Utente:Alex brollo/geometria

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[p. 46 modifica]I GEOMETRI FRANCESI DELLA FINE DEL XVIII SECOLO


§ 23. La critica sulle parallele, che già in Italia ed in Germania aveva condotto a risultati di grande interesse, verso la fine del XVIII secolo e sul principio del XIX ebbe, anche in Francia un notevole impulso.

D’Alambert [1717-1783], in un suo articolo sulla geometria [1759] dichiara che: «La definition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles sont 1'écueil et pour ainsi dire le scandale des éléments de Géométrie1». Ritiene che con una buona definizione di linea retta si dovrebbero evitare entrambe le difficoltà. Propone di chiamare parallela ad una retta data una qualsiasi altra retta coplanare, che congiunge due punti equidistanti e situati da una stessa banda di quella. Questa definizione permette di costruire immediatamente le parallele: però sarebbe necessario dimostrare che queste parallele sono equidistanti. Questo teorema fu proposto dal D’Alambert, quasi per sfida, ai suoi contemporanei.


§ 24. De Morgan, nella sua raccolta di paradossi, racconta che Lagrange [1736-1813], verso la fine di sua vita, scrisse una memoria sulle parallele. Presentata all'Accademia di Francia ne interruppe la lettura esclamando: «Il faut que j'y songe encore!» e ritirò il manoscritto2.

Inoltre Hoüel riporta che Lagrange, conversando con Biot, affermava l'indipendenza della trigonometria sferica dal [p. 47 modifica]postulato d'Euclide3. Ad avvalorare questa affermazione può aggiungersi che Lagrange si occupò con speciale interesse della trigonometria sferica4 e che egli fu ispiratore, se non autore, d'una memoria «Sur les principes fondamentaux de la Mécanique» [1760-61]5, in cui D. Foncenex svolge una questione di indipendenza analoga a quella sopra accennata della trigonometria sferica. Precisamente Foncenex dimostra che la legge analitica per la composizione delle forze concorrenti non dipende nè dal V postulato, nè da qualsiasi altro equivalente6.


§ 25. Il concetto di similitudine, come concetto fondamentale, già usato da Wallis nel 1663 [cfr. § 8], ricompare sul principio del XIX secolo, con l'autorevole appoggio di due grandi geometri: L. N. M. Carnot [1753-1823] e Laplace [1749-1827].

In una nota [p. 481] alla sua «Géométrie de Position» [1803] Carnot afferma che la teoria delle parallele si riattacca alla nozione di similitudine, il cui grado d'evidenza corrisponde, presso a poco, a quello dell'uguaglianza e che una volta ammessa questa nozione è facile stabilire con rigore la teoria in discorso.

Laplace [1824], dopo aver osservato che la legge di Newton [legge dell'attrazione universale], per la sua semplicità, per la sua generalità e per la rispondenza che trova nei fenomeni fisici, deve riguardarsi come rigorosa, nota che una delle sue proprietà più notevoli è che ove le dimensioni di tutti i corpi dell'universo, le loro mutue distanze [p. 48 modifica]e le loro velocità decrescessero proporzionalmente, i corpi celesti descriverebbero delle linee interamente simili a quelle che descrivono, in modo che l'universo, ridotto successivamente fino al più piccolo spazio immaginabile, offrirebbe sempre le stesse apparenze ai suoi osservatori. Queste apparenze, continua, sono dunque indipendenti dalle dimensioni dell'universo, talchè la semplicità delle leggi naturali non permette all'osservatore che di conoscere dei rapporti. Riattaccandosi a questa concezione astronomica dello spazio, aggiunge in nota: «I tentativi dei geometri per dimostrare il postulato d'Euclide sulle parallele sono stati finora inutili. Tuttavia nessuno pone in dubbio questo postulato ed i teoremi che Euclide dedusse. La percezione dello spazio racchiude dunque una proprietà speciale, evidente per sè stessa, senza la quale non si possono rigorosamente stabilire le proprietà delle parallele. L'idea dell'estensione limitata, per esempio, del cerchio, non contiene nulla che dipenda dalla sua grandezza assoluta. Ma se noi diminuiamo col pensiero il suo raggio siamo portati invincibilmente a diminuire nello stesso rapporto la sua circonferenza ed i lati di tutte le figure iscritte. Questa proporzionalità mi pare essere un postulato più naturale di quello di Euclide ed è notevole il ritrovarlo nei risultati della gravitazione universale»7.


§ 26. Insieme ai precedenti geometri si suole ricordare anche J. B. Fourier [1768-1830], per una discussione sulla linea retta da lui sostenuta insieme a Monge8. Volendo riattaccare questa discussione alle ricerche sulle parallele basta riferirsi all'idea espressa da D’Alambert, che la dimostrazione [p. 49 modifica]del postulato possa connettersi con la definizione di retta [cfr. § 23].

Fourier, assumendo come primitivo il concetto di distanza fra due punti, propose di definire prima la sfera, indi il piano, come luogo dei punti equidistanti da due punti dati9, poi la retta, come luogo dei punti equidistanti da tre punti dati. Questo modo di presentare il problema dei fondamenti della geometria concorda con le idee professate in seguito da altri geometri che si occuparono espressamente della questione delle parallele [W. Bolyai, N. Lobacefski, De Tilly]. In questo senso la discussione tra Fourier e Monge trova il suo posto fra i primi documenti che si riferiscono alla geometria non-euclidea10.


ADRIANO MARIA Legendre [1752-1833]


§ 27. I precedenti geometri si limitarono a rilevare le difficoltà e ad emettere giudizi intorno al postulato; chi invece tentò di trasformarlo in teorema fu Legendre, le cui ricerche, sparse nelle varie edizioni dei suoi «Éléments de Géométrie.» [1794-1823], sono riassunte nelle «Refléxions sur différentes manières de démontrer la théorie des parallèles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle.» [Mém. Academie Sciences, Paris, t. XIII, 1833].

Nei più interessanti tentativi Legendre, come già Saccheri, affronta la questione dal lato della somma degli angoli [p. 50 modifica]d'un triangolo, somma ch'ei vuole dimostrare uguale a due angoli retti.

Allo scopo riesce, fin da principio, a scartare l'ipotesi saccheriana dell'angolo ottuso, stabilendo che «in qualsiasi triangolo la somma degli angoli è minore [ip. ang. acuto] od uguale [ip. ang. retto] a due angoli retti.

Riportiamone una semplice ed elegante dimostrazione di Legendre.

Siano sopra una retta n segmenti uguali e consecutivi A1 A2, A2 A3,.... An An+1, sui quali, da una stessa banda della retta, siano costruiti n triangoli uguali, aventi per terzi vertici i punti B1, B2,.... Bn.

I segmenti B1 B2, B2 B3,.... Bn-1 Bn , che congiungono questi ultimi vertici, sono uguali e possono considerarsi come basi di altri n triangoli uguali: B1A2B2, B2A3B3,.... Bn-1AnBn. Si completi la figura con il trangolo BnAn+1Bn+1, uguale ai precedenti.

Denotando con beta l'angolo in B, del triangolo A1B1A2 e con alfa l'angolo in A2 del triangolo consecutivo, dico essere beta uguale/minore alfa. Infatti, se fosse beta > alfa, dal paragone dei due triangoli A1B1A2, B1A2B2, che hanno due lati uguali, si dedurrebbe A1A2 > B1B2.

Inoltre, essendo la spezzata A1B1B2.... Bn+1An+1 maggiore del segmento A1An+1, si avrebbe:


A1B1 + (B1B2) . n + An+1 Bn-1 > (A1A2) . n, cioè: 2 A1B1 > (A1A2 – B1B2) [p. 51 modifica]. n.


Ma questa disuguaglianza, per n abbastanza grande, contraddice il postulato di Archimede, perciò non può essere A1A2, > B1B2, e conseguentemente è assurdo supporre beta > alfa. Segue beta uguale/minore alfa, da cui si ricava subito che la somma dei tre angoli del triangolo A1B1A2 è minore od uguale a due angoli retti.

Questo teorema suole impropriamente chiamarsi 1° teorema di Legendre. Diciamo impropriamente perchè Saccheri, dimostrando falsa l'ip. ang. ottuso, aveva già stabilito, quasi un secolo prima, questo teorema [cfr. p. 34].

Il così detto 2° teorema di Legendre, dato anch'esso da Saccheri e sotto forma più generale [cfr. § 13], è il seguente:

«Se in un solo triangolo la somma degli angoli è minore od uguale a due angoli retti, è rispettivamente minore od uguale a due angoli retti in ciascun altro triangolo.».

Non riportiamo la dimostrazione di questo teorema perchè non sostanzialmente diversa da quella di Saccheri.

Ecco piuttosto come Legendre dimostra che la somma dei tre angoli d'un triangolo è uguale a due angoli retti.

