Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/4

by Luigi Cremona

Art. 4. Sulle reti geometriche d'ordine qualunque

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Luigi Cremona - Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (1864)

Art. 4. Sulle reti geometriche d'ordine qualunque

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13. Una rete di curve d’ordine $n$ (Introd. 92) è dessa in generale una rete di prime polari? Siccome una rete è determinata da tre curve, così è da ricercarsi se, date tre curve $A_{1},A_{2},A_{3}$ d’ordine $n$ e non appartenenti ad uno stesso fascio, sia possibile di determinare tre punti $a_{1},a_{2},a_{3}$ (non in linea retta) ed una curva d’ordine $n+1$ rispetto alla quale le tre curve date siano le prime polari di $a_{1},a_{2},a_{3}$.

La curva fondamentale ed i tre poli dipendono da ${\tfrac {1}{2}}(n+1)(n+4)+6$ condizioni: mentre se si domanda l’identità delle tre curve date colle polari dei tre punti, bisognerà sodisfare a ${\tfrac {3}{2}}n(n+3)$ condizioni. La differenza $(n-2)(n+4)$ di questi numeri è nulla soltanto per $n=2$. Eccettuato adunque il caso di $n=2$, una rete di curve non è in generale una rete di prime polari. [44]

14. Consideriamo pertanto una rete affatto generale, la quale sia individuata da tre curve $A_{1},A_{2},A_{3}$ d’ordine $n$; e sia $A_{0}$ un’altra curva della rete, tale che tre qualunque delle quattro curve $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}$ non appartengano ad uno stesso fascio. Fissiamo ad arbitrio nel piano quattro punti $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$, tre qualunque dei quali non siano in linea retta, e consideriamoli come corrispondenti alle quattro curve anzidette. Ciò premesso, i punti del piano e le curve della rete si possono far corrispondere fra loro, in modo che a punti in linea retta corrispondano curve di un fascio (proiettivo alla punteggiata). Se consideriamo dapprima una retta che unisca due de’ punti dati, per es. $a_{0}a_{1}$, la projettività fra i punti della retta $a_{0}a_{1}$ e le curve del fascio $A_{0}A_{1}$ sarà determinata dalla condizione che ai punti $a_{0},a_{1}$ corrispondano le curve $A_{0},A_{1}$, ed al punto d’intersezione delle rette $a_{0}a_{1},a_{2}a_{3}$ corrisponda la curva comune ai fasci $A_{0}A_{1},A_{2}A_{3}$: poste le quali cose, ad un altro punto qualunque di $a_{0}a_{1}$ corrisponderà una curva affatto individuata del fascio $A_{0}A_{1}$.

Per una retta qualunque $R$, ai punti in cui essa è segata da tre lati dei quadrangolo $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$ corrispondono tre curve già determinate in ciò che precede, le quali apparterranno necessariamente ad uno stesso fascio: quindi ad un quarto punto qualsivoglia in $R$ corrisponderà una determinata curva del fascio medesimo; e viceversa. — E la curva $A$ corrispondente ad un dato punto $a$ si troverà considerando questo come l’intersezione di due rette (che per semplicità si potranno condurre rispettivamente per due de’ punti dati) ed assumendo la curva comune ai due fasci relativi alle rette medesime.

15. Per tal modo ad un punto $a$ corrisponde una certa curva $A$ della rete (comune a tutti i fasci relativi alle rette che passano per $a$), e viceversa ad una curva $A$ della rete corrisponde un punto individuato $a$ (comune a tutte le rette i cui fasci corrispondenti contengano la curva $A$).

Tutte le curve della rete che passano per uno stesso punto $a$ formano un fascio, epperò corrispondono ai punti di una certa retta $R$; e reciprocamente questa retta contiene i punti corrispondenti a quelle curve della rete che passano per certi $n^{2}$ punti fissi, uno de’ quali è $a$. Onde possiamo dire che ad un punto qualunque $a$ corrisponde una certa retta $R$ (luogo de’ punti le cui curve corrispondenti $A$ passano per $a$); ma viceversa ad una retta $R$, fissata ad arbitrio, corrispondono $n^{2}$ punti (costituenti la base del fascio delle curve $A$ corrispondenti ai punti di $R$).

