Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Definizioni relative alle linee piane

by Luigi Cremona

Art. 5. Definizioni relative alle linee piane

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 5. Definizioni relative alle linee piane

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Art. V.

Definizioni relative alle linee piane.

28. Una linea piana può considerarsi generata dal movimento {continuo} di un punto o dal movimento di una retta: nel primo caso, essa è il luogo di tutte le posizioni del punto mobile; nel secondo, essa è l’inviluppo delle posizioni della retta mobile¹.

Una retta, considerata come luogo de’ punti situati in essa, è il più semplice esempio della linea-luogo.

Un punto, risguardato come inviluppo di tutte le rette incrociantisi in esso, è il caso più semplice della linea-inviluppo.

Un luogo dicesi dell’ordine $n$, se una retta qualunque lo incontra in $n$ punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti). Il luogo di primo ordine è la retta. Un sistema di $n$ rette è un luogo dell’ordine $n$. Due luoghi, i cui ordini siano rispettivamente $n,\,n'$ formano insieme un luogo dell’ordine $n+n'$.

Un luogo dell’ordine $n$ non può, in virtù della sua definizione, essere incontrato da una retta in più di $n$ punti. Dunque, se un tal luogo avesse con una retta più di $n$ punti comuni, questa sarebbe parte di quello, cioè tutt’i punti della retta apparterrebbero al luogo.

Una linea curva di dato ordine si dirà semplice, quando non sia composta di linee d’ordine inferiore.

Un inviluppo dicesi della classe $n$, se per un punto qualunque passano $n$ posizioni della retta inviluppante, ossia $n$ rette tangenti (reali, imaginarie, distinte o coincidenti). L’inviluppo di prima classe è il punto. Un sistema di $n$ punti è un inviluppo della classe $n$. Due inviluppi, le cui classi siano $n,\,n'$, costituiscono, presi insieme, un inviluppo della classe $n+n'$.

Se ad un inviluppo della classe $n$ arrivano più di $n$ tangenti da uno stesso punto, questo appartiene necessariamente a quell’inviluppo, cioè tutte le rette condotte pel punto sono tangenti dell’inviluppo medesimo.

Una curva-inviluppo di data classe si dirà semplice, quando non sia composta di inviluppi di classe minore.

29. Consideriamo una curva-luogo dell’ordine $n$. Se $a$ è una posizione del punto generatore, ossia un punto della curva, la retta ${\rm {A}}$ che passa per $a$ e per la successiva posizione del punto mobile è la tangente alla curva in quel punto. Cioè, la curva luogo delle posizioni di un punto mobile è anche l’inviluppo delle rette congiungenti fra loro le successive posizioni del punto medesimo.

Nel punto di contatto $a$ la curva ha colla tangente ${\rm {A}}$ due punti comuni (contatto bipunto); quindi le due linee avranno, in generale, altri $n-2$ punti d’intersecazione. Se due di questi $n-2$ punti coincidono in un solo $b$, la retta ${\rm {A}}$ sarà tangente alla curva anche in $b$. In tal caso, la retta ${\rm {A}}$ dicesi tangente doppia; $a$ e $b$ sono i due punti di contatto².

Invece, se una delle $n-2$ intersezioni s’avvicina infinitamente ad $a$, la retta ${\rm {A}}$ avrà ivi un contatto tripunto colla curva. In tal caso, la retta ${\rm {A}}$ dicesi tangente stazionaria, perchè, se indichiamo con $a,\,a',\,a''$ i tre punti infinitamente vicini che costituiscono il contatto, essa rappresenta due tangenti successive $aa',\,a'a''$; e può anche dirsi ch’essa sia una tangente doppia, i cui punti di contatto $a,\,a'$ sono infinitamente vicini. Ovvero: se la curva si suppone generata dal movimento di una retta, quando questa arriva nella posizione ${\rm {A}}$ cessa di ruotare in un senso, si arresta e poi comincia a ruotare nel senso opposto. Il punto di contatto $a$ della curva colla tangente stazionaria chiamasi flesso, perchè ivi la retta ${\rm {A}}$ tocca e sega la curva, onde questa passa dall’una all’altra banda della retta medesima.

30. Consideriamo ora una curva-inviluppo della classe $m$. Se ${\rm {A}}$ è una posizione della retta generatrice, cioè una tangente della curva, il punto $a$ ove ${\rm {A}}$ è incontrata dalla tangente successiva, è il punto in cui la retta ${\rm {A}}$ tocca la curva. Quindi la curva inviluppo di una retta mobile è anche il luogo del punto comune a due successive posizioni della retta stessa.

Per un punto qualunque si possono condurre, in generale, $m$ tangenti alla curva. Ma se si considera un punto $a$ della curva, due di quelle $m$ tangenti sono successive, cioè coincidono nella tangente ${\rm {A}}$. Quindi per $a$ passeranno, inoltre, $m-2$ rette tangenti alla curva in altri punti.