Nel triangolo ABC suppongasi A + B + C < 2 retti. Fissato il punto D sul lato AB, si tracci la trasversale DE in modo che l'angolo ADE sia uguale all'angolo B. Nel quadrilatero DBCE la somma degli angoli è minore di quattro retti, onde AED > ACB. L'angolo in E del triangolo ADE è dunque una ben determinata funzione [decrescente] del lato AD, o, ciò che fa lo stesso, la lunghezza del lato AD è pienamente determinata quando si conosca la misura [in angoli retti] dell'angolo E e dei due angoli fissi, A, B. Ma questo risultato, secondo Legendre, è assurdo, perchè la lunghezza d'un segmento non ha significato [p. 52 modifica]se non si conosce l'unità di misura cui è riferita e la natura della questione non indica in alcun modo questa unità.

Quindi cade l'ipotesi A + B + C < 2 retti e conseguentemente si avrà: A + B + C = 2 retti.

Ma da questa uguaglianza segue facilmente la dimostrazione del postulato Euclideo.


Il metodo di Legendre si basa quindi sul postulato di Lambert, che nega l'esistenza d'una unità assoluta pei segmenti.


§ 28. In un'altra dimostrazione Legendre fa uso dell'ipotesi: Da un punto qualunque preso nell'interno di un angolo si può sempre condurre una retta che incontra i due lati dell'angolo11. Ecco come procede. [

Sia ABC un triangolo, in cui, se è possibile, la somma degli angoli sia minore di due angoli retti.

Posto: 2 retti - A- B - C = alfa [deficienza], si costruisca il punto A', simmetrico di A rispetto al lato BC. La deficienza del nuovo triangolo CBA' è pure alfa. Poi, in forza [p. 53 modifica]dell'ipotesi sopra enunciata, si conduca per A' una trasversale che incontri in B1 e C1 i lati dell'angolo A. La deficienza del triangolo AB1C1, come facilmente si verifica, è la somma delle deficienze dei quattro triangoli che lo compongono [cfr. anche Lambert, p. 40], quindi maggiore di 2 alfa. Ripetendo, a partire dal triangolo AB1C1, la precedente costruzione, si otterrà un nuovo triangolo, di deficienza maggiore di 4 alfa. Dopo n operazioni di tale natura si sarà costruito un triangolo di deficienza maggiore di 2n alfa. Ma, per n abbastanza grande, è 2n alfa > 2 retti [post. Archimede], il che è assurdo. Segue: alfa = 0, quindi: A + B + C = 2 retti.


Questa dimostrazione è appoggiata sul postulato di Archimede. Ecco come si potrebbe evitare l'uso di tale postulato. Siano AB ed HK una obliqua ed una perpendicolare ad AH. Si costruisca la retta AB', simmetrica di AB rispetto ad AH. Pel punto H, in forza dell'ipotesi di Legendre, passa una retta r che incontra i due lati dell'angolo BAB'. Se questa retta è diversa dalla HK anche la sua simmetrica r', rispetto ad AH, gode della medesima proprietà e conseguentemente anche la HK. Dunque, una perpendicolare ed un'obliqua alla retta AH s'incontrano sempre. Da questo risultato segue la teoria ordinaria delle parallele, quindi A + B + C = 2 retti. [p. 54 modifica]

In altre dimostrazioni Legendre fa uso di ragionamenti analitici ed anche erroneamente di grandezze infinite.

Con quest'opera così svariata Legendre credè finalmente risolta l'inestricabile difficoltà annidata sul principio della geometria. In sostanza però non aggiunse nulla di veramente nuovo al materiale ed alle convinzioni guadagnate dai suoi predecessori. Il suo maggior merito sta nella forma piana ed elegante che seppe dare a talune sue ricerche, ond'esse raggiunsero quella diffusione che tanto contribuì ad allargare la cerchia dei cultori delle nuove idee, che allora andava formandosi.


WOLFGANG Bolyai [1775-1856].


§ 29. In questo capitolo va ricordato anche il geometra ungherese W. Bolyai, che si occupò delle parallele fin dall'epoca in cui studiava a Gottinga [1796-1799], probabilmente per consiglio di Kaestner e del giovane professore di astronomia K. F. Seyffer [1762-1822], col quale aveva relazioni amichevoli.

Nel 1804 spedì a Gauss, suo compagno di studio a Gottinga, una «Theoria Parallelarum», contenente un tentativo per dimostrare l'esistenza di rette equidistanti12. Gauss confutò questa dimostrazione. Bolyai non cessò per questo di occuparsi dell'assioma XI, riuscendo soltanto a sostituire l'assioma con altri di maggiore o minore evidenza. Giunse così a dubitare della sua dimostrabilità e ad intuire l'impossibilità di ridurre l'ipotesi euclidea, perchè [egli afferma] le conseguenze derivanti dalla negazione dell'assioma XI non possono contraddire i principi della geometria, [p. 55 modifica]in quanto la legge della intersezione di due rette, comunque ammessa, rappresenta un nuovo dato, indipendente dagli altri che lo precedono13.

WOLFGANG raccolse le sue vedute intorno ai principi delle matematiche nell'opera: «Tentamen juventutem studiosa in elementa Matheseos.» [1832-33] e in particolare le sue ricerche sull'assioma XI, ponendo in evidenza, in ciascun tentativo, la nuova ipotesi da introdurre, per rendere rigorosa la dimostrazione.

Un notevole postulato cui WOLFGANG riconduce quello d'Euclide è il seguente: Tre punti non in linea retta giaciono sempre sopra una sfera, o, ciò che fa lo stesso: tre punti non in linea retta appartengono sempre ad una circonferenza14.

Ecco come può dedursi il postulato euclideo.

Siano AA', BB' due rette l'una perpendicolare, l'altra obbliqua ad AB. Preso il punto M nel segmento AB ed i simmetrici di M rispetto alle rette AA', BB', si otterranno [p. 56 modifica]due punti M', M" non in linea retta con M. Questi tre punti M, M', M" appartengono ad una circonferenza, ed allora le due rette AA', BB', dovendo entrambe passare pel centro del cerchio, s'incontrano.

Ma dal fatto che una perpendicolare ed una obbliqua ad una stessa retta s'incontrano segue senz'altro l'unicità della parallela.


FEDERICO LODOVICO WACHTER [1792-1817].


§ 30. Visto come il postulato euclideo dipenda dalla possibilità di tracciare un cerchio per tre punti qualsiansi non collineari, si presenta spontanea l'idea di stabilire l'esistenza di un sifatto cerchio, antecedentemente ad ogni ricerca sulle parallele.

Un tentativo in questa direzione fu fatto da F. L. Wachter.

Wachter, scolaro di Gauss e Gottinga [1809] e professore di matematica al ginnasio di Danzica, si occupò a più riprese della dimostrazione del postulato e credè aver raggiunto lo scopo prima in una lettera a Gauss [dicembre 1816], poi in un opuscoletto, stampato a Danzica nel 181715.

È in questa pubblicazione ch'egli cerca di stabilire che per quattro punti arbitrari dello spazio [non appartenenti ad un piano] passa una sfera, giovandosi del seguente postulato: Quattro punti arbitrari dello spazio determinano pienamente una superficie [superficie dei quattro punti] e due sifatte superficie s'intersecano in una sola linea, completamente determinata da tre punti.

È inutile seguire il ragionamento con cui Wachter cerca di dimostrare che la superficie dei 4 punti è una sfera, perchè, mancando nel suo opuscolo una precisa definizione di quella superficie, le sue deduzioni hanno soltanto carattere intuitivo. [p. 57 modifica]

Merita invece speciale attenzione un passo della sua lettera del 1816, scritta dopo un colloquio con Gauss, in cui s'era parlato d'una geometria anti-euclidea.

In questa lettera Wachter, riferendosi alla superficie limite d'una sfera il cui raggio tende all'infinito, che nell'ipotesi euclidea s'identifica col piano, afferma che su di essa, anche nel caso della falsità del V postulato, varrebbe una geometria identica a quella del piano ordinario.

L'affermazione è della massima importanza perchè ci porge uno dei più notevoli risultati validi nel sistema geometrico corrispondente all'ipotesi saccheriana dell'angolo acuto [cfr. Lobacefski, § 40]16. [p. 58 modifica]CAPITOLO III.


I fondatori della Geometria non-euclidea.

CARLO FEDERICO Gauss [1777-1855].


§ 31. Venti secoli d'inutili sforzi e segnatamente le ultime infruttuose ricerche sul V postulato, indussero molti geometri, fiorenti sul principio del secolo scorso, nella convinzione che l'assetto definitivo della teoria delle parallele costituisse un problema irresolubile. La scuola di Gottinga, fin dal 1763, aveva ufficialmente dichiarato la necessità di rassegnarsi all'ipotesi Euclidea, e questa idea, espressa da Klügel nel suo «Conatuum» [cfr. § 22], fu condivisa e sostenuta dal suo maestro A. G. Kaestner, allora professore all'Università di Gottinga17.

