonne A und zwei um sie kreisende Körper B und C, nach etwa zwei Umlaufen des einen und drei Umläufen des anderen Planeten dieselbe relative gegenseitige Lage und Bewegungsrichtung, wenn auch in einer um ein weniges geänderten absoluten Lage im Raume erreichen. Man kann sich dieses etwa so vorstellen, dass durch die gegenseitige Wirkung das Dreieck A B C nach einer gewissen Zeit genau dieselben Winkel erlangt hat, also die gegenseitigen Richtungen dieselben werden, aber alle Strecken d. i. die Abstände BA und C A von der Sonne, sowie auch BC, um einen geringen Betrag, z. B. um ${\tfrac {1}{1000}}$ des ursprünglichen Abstandes sich vergrössert oder 1000 verkleinert hätten und dabei die Ebene des Dreieckes ABC sich in der Zwischenzeit um einen kleinen Winkel, wenn auch nur um etwa l’im Raume gedreht hätte. Die Folge des Umstandes, dass jetzt die gegenseitige Lage dieselbe ist, wird sein, dass die Wirkung von diesem Momente ab, von Zeitteilchen zu Zeitteilchen, dieselbe wird, wie vor den betrachteten zwei bez. drei Umläufen, dass sich daher dieselbe Reihe der Zustände wiederholt und nach weiteren zwei bez. drei Umläufen dieselbe Veränderung um ${\tfrac {1}{1000}}$ des Abstandes und um 1' der 1000 Drehung ergeben wird: Die periodischen Schwankungen um eine mittlere Lage gehen dann in mit der Zeit im selben Sinne fortschreitende «sekulare» Veränderungen über; und wenn auch die erwähnten zwei bez. drei Umläufe einen relativ kurzen Zeitraum, an sich vielleicht sogar beträchliche Zeiträume, es mögen beispielweise zehn Jahre sein, umfassen würden, so werden doch im Laufe der Jahrtausende völlige Aenderungen in den Bahnlagen und deren Grössen resultieren. Schon nach 10000 Jahren, das gewählte Intervall von zehn Jahren zu Grunde gelegt, würden die Distanzen verdoppelt und die Drehung der Dreiecksebene würde 1000’, also fast 17° betragen, womit natürlich auch Veränderungen in der Lage der Bahnebene jedes einzelnen Planeten von derselben Ordnung verbunden sein müssen. Da diese Veränderungen im Laufe der Zeiten stets im selben Sinne fortschreiten, so können in einem solchen Falle die Entfernungen über alle Grenzen wachsen oder selbst bis zu Null herabsinken und die Lage der Bahnebenen vollständig umgelegt werden: das System wäre in diesem Falle nicht stabil; der momentane Zustand geht in einen vollständig geänderten über.

Solche sekulare Aenderungen ergeben sich durch die Rechnung in der Tat in dem sog. Falle der genauen «Kommensurabilität der Umlaufszeiten», d.i. wenn allgemein m Umläufe des einen Planeten gleich sind n Umläufen des anderen Planeten. Daraus folgt unmittelbar, dass wenn die Umlaufszeiten in einem sehr nahe kommensurabeln Verhältnis stehen, durch lange Zeiträume hindurch ein starkes Anwachsen der Störungen bis zu einem ausserordentlich hohen Betrage aufreten kann, welches dann allerdings wieder nach und nach zurückgeht und einem Anwachsen im entgegengesetzten Sinne Platz macht; es sind dieses die sog. «langperiodischen Glieder mit grosser Amplitude». Diese Glieder sind um so schwieriger in Rechnung zu ziehen, als sie für sich im Problem der drei Körper betrachtet, sogar sekularen Charakter annehmen können, aber durch die Wirkung eines vierten Körpers (eines zweiten störenden Planeten) auf wesentlich engere Grenzen eingeschränkt werden und auch den Charakter von sekularen Gliedern verlieren können, um zu langperiodischen zu werden, oder auch umgekehrt, dass langperiodische Glieder des Dreikörperproblems im Vielkörperproblem tatsächlich sekularen Charakter erhalten.