Dunque ad un punto del piano corrispondono una curva $A$ della rete ed una retta, e viceversa ad una curva della rete corrisponde un punto individuato, mentre ad una retta corrispondono $n^{2}$ punti. E dalle cose precedenti segue:

Se la curva $A$ di un punto $a$ passa per un altro punto $a'$, viceversa la retta $R$ di $a'$ passa per $a$; e reciprocamente.

16. Quale è il luogo dei punti che giacciono nelle rispettive curve $A$, ovvero (ciò che è la medesima cosa, in virtù del teorema precedente) nelle corrispondenti rette $R$? Sia $T$ un’arbitraria trasversale: ad un punto $a$ di questa corrisponde una curva $A$ che sega $T$ in $n$ punti $a'$. Viceversa, se si prende ad arbitrio in $T$ un punto $a'$, le curve $A$ passanti per $a'$ corrispondono ai punti di una retta $R$, che incontra $T$ in un punto $a$. Cioè ad un punto $a$ corrispondono $n$ punti $a'$, e ad un punto $a'$ corrisponde un punto $a$; epperò la trasversale $T$ contiene $n+1$ punti del luogo di cui si tratta. Dunque:

Il luogo di un punto situato nella corrispondente curva $A$ è una curva $K$ d’ordine $n+1$.

Quale è l’inviluppo delle rette $R$ che contengono uno de’ loro punti corrispondenti? Sia $a$ un punto arbitrario; le rette passanti per $a$ hanno i loro punti corrispondenti situati nella curva $A$ del punto $a$, la quale sega la curva $K$ (del teorema precedente) in $n(n+1)$ punti; ciascuno de’ quali corrisponde alla retta $R$ che lo unisce ad $a$. Dunque:

L’inviluppo di una retta $R$ che passi per uno degli $n^{2}$ punti che le corrispondono è una curva $H$ della classe $n(n+1)$.

Il punto $a$ apparterrà ad $H$, se due di quelle rette che uniscono $a$ alle intersezioni di $A$ e $K$ coincidono, cioè se $A$ tocca $K$; dunque:

La curva $H$ è l’inviluppo delle rette $R$ che corrispondono ai punti della curva $K$, ed è anche il luogo dei punti ai quali corrispondono curve $A$ che tocchino $K$.

Quando le curve della data rete sono le prime polari de’ loro punti corrispondenti rispetto ad una curva fondamentale, in questa coincidono insieme le due curve $H$ e $K$.

17. Ma anche nel caso più generale sussistono quasi tutte le proprietà dimostrate nell'Introduzione per un sistema di prime polari: anzi rimangono invariate le stesse dimostrazioni; e ciò perchè quelle proprietà e quelle dimostrazioni in massima parte dipendono non già dalla connessione polare delle curve della rete con una curva fondamentale, ma piuttosto dalla determinabilità lineare delle medesime per mezzo di tre sole fra esse. Così si hanno i seguenti enunciati, che sussistono per una rete qualsivoglia e si dimostrano col soccorso della definizione delle reti e dei teoremi superiori (15, 16).

Se un punto percorre una curva $C_{m}$ d’ordine $m$, la corrispondente retta $R$ inviluppa una curva $L$ della classe $mn$, che è anche il luogo di un punto al quale corrisponda una curva $A$ tangente a $C_{m}$. Se $C_{m}$ non ha punti multipli, l’ordine di $L$ è $m(m+2n-3)$; ma questo numero è diminuito di $r(r-1)+s-1$ se $C_{m}$ ha un punto $(r)$^plo con $s$ tangenti coincidenti.

Da questo teorema segue che il numero delle curve $A$ che toccano due curve $C_{m},C_{m'}$, è eguale al numero delle intersezioni delle due corrispondenti curve $L$, gli ordini delle quali sono conosciuti.

Alle cuspidi di $C_{m}$ corrispondono le tangenti stazionarie di $L$, e siccome si conoscono così di questa curva la classe, l’ordine ed il numero de’ flessi, si potranno determinare, per mezzo delle formole di Plücker, i numeri de’ punti doppi, delle tangenti doppie e delle cuspidi della medesima curva $L$. Questi numeri poi esprimono quante curve $A$ hanno un doppio contatto con $C_{m}$, quante un contatto tripunto colla stessa $C_{m}$, ecc. (Introd. 103).