Nondimeno, l'interesse pel nostro argomento fu sempre vivo e, pur non cessando di affaticare inutilmente i ricercatori della presunta dimostrazione del postulato, guidò finalmente alla scoperta di nuovi sistemi geometrici, i quali, fondati anch'essi sulla intuizione, si svolgono in un campo più vasto, astraendo dal principio contenuto nel postulato euclideo.

Tutta la difficoltà di entrare nel nuovo ordine di idee appare manifesto a chi, riportandosi a quel tempo, rifletta alla concezione allora dominante della filosofia kantiana. [p. 59 modifica]

§ 32. Fu Gauss il primo ad avere chiara la visione d'una geometria indipendente dal V postulato, visione che per ben cinquant'anni rimase chiusa nella mente del sommo geometra e che venne in luce soltanto dopo le opere di Lobacefski [1829-30] e G. Bolyai [1832].

I documenti che permettono una approssimata ricostruzione delle ricerche gaussiane sulle parallele sono la corrispondenza di Gauss con W. Bolyai, OLBERS, Schumacher, GerlinG, Taurinus, Bessel [1799-1844]; due piccole note nei «Gött. gelehrte Anzigen» [1816, 1822]; e alcuni appunti trovati fra le sue carte [1831]18.

Mettendo a confronto vari passi delle lettere di Gauss è possibile fissare come punto di partenza delle sue meditazioni l'anno 1792.

Il seguente brano di una lettera a W. Bolyai [17 dicembre 1799] prova che Gauss, come già Saccheri e Lambert, ha tentato di dimostrare il V postulato prendendo come ipotesi la sua falsità.

«Quanto a me, i miei lavori sono già molto avanzati; ma la via nella quale sono entrato non conduce al fine che si cerca, e che tu affermi avere raggiunto19, ma conduce piuttosto a mettere in dubbio l'esattezza della geometria.

«Sono, è vero, arrivato a parecchie cose, che dalla maggior parte degli uomini sarebbero ritenute come una valida dimostrazione, ma che, ai miei occhi, non provano, per così dire, NULLA; per esempio, se si potesse dimostrare l'esistenza possibile d'un triangolo rettilineo, la cui area fosse più grande d'ogni area data, allora sarei in grado di dimostrare con rigore perfetto tutta la geometria. [p. 60 modifica]

«Quasi tutti, è vero, vorrebbero dare a ciò il titolo di assioma, io no; potrebbe infatti accadere che, per quanto lontani fossero fra loro i vertici di un triangolo nello spazio, la sua area fosse non di meno sempre inferiore (infra) a un limite assegnato.»

Nel 1804, rispondendo a W. Bolyai in merito alla «Theoria Parallelarum», esprime poi la speranza che gli scogli, contro cui hanno cozzato le sue ricerche, finiscano per lasciargli libero il passo.

Da tutto questo i SS. Stäckel ed Engel, che raccolsero e documentarono la suddetta corrispondenza di Gauss, deducono che non per intuizione geniale il sommo geometra riconobbe l'esistenza d'una geometria non euclidea, logicamente inattaccabile, ma che dovè, al contrario, dedicarsi ad un lungo e faticoso lavoro, prima di vincere l'antico pregiudizio!

Conobbe Gauss, nel primo periodo delle sue ricerche, le opere di Saccheri e Lambert? Quale influenza esercitarono sulla sua attività? Il prof. Segre, nelle sue «Congetture» altrove citate [nota 41], nota che tanto Gauss, quanto W. Bolyai, durante il loro soggiorno a Gottinga [il primo dal 1795 al 98, il secondo dal 1796 al 99], si occuparono delle parallele. È quindi possibile ch'essi, per mezzo di Kaestner e Seyffer, entrambi conoscitori profondi di questo argomento, venissero a conoscenza dell'«Euclides ab omni naevo vindicatus.» e della «Theorie der Parallellinien.», ma i dati storici che si posseggono, senza infirmare questa congettura, non sono tali da avvalorarla pienamente.


§ 33. A questo primo periodo dell'opera gaussiana ne segue un secondo, dopo il 1813, illustrato principalmente da alcune lettere, una di Wachter [1816], altre dirette a Gerlin [1819], Taurinus [1824], Schumacher [1831], e dagli appunti ritrovati fra le carte di Gauss.

Tali documenti ci mostrano che Gauss, in questo secondo [p. 61 modifica]periodo, vinta ogni esitazione, procedè nello sviluppo dei teoremi fondamentali d'una nuova geometria, ch'egli chiama prima anti-euclidea [cfr. lettera di Wachter citata a § 30] poi geometria astrale [seguendo Schweikart, cfr. § 35], finalmente non-euclidea [cfr. lettera a Schumacher]. Giunse così ad acquistare la certezza che la geometria non-euclidea non ha in se stessa nulla di contradditorio, benchè a prima vista parecchi de' suoi risultati abbiano l'aria di paradossi [lettera a Schumacher, 12 giugno 1831].

Tuttavia Gauss nulla lasciò trapelare di queste idee, per la certezza di non essere compreso [temeva «das Geschrei der Böotier»; lettera a Bessel, 27 gennaio 1829]: solo ad alcuni provati amici confida qualche cosa delle sue ricerche e quando per necessità di cose è costretto di scrivere a Taurinus [1824], lo prega di conservare il silenzio sulle comunicazioni fattegli.

Gli appunti trovati fra i manoscritti di Gauss contengono un rapido cenno della nuova teoria delle parallele e dovevano fare parte di una progettata esposizione della geometria non-euclidea, a proposito della quale egli scriveva [maggio 1831] a Schumacher:

«Da qualche settimana ho cominciato a mettere per iscritto qualche risultato delle mie meditazioni su questo soggetto, che risalgono in parte a quarant'anni, e di cui non avevo mai nulla redatto, ciò che mi ha costretto tre o quattro volte a ricominciare tutto il lavoro nella mia testa. Non vorrei pertanto che tutto ciò perisse con me».


§ 34. Ecco come Gauss definisce le parallele. [vedi figura 32.png]

Se la retta AM, coplanare e non incidente a BN, è tale che ogni retta per A, compresa nell'angolo BAM, incontri la BN, allora AM si dice parallela a BN.

Si noti la differenza fra questa definizione e quella di Euclide. Infatti, prescindendo dal V postulato, per A potrebbero passare rette diverse da AM, non incidenti a BN, le [p. 62 modifica]quali sarebbero parallele a BN soltanto con l'antica definizione.

Nella definizione gaussiana il punto A sembra avere un ufficio speciale, ond'è necessario stabilire che la parallela AM è indipendente da A. Perciò Gauss dimostra che se A' è un punto qualunque di AM, la retta AM è parallela a BN anche attraverso il punto A'.

Dalla definizione di parallela non risulta poi evidente la reciprocità del parallelismo, vale a dire, che anche BN è parallela ad AM. Questa proprietà forma oggetto di un’altra elegante dimostrazione di Gauss.

Infine egli dimostra che due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro [transitività del parallelismo].

Qui bisogna osservare che Gauss si riferisce implicitamente al parallelismo in un dato verso. Infatti, la sua definizione di parallela considera i raggi uscenti da A e da una determinata banda della trasversale AB, ad es. a destra, cosicchè la retta AM dovrebbe dirsi la parallela a BN verso destra. La parallela a BN verso sinistra non è necessariamente AM, perchè il supporre ciò equivarrebbe a fare una ipotesi equivalente al postulato euclideo.

Ritornando alla proposizione sopra enunciata è chiaro che le due rette parallele ad una terza debbono supporsi parallele in uno stesso verso.

Finalmente Gauss pone il concetto di punti corrispondenti su due parallele AA', BB'. I punti A e B sono corrispondenti quando la retta AB forma con le due parallele angoli interni da una stessa parte uguali [Fig. 33]. [p. 63 modifica]

Allora se CC' è una terza parallela, nel verso cui sono parallele le prime due, e se C è corrispondente di B, anche A e C sono corrispondenti. Benchè qui si arrestino gli appunti di Gauss, notiamo l'importante significato delle ultime considerazioni. [vedi figura 34.png]

Il concetto di punti corrispondenti, trasportato al caso in cui le rette AA', BB', CC' appartengono ad un fascio [cioè passino per un punto], ci permette di definire la circonferenza come luogo dei punti corrispondenti d'un punto dato sulle rette di un fascio. Ma questo luogo può costruirsi anche quando le rette del fascio sono parallele. Nel caso euclideo si ottiene una retta; scartando l'ipotesi euclidea il luogo in discorso è una linea, che, pur avendo molte proprietà comuni con la circonferenza, non è una circonferenza. [p. 64 modifica]Anzi tre dei suoi punti non appartengono mai ad una circonferenza. Sifatta linea può concepirsi come limite d'una circonferenza, il cui raggio tenda all'infinito.