Die Verhältnisse werden in dem Vielkörperproblem noch durch andere Umstände viel komplizierter, so dass die Bezeichnung gewisser Glieder als «kritischer Glieder», wie dieselben von Gylden genannt wurden, ganz passend erscheint.

Der Einfluss dieser Glieder ist der, dass wenn man z. B. in den aufeinander folgenden Näherungen immer kleinere Korrektionen für den Ort eines Planeten findet, und man bei einem gewissen Stande der Rechnung schon am Ziele wäre, auf einmal in der nächsten Näherung wieder irgend eine Störung von beträchtlicher Grösse auftritt, so dass die «Konvergenz der Entwicklungen» in Frage gestellt ist.

Es könnte ja sein, dass wenn ein solches die Entwicklung störendes Glied auftritt, und die Entwicklungen weiter geführt würden, die Zusatzglieder wieder allmählich abnehmen würden, und wenn später doch wieder ein grösseres Störungsglied erscheinen sollte, dieses immerhin wesentlich kleiner bliebe, als das erste die Konvergenz unterbrechende; das dritte, viel später auftretende könnte wieder kleiner als das zweite sein u. s.w., so dass im Grossen und Ganzen doch wieder eine Reihe von immer kleiner werdenden Gliedern, also von konvergentem Charakter erscheinen würde. Wir haben aber bisher kein Mittel, um die absolute Konvergenz der Entwicklungen in diesem Sinne zu beweisen und haben kein Mittel, diese mühsamen Entwicklungen, die für einen einzigen Planeten oft Jahre der Arbeit kosten, zu umgehen: die mathematische Analyse lässt uns im Stich.

Die Entwicklungen für die Bewegungen der Himmelskörper, zu denen auch die Rotation derselben und die Lage ihrer Rotationsachsen im Raume gezählt werden muss, sind stets den momentanen Beobachtungen angepasst; die Konstanten (d. i. die Werte der grossen Achsen, der Excentrizitäten, der Umlaufszeiten, der Bahnlagen u. s. w.) sind stets so bestimmt, dass die sämmtlichen vorliegenden Beobachtungen dargestellt werden; die mathematischen Formeln gestatten hiernach auch die Zurück- und Vorausberechnung von Planetenorten auf ziemlich lange Zeiträume; vielleicht sind sie sicher genug auf Zeiträume, die das zehnfache oder zwanzigfache der Beobachtungsperiode umfassen, also, diese zu 2000 Jahre gerechnet, auf 20000 vielleicht auf 50000 Jahre; das Anwachsen der sekularen Glieder selbst gibt uns einen Fingerzeig dafür, wie weit wir die Grenze ungefähr zu stecken haben; es kann nicht einmal von einer bestimmten angebbaren Grenze die Rede sein.

Wir sind heute bei der Anwendung unserer Hilfsmittel der Mathematik auf die philosophischen Konzeptionen der im Weltraum herrschenden Kräfte genau an derselben Stelle angelangt, wie die Astronomie der Griechen bei der Anwendung ihrer mathematischen Kentnisse auf die damaligen Ansichten über die herrschende Weltordnung.

Man findet in den Aeusserungen aller Zeiten die Behauptung von einem ganz besonderen «gegenwärtigen» Fortschritte der Wissenschaften; es ist dieses daher nicht als eine besondere Eigentümlichkeit unserer Zeit zu bezeichnen. Aber gerade die Mathematik unserer Zeit ist mehr kritisch und folglich weniger produktiv; dies wirkt selbstverständlich auch auf den Stand der gegenwärtigen Forschung in der Astronomie zurück. Doch ist die theoretische Astronomie im Gegensätze zur Mathematik bescheiden genug, die gegenwärtigen Untersuchungen nicht als solche von fundamentaler Bedeutung zu erklären. Man müsste neue Funktionalbeziehungen ganz anderer Natur kennen lernen, vielleicht ganz andere Rechnungsmethoden, um dem Ziele näher zu rücken. Und solange die Mathematik keinen Fortschritt in dieser Richtung zu verzeichnen hat, und sollte der gegenwärtige Zustand noch Jahrhunderte dauern, bleiben wir in der theoretischen Astronomie nur die Epigonen jeuer klassischen Zeit, die mit Newton, Euler, Lagrange, Laplace, Bessel, Gauss, Jacobi ihre grössten Geistesheroen produzierte.