18. Il luogo di un punto $p$ le cui rette polari relative alle curve $A$ della rete passino per uno stesso punto $o$ è una curva dell’ordine $3(n-1)$, che si può chiamare la Hessiana o la Jacobiana della rete [45], e che può essere definita anche come il luogo dei punti di contatto fra le curve della rete, o il luogo dei punti doppi delle curve medesime (Introd. 90 a, 92, 95).

Il luogo di un punto $o$ nel quale si seghino le rette polari di uno stesso punto $p$, rispetto alle curve della rete, è una curva d’ordine $3(n-1)^{2}$, che si può chiamare la curva Steineriana della rete (Introd. 98, a).

Quindi ad ogni punto $p$ della Jacobiana corrisponde un punto $o$ della Steineriana, e reciprocamente: e l’inviluppo della retta $po$, la quale tocca in $p$ tutte le curve della rete che passano per questo punto, è una curva della classe $3n(n-1)$ (Introd. 98, b).

Il luogo di un punto $a$ al quale corrisponda una curva $A$ dotata di un punto doppio $p$ è una curva $\Sigma$ dell’ordine $3(n-1)^{2}$.

La curva $\Sigma$ coincide colla Steineriana quando le curve $A$ sono le prime polari de’ punti corrispondenti, rispetto ad una curva fondamentale (Introd. 88, d).

La retta $R$ che corrisponde al punto $p$ tocca (Introd. 118) in $a$ la curva $\Sigma$; ossia:

La curva $\Sigma$ è l’inviluppo delle rette $R$ che corrispondono ai punti della Jacobiana.

Di qui si può immediatamente concludere la classe della curva $\Sigma$, non che le singolarità della medesima, e si avranno quindi le formole (Introd. 119-121) esprimenti: quanti fasci vi siano in una data rete qualsivoglia le curve de’ quali si tocchino in due punti distinti, o abbiano fra loro un contatto tripunto; e quante curve contenga la rete le quali siano dotate di due punti doppi o di una cuspide.

19. E qui giova notare che quelle formole presuppongono la Jacobiana sprovveduta d’ogni punto multiplo. Ma è ben facile di assegnare le modificazioni che subirebbero i risultati medesimi quando la Jacobiana avesse punti multipli.

Se le curve di una rete hanno $d$ punti comuni con tangenti distinte, ed altri $k$ punti comuni ne’ quali esse si tocchino, la Jacobiana avrà (Introd. 96, 97) in ciascun di quelli un punto doppio, ed in ciascun di questi un punto triplo con due tangenti coincidenti nella tangente comune alle curve della rete [46]. Ne segue che quei punti equivalgono a $2d+4k$ intersezioni della Jacobiana con una qualunque delle curve della rete, epperò (Introd. 118, b) la classe di $\Sigma$ sarà

$3n(n-1)-2d-4k$.

Supponiamo poi che, astrazione fatta dai punti comuni alle curve della rete, la Jacobiana abbia altri $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi. Allora (Introd. 103) l’ordine del luogo di un punto a cui corrisponda una curva $A$ tangente alla Jacobiana sarà

$3(n-1)(5n-6)-2(d+\delta )-3\chi -7k$; [47]

epperò il numero dei flessi di $\Sigma$ sarà (Introd. 118, d)

$3(n-1)(4n-5)-2(d+\delta )-3\chi -7k$, [48]

donde si concluderanno poi, colle formole di Plücker, le altre singolarità della curva.

Se le curve della rete avessero un punto $(r)$^plo comune, il medesimo sarebbe multiplo secondo $3r-1$ per la Jacobiana. Siccome poi un fascio qualunque della rete conterrà, oltre a quel punto, solamente altri $3(n-1)^{2}-(r-1)(3r+1)$ punti doppi (8), così l’ordine di $\Sigma$ subirà in questo caso la diminuzione di $(r-1)(3r+1)$ unità (Introd. 88, d)¹, ecc.

20. Se una curva $C_{m}$ sega la Jacobiana in $3m(n-1)$ punti $p$, la curva $\Sigma$ toccherà ne’ corrispondenti $3m(n-1)$ punti $a$ il luogo $L$ dei punti ai quali corrispondono curve $A$ tangenti a $C_{m}$ (Introd. 122). Ecc. ecc. [49]

Note

1. <E la classe di $\Sigma$ subirà la diminuzione $r(3r-1)$.>