Gauss non proseguì la sua redazione perchè nel 1832 conobbe l'opera di GIOVANNI Bolyai, sulla geometria assoluta.

Da lettere anteriori e posteriori alla interrotta redazione, sappiamo ancora che Gauss aveva scoperto, nella sua geometria, una unità assoluta pei segmenti [cfr. Lambert, Legendre] e che nelle sue formule compariva una costante k, nota la quale si può risolvere qualunque problema [lettera a GerlinG].

Più precisamente nel 1831 [lettera a Schumacher] assegnava la lunghezza della circonferenza di raggio r sotto la forma:
La geometria non-euclidea formula 64.png


A proposito di k egli dice che, ove si voglia mettere d'accordo la nuova geometria con l'esperienza, bisogna supporla infinitamente grande rispetto a tutte le grandezze misurabili.

Per k = infinito l'espressione gaussiana diventa l'ordinaria lunghezza della circonferenza20. Questa osservazione può estendersi a tutto il sistema scoperto da Gauss, sistema che, per k = infinito, contiene, come caso limite, quello di Euclide. [p. 65 modifica]FERDINANDO CARLO Schweikart [1780-1859].


§ 35. Contemporanee ed indipendenti da quelle di Gauss sono le ricerche del professore di giurisprudenza F. K. Schweikart21, che nel 1807 stampava «Die Theorie der Parallellinien, nebst Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie.». La quale, contrariamente a quanto lascia supporre il titolo, non contiene una trattazione indipendente dal V postulato, ma una trattazione basata sul concetto di parallelogramma.

In seguito però Schweikart, entrato in un nuovo ordine di idee, sviluppava una geometria indipendente dall'ipotesi di Euclide. A Marburg, nel dicembre del 1818, consegnava a GerlinG un foglio per Gauss, contenente le seguenti indicazioni.


[NOTIZIA]


«Esistono due tipi di geometria, — una geometria in senso ristretto — la euclidea; ed una geometria astrale [astralische Grössenlehre].


«I triangoli, in quest'ultima, hanno la particolarità che la somma dei loro tre angoli non è uguale a due angoli retti.

«Ciò posto, si può rigorosamente dimostrare:

«a) che la somma dei tre angoli di un triangolo è minore di due angoli retti;

«b) che questa somma è tanto più piccola quanto più grande è l'area del triangolo;

«c) che l'altezza di un triangolo rettangolo isoscele, pur [p. 66 modifica]crescendo col crescere dei lati, tuttavia non può superare un certo segmento, che io chiamo COSTANTE.

«Il quadrato, in conseguenza, ha la seguente forma:

«Se questa costante fosse per noi il semiasse terrestre (e in conseguenza di ciò ogni linea retta, tirata fra due stelle fisse che distano fra loro di 90°, sarebbe tangente alla sfera terrestre) essa sarebbe infinitamente grande, rispetto alle dimensioni che si presentano nella vita quotidiana.

«La geometria euclidea vale nell'ipotesi che la costante sia infinitamente grande. Solo allora è vero che la somma dei tre angoli d'ogni triangolo è uguale a due retti, e ciò si lascia dimostrare facilmente soltanto se si ammette per dato che la costante sia infinitamente grande.»22.

La geometria astrale di Schweikart e la non-euclidea di Gauss corrispondono pienamente al sistema di Saccheri e Lambert, nell'ip. ang. acuto. Anzi il contenuto della precedente notizia deriva immediatamente dalle proposizioni di Saccheri riportate nel «Conatuum» di Klügel e dal teorema di Lambert sull'area del triangolo. E poichè Schweikart, nella sua «Theorie» del 1807 cita le opere di questi due ultimi autori, così rimane accertata l'influenza diretta di {{Sc| [p. 67 modifica]di Lambert, indiretta [almeno] di Saccheri sulle ricerche di Schweikart23.

Nel marzo del 1819 Gauss, rispondendo a GerlinG in merito alla geometria astrale, loda Schweikart e dichiara di concordare in tutto quanto contiene il foglietto inviatogli. Aggiunge che egli ha svolto la geometria astrale in modo da poter risolvere qualsiasi questione, data che sia la costante di Schweikart. Termina assegnando il limite superiore dell'area d'un triangolo sotto la forma24:

La geometria non-euclidea formula 67.png


Schweikart non pubblicò le sue ricerche.


FRANCESCO ADOLFO Taurinus [1794-1874].


§ 36. Oltre essersi occupato personalmente delle parallele, Schweikart indusse [1820] il nipote Taurinus a dedicarvisi, richiamando la di lui attenzione sulla geometria astrale e sul favorevole giudizio di Gauss.

Solo nel 1824 pare che Taurinus si occupasse seriamente della cosa, ma non certo con le vedute dello zio. Egli era e fu sempre persuaso della verità assoluta del V postulato e nutrì la speranza di poterlo dimostrare. Fallito nei primi tentativi e sotto l'influenza di Schweikart e Gauss, riprese lo studio della questione. Nel 1825 pubblicò una «Theorie der Parallellinien.», contenente sviluppi non euclidei, il [p. 68 modifica]rigetto dell'ip. ang. ottuso e ricerche simili a quelle di Saccheri e Lambert, nell'ip. ang. acuto. Ritrovò così la costante di Schweikart, che chiamò parametro, e, incapace di rappresentarsi lo spazio come un concetto suscettibile di varie determinazioni, concluse che dovrebbero contemporaneamente valere tutti i sistemi corrispondenti agli infiniti valori assegnati al parametro. Questo modo di interpretare il significato del parametro condusse Taurinus a rigettare anche l'ip. ang. acuto, pur riconoscendo la compatibilità logica delle proposizioni che da essa conseguono.

Nell'anno successivo Taurinus pubblicò i suoi «Geometriae prima elementa.» [Colonia, 1826] ove riespose migliorate le ricerche del 1825. Lo scritto è poi chiuso da una importantissima appendice, in cui l'autore mostra come si possa effettivamente costruire un sistema geometrico [analitico] corrispondente all'ip. ang. acuto25.

Allo scopo Taurinus parte dalla formula fondamentale della trigonometria sferica:

[vedi formula 68.png]

e vi muta il raggio reale k nel raggio immaginario ik [dove i = radice di (-1)]. La formula ottenuta da Taurinus può scriversi, mediante l'uso delle funzioni iperboliche26, nella seguente forma:

[vedi formula 68_b.png] [p. 69 modifica]

Questa è la formula fondamentale della geometria logaritmico-sferica [«logarithmisch-sphärischen Geometrie»] di Taurinus.

È facile dimostrare che nella geometria log.-sferica la [p. 70 modifica]somma degli angoli d'un triangolo è minore di 180°. Riferiamoci per semplicità al triangolo equilatero, ponendo nella (1) a = b = c. Risolvendo poi rispetto a cos alfa, avremo:


[vedi formula 70_a.png]

Ma:

[vedi formula 70_b.png]

quindi:

[vedi formula 70_c.png]


Questa frazione evidentemente e maggiore di ½, perciò sarà alfa < 60°, quindi la somma degli angoli del triangolo minore di 180°.

Inoltre è opportuno notare che:

[vedi formula 70_d.png]

vale a dire: il limite di alfa, per a tendente a zero, è 60°. Perciò nella geometria log.-sferica la somma degli angoli di un triangolo tende a 180° quando i lati tendono a zero.

Sulla (*) possiamo fare anche la seguente osservazione:

[vedi formula 70_e.png]

ovvero: per k tendente all'infinito alfa tende a 60°. Cioè: se si suppone la costante k infinitamente grande, l'angolo del triangolo equilatero è di 60°, come nell'ordinaria geometria.

Più generalmente si potrebbe vedere che la (1), per k = infinito, diventa:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos alfa, [p. 71 modifica]

cioè la formula fondamentale della trigonometria piana euclidea. Questo risultato può utilmente riavvicinarsi alle affermazioni di Gauss e Schweikart.


§ 37. La seconda formula fondamentale della trigonometria sferica:



a cos alfa = – cos beta cos gamma + sen beta sen gamma cos -

k

col semplice mutamento del coseno circolare nel coseno iperbolico, diventa la seconda formula fondamentale della geometria log.-sferica:


a (2) cos alfa = – cos beta cos gamma + sen beta sen gamma Ch —.

k


Per alfa = 0 e beta = 90° si ricava:


a 1 (3) Ch - = --------

k sen beta


Il triangolo corrispondente a questa formula ha un angolo nullo e i due lati che lo comprendono di lunghezza infinita e paralleli [asintotici]. L'angolo beta, compreso fra il lato parallelo ed il lato perpendicolare a CA, come risulta dalla (3), è funzione di a: potremo fin d'ora chiamarlo angolo di parallelismo corrispondente alla distanza a [cfr. Lobacefski, p. 78].