Nebst der Bewegung der Himmelskörper ist aber auch die physische Konstitution derselben Gegenstand der Naturerklärung. Fast noch mehr, wie auf dem bisher behandelten Gebiete ist es aber hier notwendig auf ein engeres physikalisches Gebiet, die Spektralanalyse überzugehen, da ja, wie bekannt der erste Anstoss zur Erkenntnis der physikalischen Konstitution der Himmelskörper durch diese gegeben wurde.

Ehe die hieher gehörige Anwendung dieser physikalischen Prinzipien besprochen wird, möge, ohne in allzugrosse Einzelheiten einzugehen, zunächst in grossen Umrissen der derselben zu Grunde liegenden Wellentheorie gedacht werden.

In der Akustik war die Tonfolge der harmonisch klingenden Töne relativ leicht durch die schwingende Bewegung zu erklären; für die Erklärung der Lichterscheinungen erlangte dieselbe erst seit Huygens eine fundamentale Bedeutung, insbesondere nach ihrer Erweiterung auf Wärmeerscheinungen und auf das Gebiet der elektrischen Wellen.

Die Interferenzerscheinungen am Newton’schen Farbenglase, bei den Fresnel’schen Spiegeln, die Erscheinungen der Beugung an engen Oeffnungen und Gittern, der Polarisation und Doppelbrechung konnten erst durch die Wellentheorie erklärt werden; Licht mit Licht vereinigt, wird sich nicht immer verstärken, sondern kann auch Dunkelheit geben, wenn nämlich, das Licht als Wellenbewegung aufgefässt, in einem Punkte entgegesetzte Schwingungsphasen zusammenkommen, wie etwa an gewissen Punkten die Wasseroberfläche ruhig bleiben kann trotzdem von zwei an verschiedenen Punkten ins Wasser gefallenen Steinen Wellen zu diesem Punkte gelangen. Durch die mathematische Analyse dieser Lichterscheinungen wurde die Wellentheorie des Lichtes fast zur Gewissheit erhoben. Bemerkenswert aber ist dabei, dass die Rechnungen auf der Hypothese basieren, dass der Lichtäther sich wie ein fester elastischer isotroper Körper verhalte, auf den sich die Gleichungen der Elastizitätstheorie anwenden lassen, und dass seine Schwingungen als Transversalschwingungen aufzufassen sind.

Diese Annahme stösst auf logische Schwierigkeiten. In einem isotropen Medium, wie z.B. die Luft, in welcher sich ein Lichtstrahl fortpflanzt, ist keine zur Fortpflanzungsrichtung senkrechte Richtung bevorzugt und in der Tat lässt sich über die Richtung der Schwingungen nichts aussagen; es werden die Aetherteilchen, sofern es sich um einen «gewöhnlichen Lichtstrahl» handelt, in jedem Punkte eine andere Schwingungsrichtung haben können; erst durch gewisse Vorgänge werden die Schwingungsrichtungen geregelt; in der Einfallsebene oder senkrecht dazu bei der Polarisation durch Reflexion, bez. im Hauptschnitte und senkrecht dazu bei der Doppelbrechung.

Und nun zeigte die mathematische Analyse, dass die Annahme von Transversalschwingungen wohl als eine mathematische Vereinfachung des Problems aber nicht als eine logische Notwendigkeit angesehen werden muss. Nimmt man an, dass die Aetherteilchen kreisende Bewegungen um die Ruhelage ausführen, in Form von elliptischen Bahnen senkrecht zum Lichtstrahl die Grösse dieser Bahnen muss als ausserordentlich kleiner Bruchteil von mm. angesehen werden — so etwa wie die Wasserwellen, die ebenfalls nicht in einem Auf und Abschwingen bestehen, sondern in kreisförmigen oder elliptischen sog. Orbitalbewegungen — so ist die logische Schwierigkeit behoben, und mathematisch kann jede geradlinige Schwingung als Resultierende zweier derartiger elliptischer Schwingungen angesehen werden.