Se due di queste $m-2$ tangenti coincidono in una sola retta ${\rm {B}}$, la curva ha in $a$ due tangenti ${\rm {A,\,B}}$, cioè passa due volte per $a$, formando ivi un nodo; le rette ${\rm {A}}$ e ${\rm {B}}$ toccano in $a$ i due rami di curva che ivi s’incrociano. In questo caso, il punto $a$ dicesi punto doppio³.

Invece, se una delle $m-2$ tangenti coincide con ${\rm {A}}$, questa retta rappresenta tre tangenti successive ${\rm {A,\,A',\,A''}}$, ed il punto $a$ può considerarsi come un punto doppio, le cui tangenti ${\rm {A,\,A'}}$ coincidano (cioè, il cui nodo sia ridotto ad un punto). Nel caso che si considera, il punto $a$ dicesi cuspide o regresso o punto stazionario, perchè esso rappresenta l’intersezione della tangente ${\rm {A}}$ con ${\rm {A'}}$ e di ${\rm {A'}}$ con $\mathrm {A} ''$; ossia perchè, se s’imagina la curva generata da un punto mobile, quando questo arriva in $a$ si arresta, rovescia la direzione del suo moto e quindi passa dalla parte opposta della tangente ${\rm {A}}$ (tangente cuspidale).

Dalle formole di Plücker, che saranno dimostrate in seguito (XVI), si raccoglie che una curva-luogo di dato ordine non ha in generale punti doppi nè cuspidi, bensì tangenti doppie e flessi; e che una curva-inviluppo di data classe è in generale priva di tangenti singolari, ma possiede invece punti doppi e punti stazionari.

Però, se la curva è di natura speciale, vi potranno anche essere punti o tangenti singolari di più elevata moltiplicità. Una tangente si dirà multipla secondo il numero $r$, ossia $(r)$^pla, quando tocchi la curva in $r$ punti, i quali possono essere tutti distinti, o in parte o tutti coincidenti. Un punto si dirà $(r)$^plo, quando per esso la curva passi $r$ volte, epperò ammetta ivi $r$ tangenti tutte distinte, ovvero in parte o tutte sovrapposte.

31. Se una curva ha un punto $(r)$^plo $a$, ogni retta condotta per $a$ sega ivi $r$ volte la curva, onde il punto $a$ equivale ad $r$ intersezioni della retta colla curva. Ma se la retta tocca uno de’ rami della curva, passanti per $a$, essa avrà in comune con questa anche quel punto di esso ramo che è successivo ad $a$; cioè questo punto conta come {almeno} $r+1$ intersezioni della curva colla tangente. Dunque, fra tutte le rette condotte per $a$ ve ne sono al più $r$ (le tangenti agli $r$ rami) che segano ivi la curva in $r+1$ punti coincidenti; epperò, se vi fossero $r+1$ rette dotate di tale proprietà, questa competerebbe ad ogni altra retta condotta per $a$, cioè $a$ sarebbe un punto multiplo secondo il numero $r+1$.

Analogamente: se una curva ha una tangente ${\rm {A}}$ multipla secondo $r$, questa conta per $r$ tangenti condotte da un punto preso ad arbitrio in essa, ma conta per {almeno} $r+1$ tangenti rispetto a ciascuno de’ punti di contatto della curva con ${\rm {A}}$. Cioè da ogni punto di ${\rm {A}}$ partono $r$ tangenti coincidenti con ${\rm {A}}$; e vi sono al più $r$ punti in questa retta, da ciascun de’ quali partono $r+1$ tangenti coincidenti colla retta stessa. Onde, se vi fosse un punto di più, dotato di tale proprietà, questa spetterebbe a tutt’i punti di ${\rm {A}}$, e per conseguenza questa retta sarebbe una tangente multipla secondo $r+1$.

Da queste poche premesse segue che:

Se una linea dell’ordine $n$ ha un punto $(n)$^plo $a$, essa non è altro che il sistema di $n$ rette concorrenti in $a$. Infatti, la retta che unisce $a$ ad un altro punto qualunque del luogo ha, con questo, $n+1$ punti comuni, epperò fa parte del luogo medesimo.

Così, se un inviluppo della classe $m$ ha una tangente $(m)$^pla, esso è il sistema di $m$ punti situati sopra questa retta.

Una curva semplice dell'ordine $n$ non può avere, oltre ad un punto $(n-1)$^plo, anche un punto doppio, perchè la retta che unisce questi due punti avrebbe $n+1$ intersezioni comuni colla curva. Analogamente, una curva semplice della classe $m$ non può avere una tangente $(m-1)$^pla ed inoltre un'altra tangente doppia, perchè esse rappresenterebbero $m+1$ tangenti concorrenti nel punto comune alle medesime.

Note

1. Plücker, Theorie der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 200.
2. I due punti di contatto possono essere imaginari senza che la retta ${\rm {A}}$ cessi d’essere reale e di possedere tutte le proprietà di una tangente doppia.
3. Le due tangenti ${\rm {A,\,B}}$ ponno essere imaginarie, epperò imaginari anche i due rami della curva, rimanendo reale il punto d’incrociamento $a$. Questo è, in tal caso, un punto isolato, e può considerarsi come un’ovale infinitesima o evanescente.