Per beta = 45° il segmento BC, la cui lunghezza è calcola [p. 72 modifica]bile mediante la (3), è la costante di Schweikart [cfr. § 35] Denotando con P tale costante, avremo:

[vedi formula 72_a.png]


da cui, risolvendo rispetto a k:

[vedi formula 72_b.png]


Questa relazione, che lega le due costanti k e P, fu dedotta da Taurinus. La costante k è quella stessa usata da Gauss [cfr. § 34] per esprimere la lunghezza della circonferenza.


§ 38. Sempre trasformando le formule della trigonometria sferica, mutando il raggio reale nel raggio immaginario, Taurinus dedusse altri importanti teoremi della geometria log.sferica, ad es., che l'area d'un triangolo è proporzionale alla sua deficienza [Lambert, p. 40], che il limite superiore dell'area in discorso è:

[vedi formula 72_c.png] [Gauss, p. 67],


che la lunghezza della circonferenza di raggio r è:


[vedi formula 72_d.png] [Gauss, p. 64],


che l'area del cerchio è data da:




[vedi formula 72_e.png]

che l'area della superficie sferica ed il volume della sfera sono dati rispettivamente da:

[vedi formula 72_f.png] [p. 73 modifica]

Non ci tratterremo sui relativi sviluppi analitici perchè nulla si aggiungerebbe per illuminare il metodo. Notiamo piuttosto che i risultati di Taurinus confermano la previsione di Lambert circa la sua terza ipotesi [cfr. § 20], imperocchè le formule della geometria log.-sferica, analiticamente interpretate, danno le relazioni fondamentali fra gli elementi d'un triangolo tracciato sopra una sfera di raggio immaginario27.

Aggiungeremo che Taurinus riconobbe, come Lambert, che la geometria sferica corrisponde pienamente al sistema valido nell'ip. ang. ottuso; inoltre che l'ordinaria geometria forma un anello di congiunzione fra la geometria sferica e la geometria log.-sferica.

Infatti, se il raggio k varia con continuità dal campo reale al campo puramente immaginario, attraverso l'infinito, si passa dal sistema sferico al sistema log.-sferico, attraverso quello d' Euclide.

Benchè Taurinus, come già si disse, escluda la possibilità d'una geometria log.-sferica valida sul piano, non disconosce l'interesse teorico ch'essa può offrire, e, richiamando sulle sue formule l'attenzione dei geometri, sembra [p. 74 modifica]prevedere l'esistenza di qualche caso concreto, in cui trovino una interpretazione28. [p. 75 modifica]

CAPITOLO IV.


I fondatori della geometria non-Euclidea.


NICOLA IVANOVIC Lobacefski [1793-1856](78).


§ 39. Lobacefski studiò matematiche all'Università di Kasan, sotto la direzione del tedesco J. M. C. Bartels [17691836], amico e compaesano di Gauss; si laureò nel 1813 e rimase all'Università prima come assistente, poi come professore, insegnandovi tutti i rami della matematica ed anche la fisica e l'astronomia.

Nel 1815 Lobacefski già si occupava delle parallele e in un suo manoscritto, relativo alle lezioni del 1815-17, si trovano alcuni tentativi per la dimostrazione del V postulato e ricerche simili a quelle di Legendre. Però solo dopo il 1823 concepì la Geometria immaginaria. Ciò risulta da un suo trattato manoscritto sulla geometria elementare, ove è detto che non si possiede alcuna dimostrazione del V postulato, ma che una tale dimostrazione non dev'essere impossibile.

Fra il 1823 ed il 1825 le idee di Lobacefski si orientarono verso una geometria indipendente dall'ipotesi d'Euclide, [p. 76 modifica]ed il primo frutto dei nuovi studi è l'«Exposition succinte des principes de la géométrie, avec une demonstration rigoureuse du théorème des parallèles.», presentata i1 12 [24] febbraio 1826 alla sezione fisico-matematica dell'Università di Kasan. In questa «Lettura», il cui manoscritto non fu rinvenuto, Lobacefski espone i fondamenti d'una geometria più generale dell'ordinaria, ove per un punto passano due parallele ad una retta ed in cui la somma degli angoli d'un triangolo è minore di due angoli retti [ip. ang. acuto di Saccheri e Lambert].

Nel 1829-30 affidò poi alla stampa una memoria «Sui fondamenti della geometria.»29, contenente la parte essenziale della precedente «Lettura» ed ulteriori applicazioni della nuova teoria all'analisi. Successivamente uscirono la «Geometria immaginaria.» [1835]30, i «Nuovi fondamenti della geometria con una completa teoria delle parallele.» [1835-38]31, le «Applicazioni della geometria immaginaria a qualche integrale.» [1836]32; poi la «Géométrie imaginaire.» [1837]33 e nel 1840 l'opuscolo riassuntivo: «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.»34, scritto in lingua tedesca e destinato da Lobacefski [p. 77 modifica]a richiamare l'attenzione dei geometri sulle sue ricerche. Finalmente nel 1855, un anno avanti la morte, egli, già cieco, dettò e pubblicò in lingua russa e francese una completa esposizione del suo sistema geometrico, sotto il titolo « Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles.»35.


§ 40. La geometria non-euclidea, quella stessa concepita da Gauss e Schweikart intorno al 1816, studiata da Taurinus sotto forma d'un sistema astratto nel 1826, entrava nel 1829-30 a far parte del pubblico patrimonio scientifico.

Per accennare nel modo più rapido il metodo seguito da Lobacefski nella costruzione della «Geometria immaginaria» o «Pangeometria», riferiamoci alle sue «Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele» del 1840.

In esse Lobacefski, dopo aver premesso un gruppo di teoremi indipendenti dalla teoria delle parallele, considera sul piano un fascio di centro A ed una retta BC che non gli appartenga. Sia AD la retta del fascio perpendicolare a BC ed AE la retta perpendicolare ad AD. Questa retta, nel sistema euclideo, è l'unica che non interseca BC. Nella geometria di Lobacefski esistono nel fascio A altre rette non secanti [p. 78 modifica]BC: le non secanti sono separate dalle secanti da due rette h, k, che alla loro volta non incontrano BC [cfr. Saccheri, p. 36].

Queste rette, che l'autore chiama parallele, hanno ciascuna un determinato verso di parallismo: la h della nostra figura corrisponde al verso destro, la k al verso sinistro. L'angolo formato dalla perpendicolare AD con una delle parallele è l'angolo di parallelismo corrispondente alla distanza AD. Lobacefski usa il simbolo pi greco (a) per denotare l'angolo di parallelismo corrispondente alla distanza a. Nell'ordinaria geometria si ha costantemente: pi grecoo (a) = 90°; in quella di Lobacefski pi greco (a) è una ben determinata funzione di a, che tende a 90° quando a tende a zero, che tende a zero quando a tende all'infinito.

Dalla definizione di parallele l'autore deduce poi le loro principali proprietà, cioè la conservazione, la reciprocità, la transitività del carattere di parallelismo [cfr. Gauss, §. 34] e il comportamento asintotico delle parallele.

La dimostrazione di queste proprietà è preceduta dai teoremi sulla somma degli angoli d'un triangolo, quegli stessi già dati da Legendre e prima ancora da Saccheri. Può quindi supporsi che Lobacefski conoscesse le ricerche di questi geometri, segnatamente del primo.

Ma la parte più importante della «Geometria immaginaria» è la costruzione delle formule trigonometriche.

Per dedurle l'autore introduce due nuove figure: l'oriciclo [cerchio di raggio infinito; cfr. Gauss, §. 34] e l'orisfera [sfera di raggio infinito], che nell'ordinaria geometria sono rispettivamente la retta ed il piano. E poichè sulla orisfera, cui appartengono infinito2 oricicli, può istituirsi una geometria analoga alla ordinaria, in cui gli oricicli sostituiscono le rette, così Lobacefski ottiene questo primo notevole risultato: Sulla orisfera è valida la geometria euclidea [cfr. Wachter, §. 30] e in particolare l'ordinaria trigonometria piana. [p. 79 modifica]

Di questa notevole proprietà e di un'altra relativa agli oricicli coassiali [cerchi concentrici di raggio infinito] Lobacefski si giova per dedurre le formule della nuova trigonometria piana e della trigonometria sferica. Queste ultime coincidono con le ordinarie formule della sfera, quando però gli elementi del triangolo siano misurati in angoli retti.


§ 41. Giova notare la forma data da Lobacefski alle sue formule. Se nel triangolo piano ABC denotiamo con a, b, c i lati opposti ad A, B, C; con pi greco (a), pi greco (b), pi greco (c) gli angoli di parallelismo corrispondenti ai lati, la formula fondamentale di Lobacefski è:


(4) [vedi formula 79.png]



È facile vedere che questa formula e quella di Taurinus [(1), §. 36] sono trasformabili l'una nell'altra.