Dass erst die mathematische Analyse den Beweis erbrachte, dass trotz der Farbenzerstreuung ein von diesem Fehler freies Linsensystem hergestellt werden kann, was Newton bekanntlich leugnete, mag nur nebenher erwähnt werden.

Aber in noch viel grösseren Umfange zeigte sich die Wichtigkeit der mathematischen Untersuchungen über die erwähnten Interferenzphänomene, welche lange Zeit ein mehr rein theoretisches Interesse erregten, erst in neuester Zeit.

Es ergab sich nämlich dass die nach den Gesetzen der geometrischen Optik konstruierten Bilder in optischen Systemen (Reflexion an Spiegeln, Brechung in Linsensystemen) unter Umständen zu unrichtigen Resultaten führen können. Man unterscheidet demnach heute zwischen der Strahlentheorie, welche die Bildkonstruktion geometrisch durchführt, und der Wellentheorie, welche die Entstehung des Bildes durch Interferenz der durch ein optisches System gegangenen Wellen berechnet. Aber auch hier stossen wir derzeit auf Schwierigkeiten mathematischer Natur. Schon für die Berechnung von optischen Systemen (photographische, astronomische und Mikroskop-Objektive) nach der Strahlentheorie muss die mathematische Analyse ihre Zuflucht zu Näherungen nehmen, denn wir sind nicht im Stande zur Wegschaffung der Linsenfehler d.h. zur Herstellung von fehlerfreien Objektiven strenge Formeln abzuleiten. Vollends für die Berechnung nach der Wellentheorie sind die heutigen mathematischen Hilfsmitteln gänzlich unzureichend.

Während hier also ebenfalls eine Grenze erreicht ist, über welche wir möglicherweise noch lange nicht hinaus kommen werden, hat in anderer Richtung die Rechnung einen Zusammenhang zwischen Erscheinungen bekräftigt, die ursprünglich als völlig veschieden galten: der Zusammenhang von Licht und Elektrizität, der in der Maxwell’schen elektromagnetischen Lichttheorie lange bevor Erfahrungstatsachen hierüber bekannt waren, bereits in fest abgeschlossener Form vorlag. Allein die Konzeption von der Erregung der Lichtwellen durch elektromagnetische Kräfte bedurfte der Bestätigung durch empirische Tatsachen und diese mussten durch Vergleichung und Messung gefunden werden. Gerade die aus der Theorie geforderte Beziehung, dass die Dielektrizitätskonstante eines Mediums gleich sein muss dem Quadrate des Brechungsindex brachte die geforderte Bestätigung in glänzendster Weise, verbreitete aber auch Licht über andere Vorgänge die mit diesen in scheinbar nur losem Zusammenhange stehen, und letzteres gerade durch die anfängliche Nichtübereinstimmung der beobachteten Tatsachen mit der Theorie für Wasser fand sich die Dielektrizitätskonstante 80, das Quadrat des Brechungsindex ${\tfrac {4}{3}}$ ist aber kleiner als 2! Da waren es die schon viel früher zunächst an den fluoreszierenden Flüssigkeiten beobachteten Erscheinungen der anomalen Dispersion: stärkere Brechung sonst schwächer brechbarer Farben, deren Erklärung in einer mathematischen Formel zwischen dem Brechungskoeffizienten und der Wellenlänge gesucht wurde. Theoretische Ueberlegungen, empirisch aufgestellte Formeln wurden in mannigfacherweise versucht, bis eine ziemlich komplizierte Formel mit fünf Konstanten schliesslich die gewünschte Uebereinstimmung mit hinreichender Genauigkeit ergab, während sich andererseits auch die Dielektrizitätskonstante von der Wellenlänge theoretisch abhängig zeigte, wenn man mit jedem Molekül nicht blos ein einziges, sondern mehrer freie Jonen (nebst vielen anderen fest gebundenen) verbunden ansieht, von denen jedes auf eine andere Wellenlänge abgestimmt ist. Die Werte der Brechungexponenten und der Dielektrizitätskonstanten für gleiche Wellenarten (unendlich lange Wellen) stehen tatsächlich in der von der Maxwell’schen Theorie geforderten Beziehung; für Wasser ist z.B. der Brechungsindex für unendlich lange Wellen gleich 9.

Die Farbe des Lichtes, das Spektrum, spielt aber auch bei den Untersuchungen der Vorgänge im Weltraum bekanntermassen eine grosse Rolle. In dieser Richtung waren zuerst Wollastons und Fraunhofers Beobachtungen von dunkeln Linien im Sonnenspektrum, die sog. Fraunhofer’schen Linien von Bedeutung. Zur eigentlichen Spektralanalyse der Gestirne konnten sie aber erst herangezogen werden, als ihre theoretische Erklärung durch Kirchhoff erfolgte. Aus seinem Satze: «Für Strahlen derselben Wellenlänge und bei derselben Temperatur ist das Verhältnis des Emissionsvermögens zum Absorptionsvermögen bei allen Körpen dasselbe» folgt, dass ein Körper bei einer gewissen Temperatur dieselben Strahlen aussendet, welche er bei derselben Temperatur absorbiert, wenn sie von einer Strahlungsquelle höherer Temperatur ausgesendet werden. Die Erweiterung des Giltigkeitsbereiches dieses Satzes von den uns zugänglichen Versuchsbereichen auf den ganzen Weltraum führte dann zur Erkenntnis der physischen Konstitution der Himmelskörper: die dunkeln Linien im Sonnenspektrum sind Absorptionslinien in einem vom glühenden Kern ausgesendeten kontinuierlichen Spektrum in einer kühleren Gashülle, welche diejenigen Stoffe enthalten muss, die im glühenden Gaszustande diese Linien hell erscheinen lassen würden.

Erst in diesem Stadium angelangt, gewann man feste Anhaltspunkte für die Anwendung auch anderer physikalischer Naturgesetze: des Boyle-Charles’schen und Van der Waals’schen Gesetzes für die Gase, der Wärmeleitungs-und Strahlungsgesetze für feste Körper, u.s.w.

Es darf nicht unerwähnt bleiben, dass die Identifizierung der Spektrallinien durch die Unkenntnis der äusseren Zustände (Druck, Temperatur) etwas an Sicherheit einbüsst.

Wenn weiters, wie dieses jetzt vielfach schon mit Sicherheit angenommen wird, zahlreiche, ja die meisten Spektrallinien in «Trabanten» zerfallen, welche mit dem Interferenzspektroskop konstatiert werden können, selbst in jenen Fällen, wo das beste Rowland’sche Gitter dieselben nicht aufzulösen im Stande ist, so würde übrigens für die vollkommene Erkenntnis der physikalischen Konstitution die Uebereinstimmung der aufgelösten Spektrallinien gefordert werden müssen, umsomehr, als es ja nicht undenkbar ist, dass nicht alle Trabanten demselben Elemente angehören. Hierbei gewinnt dann die Abhängigkeit der Lage der Linien von Druck und Temperatur eine noch erhöhte Bedeutung und es erscheint die Frage vielleicht nicht unberechtigt, ob denn das sog. «kontinuirliche» Spektrum überhaupt ein solches ist oder ob es nicht vielmehr aus einer Unzahl von dicht aneinander gereihten durch unser selbst bewaffnetes Auge nicht zu trennenden diskret nebeneinander gestellten Linien (Farben) besteht, die nach Massgabe der vorhandenen Dampfspannung zu den bekannten hellen Linien zusammenrücken oder bei der im flüssigen und festen Zustande herrschenden ausserordentlich geringen Dampfspannung sich gleichmässig über den ganzen Spektralbereich ausdehnen.