Per passare da quella di Taurinus a quella di Lobacefski basta far uso della (3) di §. 37, osservando però che l'angolo beta che in essa compare è pi graco (a). Per il passaggio inverso serve anche la seguente relazione, data da Lobacefski:


(5) [vedi formula 79_b.png] che è la stessa (3) di Taurinus, sotto forma un po' diversa.

La costante a che figura nella (5) è indeterminata: rappresenta il rapporto costante di due archi di oricicli coassiali, compresi fra i medesimi raggi, distanti l'uno dall'altro dell'unità di misura. Scegliendo, con Lobacefski, una [p. 80 modifica]conveniente unità, potremo prendere a uguale ad e, cioè alla base dei logaritmi naturali. Volendo invece riavvicinare i risultati di Lobacefski alla Geometria log.-sferica di Taurinus, ovvero alla geometria non-euclidea di Gauss, porremo:


[vedi formula 80_a.png]


Allora la (5) diventa:


(5') [vedi formula 80_b.png]


o ciò che fa lo stesso:


(6) [vedi formula 80_c.png]


Con questa relazione si trasforma immediatamente la formula (4) di Lobacefski nella (1) di Taurinus. Quindi:

La geometria log.-sferica di Taurinus è identica alla geometria immaginaria [Pangeometria] di Lobacefski.


§ 42. Ecco i più notevoli risultati che Lobacefski deduce dalle sue formule:

a) Per triangoli con lati piccolissimi [infinitesimi] alle formule della trigonometria immaginaria possono sostituirsi, a meno di infinitesimi di ordine superiore al secondo, le ordinarie formule trigonometriche.

b) Il cambiamento dei lati a, b, c nei lati puramente immaginari ia, ib, ic trasforma le formole della trigonometria immaginaria nelle formule della trigonometria sferica 36.

c) Istituendo sul piano e nello spazio un sistema di coordinate simile all'ordinario cartesiano è possibile, coi metodi [p. 81 modifica]della geometria analitica, calcolare le lunghezze delle linee, le aree delle superficie, i volumi dei solidi.


§ 43. Come mai Lobacefski fu condotto ad occuparsi delle parallele ed a scoprire la geometria immaginaria?

Si disse che Bartels, maestro di Lobacefski a Kasan, era legato in amicizia con Gauss [§ 39]: se ora si aggiunge che quegli passò a Brunsvich, con Gauss, i due anni che precedettero la sua chiamata a Kasan [1807] e che si mantenne poi con Gauss in relazione epistolare, si presenta spontanea l'ipotesi che questi non sia estraneo alle ricerche di Lobacefski.

Già vedemmo che Gauss, prima del 1807, aveva tentato di risolvere la questione delle parallele e che i suoi sforzi fino a quell'epoca non avevano fruttato che la speranza di superare gli scogli contro cui avevano urtato le sue ricerche. Quindi tutto ciò che Bartels può avere appreso da Gauss prima del 1807 si ridurrebbe a qualche risultato negativo. Per quanto riguarda le successive vedute di Gauss, pare assodato che Bartels non ne avesse comunicazione, talchè possiamo ritenere che Lobacefski creasse la sua geometria indipendentemente da qualsiasi influenza gaussiana37. Altre influenze potrebbero supporsi, ad. es. quelle dovute alle opere di Saccheri e Lambert, che il geometra russo, o direttamente o attraverso Klügel e Montucla, potrebbe aver conosciuto. Ma nulla di preciso si può formulare intorno a questa supposizione38. Ad ogni modo o le mancate dimostrazioni de' suoi predecessori o l'inutilità delle sue prime ricerche [1815-17] indussero Lobacefski, come già Gauss, a pensare che la difficoltà da superarsi avesse un fondamento diverso di quello fino allora supposto. Lobacefski [p. 82 modifica]esprime chiaramente questa idea nei «Nuovi fondamenti della geometria.» del 1835, ove dice:

«L'infruttuosità dei tentativi, fatti dal tempo di Euclide, per lo spazio di due millenni, svegliò in me il sospetto che nei dati stessi non fosse contenuta ancora la verità che si era voluto dimostrare e che alla conferma sua potessero servire, come pel caso di altre leggi naturali, delle esperienze, ad esempio delle osservazioni astronomiche. Essendomi convinto finalmente della giustezza della mia congettura ed avendo acquistata l'opinione di aver completamente risolto il difficile quesito, scrissi, nell'anno 1826, una memoria su questo soggetto [Exposition succinte des principes de la Géométrie.]»39.

Le parole di Lobacefski mettono in luce una concezione filosofica dello spazio, opposta a quella kantiana, che allora godeva il massimo favore. La dottrina kantiana considera lo spazio come una intuizione subbiettiva, necessario presupposto di ogni esperienza; quella di Lobacefski, riattaccandosi piuttosto al sensualismo ed alla corrente empirista, fa rientrare la geometria nel campo delle scienze sperimentali40.


§ 44. Resta ora a mettere in relazione la Pangeometria di Lobacefski con la questione suscitata dal postulato euclideo. La quale, come si è visto, mirava a costruire la teoria delle parallele col solo sussidio delle prime 28 proposizioni di Euclide.

Rispettando questa richiesta Lobacefski definisce il parallelismo e ne assegna i caratteri salienti di reciprocità e transitività. Il carattere d'equidistanza si presenta poi a Lobacefski [p. 83 modifica]nella sua vera essenza. Ben lungi dall'essere legato indissolubilmente alle prime 28 proposizioni euclidee, esso racchiude invece un muovo elemento.

La verità di questa asserzione risulta direttamente dall'esistenza della Pangeometria [scienza logica deduttiva, fondata sulle 28 prop. in discorso e sulla negazione del V postulato], in cui le parallele non sono equidistanti, ma asintotiche. Che la Pangeometria sia poi una scienza logicamente conseguente, cioè priva di contraddizioni interne, si spiega, con Lobacefski, riferendosi alla formulazione analitica di cui essa è suscettibile.

Ecco come si esprime in proposito Lobacefski alla fine della sua opera:

«Avendo mostrato in ciò che precede in qual modo bisogna calcolare la lunghezza delle linee curve, l'area delle superficie ed il volume dei corpi, ci è permesso d'affermare che la Pangeometria è una dottrina completa. Un semplice colpo d'occhio sulle equazioni (4), che esprimono la dipendenza esistente tra i lati e gli angoli dei triangoli rettilinei, è sufficiente per dimostrare che a partire di là la Pangeometria diviene un metodo analitico, che rimpiazza e generalizza i metodi analitici della geometria ordinaria. Si potrebbe incominciare l'esposizione della Pangeometria dalle suddette equazioni ed anche cercare di sostituire a queste equazioni altre che esprimerebbero le dipendenze tra gli angoli e i lati di ogni triangolo rettilineo; ma in quest'ultimo caso bisognerebbe dimostrare che queste nuove equazioni si accordano con le nozioni fondamentali della geometria. Le equazioni (4), essendo state dedotte da queste nozioni fondamentali, si accordano necessariamente con esse, e tutte le equazioni che si volessero loro sostituire, se queste equazioni non sono una conseguenza delle equazioni (4), debbono condurre a risultati contrari a queste nozioni. Così le equazioni (4) sono la base della geometria più generale, poichè esse non dipendono dalla supposizione che la somma dei [p. 84 modifica]tre angoli d'ogni triangolo rettilineo sia uguale a due angoli retti.»41.



§ 45. Per stabilire qualche cosa intorno alla costante k contenuta implicitamente nelle formule di Lobacefski ed esplicitamente in quelle di Taurinus, è necessario applicare la nuova trigonometria a qualche caso pratico. Allo scopo Lobacefski si giova d'un triangolo rettangolo ABC , in cui il lato BC = a è il diametro dell'orbita terrestre ed A una stella fissa in direzione perpendicolare a BC. Indichiamo con 2p la parallasse massima della stella A. Avremo:

[vedi formula 84_a.png]

da cui:

[vedi formula 84_b.png]


Ma:

[vedi formula 84_c.png] [Cfr. (5')]

quindi:

[vedi formula 8 [p. 85 modifica]4_d.png]


Allora, nell'ipotesi p < pi greco/4, abbiamo:

[vedi formula 85_a.png]


Inoltre, essendo:


[vedi formula 85_b.png]

sarà finalmente: a/k <tg 2p.


Sostituendo con Lobacefski a 2p la parallasse di Sirio, che è di 1",24 ed effettuando i calcoli si ottiene:

a/k < 0,000006012.


Questo risultato non ci permette di assegnare un valore per k, ma di asserire che esso è molto grande rispetto al diametro terrestre. Si potrebbe ripetere il calcolo con parallassi molto minori, ad es. di 0", 1, trovando k maggiore di un milione di volte il diametro dell'orbita terrestre.

Perchè nello spazio fisico fosse valida la geometria euclidea e conseguentemente il V postulato, dovrebbe k essere infinito, o, ciò che fa lo stesso, dovrebbero esistere stelle con parallasse piccola quanto si vuole.

Ora, una risposta all'ultima questione si capisce che non potremo mai dirla, inquantochè le osservazioni astronomiche saranno sempre limitate. Comunque, data l'enorme grandezza di k rispetto alle linee direttamente misurabili, dovremmo, con Lobacefski, ritenere nel campo sperimentale valida l'ipotesi euclidea.

Alla stessa conclusione potremmo giungere considerando la cosa dal lato della somma degli angoli di un triangolo. Le osservazioni astronomiche portano che la deficienza d'un triangolo, coi lati pressochè uguali alla distanza della terra [p. 86 modifica]dal sole, non può superare 0",0003. Ora, se in luogo d'un triangolo astronomico considerassimo un triangolo terrestre, con gli angoli accessibili alle misure dirette, in forza del principio di proporzionalità fra l'area e la deficienza, l'eventuale deficienza di sifatto triangolo rientrerebbe necessariamente nei limiti degli errori sperimentali, sicchè, sperimentalmente, potremo ritenere che la deficienza in discorso sia nulla e conseguentemente sia valido nel campo sperimentale il postulato euclideo42.


GIOVANNI Bolyai [1802-1860].


§ 46. Insieme a Lobacefski divide la gloria della scoperta della geometria non-euclidea l'ungherese G. Bolyai, figlio di WOLFGANG Bolyai [cfr. § 29], ufficiale nell'esercito austriaco. Fin da giovinetto egli mostrò una meravigliosa attitudine per le matematiche, in cui lo istruì lo stesso genitore. Le lezioni di WOLFGANG attirarono presto l'attenzione di GIOVANNI sull'assioma XI, alla cui dimostrazione volle poi accingersi, trascurando i consigli paterni, che miravano a distoglierlo da tale impresa. La teoria delle parallele formò così l'occupazione favorita del giovane matematico, durante il suo soggiorno [1817-22] alla R. Accademia del Genio in Vienna.

In quel tempo GIOVANNI ebbe relazioni di amicizia con CARLO SZÀSZ [1798-1853] e nelle conversazioni dei due valenti studiosi germogliarono alcune di quelle idee che condussero poi Bolyai a creare la «Scienza assoluta dello spazio». [p. 87 modifica]

Pare che al SZÀSZ si debba l'idea esplicita di considerare la parallela ad AM condotta per B come la posizione limite di una secante BC, che ruota intorno a B in un senso determinato; cioè di considerare BC parallela ad AM, quando BC, secondo una espressione di SZÀSZ, si stacca [abspringe] da AM. Bolyai chiamava questa parallela col nome di parallela asintotica o asintoto [cfr. Saccheri]. Nei colloqui dei due amici si presentarono il concetto di linea di equidistanza da una retta; l'altro importantissimo di paraciclo [oriciclo di Lobacefski] e si riconobbe che si sarebbe ottenuta la dimostrazione dell'assioma XI se si potesse stabilire che il paraciclo è una retta.

Avendo sul principio del 1821 lo SZÀSZ lasciato Vienna, per assumere l'insegnamento del Diritto al Collegio di Nagy-Enyed [Ungheria], GIOVANNI rimase solo a proseguire nelle sue speculazioni. Fino al 1820 egli fu dominato dall'idea di trovare una dimostrazione per 1'assioma XI, seguendo una via analoga a quella di Saccheri e Lambert. Anzi credè d'aver raggiunto lo scopo, come risulta dalla sua corrispondenza col padre.

Il riconoscimento degli errori commessi fu per GIOVANNI il passo decisivo verso le future scoperte, perchè s'accorse « [p. 88 modifica]che non bisogna fare nessuna violenza alla natura nè modellarla in conformità ad alcuna chimera ciecamente formata, ma si deve invece in modo ragionevole e naturale guardare la natura stessa con la verità ed accontentarsi della rappresentazione meno imperfetta possibile.».

GIOVANNI Bolyai si propose allora di costruire una teoria assoluta dello spazio, seguendo il metodo classico dei greci, cioè applicando il metodo deduttivo, senza però decidere a priori sulla validità o meno del V Postulato.


§ 47. Solo nel 1823 Bolyai penetrò la vera natura del suo problema: nel seguito non vi aggiunse che delle condizioni relative al materiale ed alla forma. Aveva scoperto in quel tempo la formula:


[vedi formula 88.png]

che lega l'angolo di parallelismo pi greco (a) al corrispondente segmento [cfr. Lobacefski, p. 80], relazione che è la chiave di tutta la trigonometria non-euclidea. Ad illustrare le scoperte di GIOVANNI in questo periodo riportiamo un brano della lettera che egli scrisse, da Temesvár, al padre il 3 novembre 1823.

«Sono ormai risoluto di pubblicare un'Opera sulla teoria delle parallele, appena avrò ordinato la materia e le circostanze me lo permetteranno. Non l'ho ancora fatto, ma la via che ho seguito ha certamente, per così dire, quasi raggiunto lo scopo; lo scopo proprio non è raggiunto, ma ho scoperto cose sì belle che ne sono rimasto abbaliato, e si dovrebbero sempre rimpiangere se andassero perdute. Quando le vedrete, lo riconoscerete voi pure. Nell'attesa non vi posso dire altro che questo: Ho dal nulla creato un nuovo universo. Tutto ciò che vi ho comunicato fino ad ora non è che un palazzo di carta di [p. 89 modifica]
fronte a questa torre. Sono tanto persuaso che questo mi farà onore come se ciò fosse già avvenuto.».

WOLFGANG espresse il desiderio di accogliere subito nel «Tentamen» la teoria del figlio, perchè «se la cosa è realmente riuscita è conveniente affrettarsi a renderla di pubblica ragione per due motivi, primo perchè le idee passano facilmente da uno in un altro, che in seguito le può pubblicare prima; in secondo luogo perchè c'è anche qualche verità in ciò, che parecchie cose hanno un'epoca, nella quale esse sono trovate allo stesso tempo in più luoghi, precisamente come in primavera le violette da ogni parte vengono alla luce; e poichè ogni lotta scientifica è solo una gran guerra, alla quale non so quando seguirà la pace, si deve, quando si può, vincere, poichè quì il vantaggio spetta al primo.».

WOLFGANG Bolyai era forse lontano dal supporre che il suo presentimento corrispondesse ad un fatto reale, cioè alla contemporanea scoperta della geometria non euclidea per opera di Gauss, Taurinus, Lobacefski.

Nel 1826 GIOVANNI comunicò il suo lavoro a J. WALTER von ECKWEHR [1789-1857], già suo professore all'Accademia militare e nel 1829 rimise il manoscritto al padre. WOLFGANG non fu molto soddisfatto, segnatamente perchè non riuscì a comprendere come mai nelle formule di GIOVANNI dovesse entrare una costante indeterminata. Nondimeno padre e figlio si intesero per pubblicare in appendice al primo volume del «Tentamen» la nuova teoria dello spazio.

Ecco il titolo dell'opera di GIOVANNI Bolyai: «Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei, a priori haud unquam decidenda, independentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica.»nota.

43 [p. 90 modifica]

L'appendice fu inviata una prima volta [giugno 1831] a Gauss senza che giungesse alla destinazione e una seconda volta nel gennaio del 1832. Sei settimane dopo [6 marzo 1832] Gauss così rispondeva a WOLFGANG:

«Se comincio col dire che non posso lodare questo lavoro [di GIOVANNI], tu certamente per un istante resterai meravigliato; ma non posso dire altra cosa, lodarlo sarebbe lodare me stesso; infatti tutto il contenuto dell'Opera, la via spianata da tuo figlio, i risultati ai quali egli fu condotto coincidono quasi interamente con le mie meditazioni, che hanno occupato in parte la mia mente da trenta a trentacinque anni a questa parte. Così rimasi pienamente stupefatto. In quanto al mio lavoro personale, del quale fin quì ho ben poco confidato alla carta, era mia intenzione di non lasciare che si pubblicasse nulla durante la mia vita. Infatti la maggioranza degli uomini non ha idee chiare sulle questioni di cui si parla, ed io ho trovato ben poche persone che prestassero uno speciale interesse a ciò che loro comunicai su tale soggetto. Per poter prendere questo interesse bisogna prima di tutto aver sentito molto vivamente ciò che manca essenzialmente, e su questa materia quasi tutti sono in una completa oscurità. Al contrario era mia idea di scrivere, col tempo, tutto ciò, perchè esso almeno non perisse con me. E adunque per me una gradevole sorpresa vedere che questa fatica può ora essermi risparmiata, e sono estremamente contento che sia proprio il figlio del mio vecchio amico, che mi abbia preceduto in modo così notevole». [p. 91 modifica]

WOLFGANG comunicò questa lettera al figlio aggiungendo: «La risposta di Gauss rispetto alla tua opera ridonda ad onore della nostra patria e della nostra nazione.».