Die Unsicherheit, welche unseren Schlüssen hiedurch anhaftet, ist keine durch die mathematische Analyse hineingebrachte; diese gibt uns nur quantitative Beziehungen für vorher ermittelte qualitative Verhältnisse. Allerdings können wir uns der Einsicht nicht verschliessen, dass viele Resultate auch der Rechnung nicht absolut sicher sind; aber wir dürfen nicht vergessen: die Rechnung gibt uns nichts, was nicht bereits durch die Prämissen bestimmt ist. Wenn bei einer Untersuchung etwa numerisch ausserordentlich hohe, von vornherein nicht erwartete und aus gewissen Gründen sogar unwahrscheinliche Werte auftreten, so wird die Rechnung einer Revision zu unterziehen sein, wobei auf Nebenumstände Rücksicht zu nehmen sein wird, welche bei der ersten Rechnung übergangen wurden. In vielen Fällen kennen wir auch nicht alle Zustandsbedingungen; denn im Weltraume können doch wohl die Verhältnisse anders liegen, wie auf unserer Erde; ja selbst im Innern der Erde anders, als an der Oberfläche.

Die Anschauung von der Notwendigkeit der mathematischen Formulierung der Naturgesetze und von der Notwendigkeit der mathematischen Begründung philosophischer Konzeptionen kommt immer mehr zur Geltung. Ja, man ist gezwungen, mathematische Formeln für irgend eine Beziehung zwischen veränderlichen Grössen abzuleiten, wenn der Einfluss dieser Veränderlichkeit auf andere Vorgänge untersucht werden soll. Dennoch erscheinen, wie schon erwähnt, viele Forschungsresultate als unwiderleglich sichergestellt, trotzdem dieselben durch blosse Ueberlegung ohne Anwendung der Mathematik erhalten wurden. Die Mathematik kann mit einer gewissen Befriedigung darauf hinweisen, dass in vielen anderen Wissenschaften anerkannt wird, dass gewissen hypothetischen Deduktionen «die Schärfe der mathematischen Beweisführung fehlt».

Wenn nun aber auch die im Früheren angeführten Fälle, in denen philosophische Konzeptionen über die Gesetze des Weltalls der mathematischen Behandlung zu unterwerfen sind, das Gebiet keineswegs erschöpfen, sondern viel eher als Beispiele für die Behauptung auzusehen sind, so kann an der Hand der Gesagten aber nunmehr an die Beantwortung der Frage gesschritten werden:

«Wo ist die Grenze gelegen, bei welcher man die mathematische Behandlung fordern kann und muss, und wo eine solche als überflüssig angesehen werden kann?»

Wenn der Chemiker aus der Molekularformel, die er durch gewisse analytische Untersuchungen gewonnen hat, die Konstitutionsformel eines zusammengesetzten Körpers, z.B. der Eiweisskörper, aus seinen verschiedenen Reaktionen zu bestimmen sucht; wenn der Physiologe die Tätigkeit eines Organes mit seinem anatomischen und histologischen Bau in Zusammenhang zu bringen sucht; wenn der Mediziner die Wirkungsweise eines Heilmittels aus seiner chemischen Zusammensetzung und den Einwirkungen jedes einzelnen seiner Teile auf die verschiedenen Organe zu bestimmen sucht —: und man würde die Forderung stellen, dieses auf mathematischen Wege — abgesehen von den einfachen Rechnungen, welche zur Bestimmung der Molekularformeln dienen — abzuleiten, so würde dieses einen etwas befremdlichen Eindruck machen. Wenn es aber gelänge alle Konstitutionsformeln durch räumliche Lagerung zu erklären, wie dieses gegenwärtig schon bei den stereoisomeren Verbindungen (Rechts- und Linksweinsäure, Zitrakon- Mesakon- und Itakonsäure u.s.w.) der Fall ist, wenn es gelingen sollte, alle physiologischen wie die physikalischen Wirkungen auf Bewegungserscheinungen zurückzuführen, so wird der befremdliche Eindruck schwinden.

Der Angriffspunkt unserer mathematischen Analyse liegt in den Beziehungen zwischen Zeit und Raum. So wie diese die Grundlage unserer ganzen philosophischen Anschauung bilden, so bilden sie auch die Elemente für unsere Rechnung.

Wenn diese letzteren auch oft anderer Natur sind, so liegt ihnen stets ein Element zu Grunde, welches diesen beiden direkt entnommen ist, das Prinzip der Kontinuität oder Stetigkeit, d.h. die Notwendigkeit des Ueberganges von einem Punkte oder einem Zustande zum nächst folgenden durch eine «stetige», ununterbrochene Reihe von Zwischenpunkten oder Zwischenzuständen. Alle Grössen die einer mathematischen Behandlung zugänglich sein sollen, müssen wenigstens in einem gewissen Bereiche diese Eigenschaft zeigen. Es sind zwar — wenigsten formell — funktionale Beziehungen bekannt, welchen diese Eigenschaft nicht zukommt: z.B. die Riemannsche Funktion, welche in jedem noch so kleinen Bereiche unendlich viele Umstetigkeiten besitzt; doch sind sie der infinitesimalen Behandlung nicht zugänglich. Und so muss man bei allen der Rechnung zu unterwerfenden physikalischen Problemen diese Voraussetzung machen, oder wo dieselbe nicht zutrifft, suppletorisch einführen. Bei Volumsberechnungen ersetzt man die molekulare Zusammensetzung durch eine stetige Ausfüllung des Raumes; bei physikalischen Erscheinungen, welche sich auf den molekularen Aufbau stützen, werden die Moleküle beweglich vorausgesetzt, d.h. die Erscheinungen werden auf Bewegungserscheinungen zurückgeführt. Unser Auge, unser Ohr ersetzen Eindrücke, die sicher aus diskreten, nicht zusammenhängenden, nicht kontinuierlichen Teileindrücken bestehen, eine diskrete Tonreihe, eine diskrete Farbenreihe, durch kontinuierliche. Es können ganze Stücke der fehlenden Begrenzung einer Figur hinzugedacht werden; ja das Fehlen einer Konturlinie fällt oft weniger auf, als eine übermässige Hervorhebung derselben. Und überall dort wo wir es mit einer kontinuierlichen Wertreihe zu tun haben, die wir gewohnt sind als Ordinalen, also räumlich, darzutellen, in Abhäugigkeit von dem Orte (Farbentöne im Spektrum, veränderliche Dichte in einem Körper, Höhe der Temperatur, Stärke des Magnetismus in einem Stabe, der Spannung in einem elektrischen Leiter u.s.w.) oder von der Zeit, welche selbst ebenfalls unter dem Bilde des eindimensionalen Raumes, der Linie, dargestellt wird — sind wir in der Lage, die Mathematik anzuwenden; wo die Kontinuität, oder selbst die Massbestimmung durch extensive Grössen fehlt, oder die Bedingungen, um diese Kontinuität suppletorisch einzuführen, da steht die Mathematik dem Probleme in achtlos gegenüber.

Eine philosophische Konzeption erscheint uns als sicher und selbst unumstösslich, wenn die uns für die Behandlung des Problems zur Verfügung stehenden Hilfsmittel gegen dasselbe keinen Einwand zu erheben gestatten oder die möglichen Einwände mit grösserer oder mindestens mit derselben Sicherheit widerlegt als aufgestellt werden können. Daher kommt unser Bewusstsein von der Sicherheit so vieler Naturgesetze auch ohne mathematische Behandlung. Hieraus folgt aber für die Wissenschaft garadezu die Pflicht, in jedem Falle zur Prüfung alle jene Hilfsmittel heranzuziehen, welche den Grad der Sicherheit der Annahme oder der die Einwürfe widerlegenden Behauptungen erhöhen können und da gerade die Messung und die Vergleichung der Messungsresultate durch die Mathematik eine der schärfsten Proben für die Sicherheit bietet, die Notwendigkeit, wo immer es tunlich erscheint, die Mathematik in Anwendung zu bringen.

Nur dem harmonischen Zusammenwirken der philosophischen Konzeption und der mathematischen Analyse wird es vielleicht gelingen, jene prophetischen Worte Senecas, die sich schon jetzt in einem so weiten Rahmen erfüllt haben, auch für ferne, spätere Zeiträume zu bewahrheiten:

Veniet tempus, quo ista, quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia.... Veniet tempus, quo posteri nostri tam aperta nos nescisse mirentur!

Wien, Universität.

Norbert Herz

Note

1. Doch kann man sich eines gewissen Staunens nicht erwehren, dass niemand vor Galilei auf die doch nich allzuschwer zu beobachtenden Pendelgesetze geführt wordenwar.