Un effetto tutto diverso produsse su GIOVANNI la lettera di Gauss. Egli non poteva nè voleva convincersi che altri, prima ed indipendentemente da lui, fosse arrivato alla geometria non-euclidea. Sospettò ancora che il padre avesse comunicato a Gauss le sue scoperte prima d'inviargli l'«Appendix» e che questi volesse appropriarsi la priorità della scoperta. E benchè in seguito dovesse convincersi che un tale sospetto era infondato, GIOVANNI conservò sempre una ingiustificabile avversione per il sommo geometra44.


§ 48. Ecco un cenno dei più importanti risultati contenuti nell'opera di GIOVANNI Bolyai.

a) Definizione delle parallele e loro proprietà indipendenti dal postulato euclideo.

b) Cerchio e sfera di raggio infinito. La geometria sulla sfera di raggio infinito è identica all'ordinaria geometria piana.

c) La trigonometria sferica è indipendente dal postulato d'Euclide. Dimostrazione diretta delle formule.

d) Trigonometria piana nel caso non-euclideo. Applicazioni al calcolo delle aree e dei volumi.

e) Problemi risolubili elementarmente. Costruzione di un quadrato equivalente ad un cerchio, nell'ipotesi della falsità del V postulato. [p. 92 modifica]

Benchè Lobacefski abbia dato un maggiore sviluppo alla geometria immaginaria, specialmente al suo contenuto analitico, Bolyai ha trattato più profondamente la questione della dipendenza o meno delle proposizioni geometriche dal postulato euclideo. Dove Lobacefski mira principalmente a costruire un sistema geometrico sulla negazione del postulato in discorso, GIOVANNI Bolyai mette in evidenza le proposizioni e costruzioni che nell'ordinaria geometria non dipendono da quel postulato. Sifatte proposizioni, ch'egli chiama assolutamente vere, appartengono alla scienza assoluta dello spazio. La ricerca delle proposizioni di questa scienza potrebbe effettuarsi confrontando la geometria di Euclide con quella di Lobacefski. Tutto ciò che hanno di comune le due geometrie, ad es. le formule della trigonometria sferica, appartiene alla geometria assoluta. GIOVANNI Bolyai però non segue questa via: egli dimostra direttamente, cioè indipendentemente dal postulato euclideo, le sue proposizioni assolutamente vere.


§ 49. Un teorema assoluto di Bolyai, meraviglioso per semplicità ed eleganza, è il seguente:

In un triangolo rettilineo le circonferenze di raggio uguale ai lati stanno fra loro come i seni degli angoli opposti.

Sia ABC un triangolo rettangolo in C, e BB' la perpendicolare in B al piano del triangolo. Pei vertici A, C si traccino le rette AA', CC', parallele in un determinato verso a BB', [p. 93 modifica]poi per A si immagini descritta l'orisfera [eventualmente piana] che taglia ortogonalmente le rette AA', BB', CC' rispettivamente nei punti A, M, N. Se si denotano con a', b', c' i lati del triangolo rettangolo orisferico AMN, in forza di quanto altrove si disse [ad es. al § 48, (b,], si avrà:


sen AMN = b' : c'.


Ma sull' orisfera due archi d'oriciclo stanno fra loro come le circonferenze che hanno per raggi [oriciclici] quegli archi, talchè, indicando con cirf. x' la circonferenza di raggio oriciclico x', si potrà scrivere:


sen AMN = cirf. b' : cirf. c'.


D'altra parte, una circonferenza tracciata sull'orisfera con raggio oriciclico x', può riguardarsi come una circonferenza ordinaria, il cui raggio rettilineo x sia la metà della corda dell'arco oriciclico 2x'. Talchè, denotando [vedi simbolo 93.png] la circonferenza di raggio rettilineo x ed osservando che i due angoli ABC, AMN sono uguali, la precedente relazione assume la forma:


[vedi formula 93.png].


Dalla proprietà del triangolo rettangolo ABC, espresso con questa uguaglianza, si può dedurre l'enunciato teorema di Bolyai, nello stesso modo che dalla relazione euclidea:


sen ABC = b : c


si deduce la proporzionalità fra i lati d'un triangolo e i seni degli angoli opposti [Appendix, § 25]. [p. 94 modifica]



Il teorema di Bolyai si esprime poi brevemente così:


(1) [vedi formula 94_a.png].


Se ora volessimo specializzare il sistema geometrico, avremmo:

1°) nell'ip. euclidea:


[vedi formula 94_b.png]



e sostituendo in (1):


(1') a : b : c = sen alfa : sen beta : sen gamma


2°) nell' ip. non-euclidea [cfr. § 34]:

[vedi formula 94_c.png]

ed operando come sopra:

(1") Sh a/k : Sh b/k : Sh c/k = sen alfa : sen beta : sen gamma,


Quest'ultima relazione può riguardarsi come il teorema dei seni della geometria di Lobacefski-Bolyai.


Dalle (1), con procedimenti analoghi agli ordinari basati sulle (1'), Bolyai deduce la proporzionalità fra i seni degli angoli e i seni dei lati in un triangolo sferico. Da ciò risulta l'indipendenza della trigonometria sferica, dal postulato d'Euclide [Appendix, § 26]. Questo fatto mette ancor più in rilievo l'importanza del teorema di Bolyai. [p. 95 modifica]

§ 50. Appartiene pure alla geometria assoluta la seguente costruzione di una parallela per il punto D alla retta AN [Appendix, § 34].

Tracciate le rette DB ed AE perpendicolarmente ad AN, si cali da D la perpendicolare DE alla retta AE. L'angolo EDB del quadrilatero trirettangolo ABDE è retto od acuto, per cui ED è uguale o maggiore ad AB. Con centro A si descriva una circonferenza di raggio ED: essa intersecherà il segmento DB in un punto O, coincidente con B ovvero compreso fra B e D. La retta AO forma con DB un angolo AOB uguale all'angolo di parallelismo corrispondente al segmento BD45 [Appendix, § 27]. Si costruirà dunque per D [p. 96 modifica]una parallela ad AN tracciando la retta DM in modo che l'angolo BDM risulti uguale all' angolo AOB.


§ 51. Fra le costruzioni non-euclidee, date da Bolyai, è molto interessante la quadratura del cerchio. Senza attenerci strettamente al metodo di Bolyai, cerchiamo di porgere questa costruzione nelle sue linee generali.

Premettiamo la costruzione inversa a quella del § 50, necessaria pel nostro scopo.

Costruire, nell'ip. non-euclidea, il segmento corrispondente ad un dato angolo [acuto] di parallelismo.

Dato che il teorema sull'eventuale incidenza delle tre altezze di un triangolo è valido anche nella geometria di Lobacefski-Bolyai, sul lato AB, dell'angolo acuto BAA', [Fig. 43], si fissi un punto B tale che la parallela BB' alla retta AA' formi l'angolo B'BA acuto. Le due semirette AA'..., BB'... ed il segmento AB possono riguardarsi come lati d'un triangolo, di cui un vertice è il punto C infinito, comune alle due parallele AA', BB'. Allora, se dai vertici A e B si calano le perpendicolari AH, BK sui lati opposti, queste perpendicolari s'incontrano in un punto O, interno al triangolo, in


[p. 97 modifica]cui concorre anche la perpendicolare calata da C infinito su AB. Dunque, se da O si abbassa la perpendicolare OL su AB, verrà determinato il segmento AL, corrispondente all'angolo di parallelismo BAA'.



Come caso particolare l'angolo BAA' potrebbe essere di 45°: allora AL sarebbe la costante di Schweikart [Cfr. § 35 ].

Notiamo che il problema risolto potrebbe enunciarsi così: Costruire una retta parallela ad un lato di un angolo acuto e perpendicolare all'altro lato46.


§ 52. Ecco intanto come si utilizza il precedente risultato per costruire un quadrato di area uguale a quella del triangolo massimo.

L'area delta di un triangolo essendo:


k2 (pi greco – A – B – C),


pel triangolo massimo, cioè pel triangolo coi tre vertici all'infinito, avremo:

delta = k2 pi greco [p. 98 modifica]

Per determinare l'angolo omega di un quadrato di area k2 pi greco basta ricordare [Lambert, § 19] che anche l'area di un poligono, come quella del triangolo, è proporzionale alla relativa deficienza, per la qual cosa dovrà sussistere la relazione:


k2 pi greco = k2 (2 pi greco – 4 omega),


da cui:

omega = ¼ pi greco = 45°

Ciò posto consideriamo il triangolo rettangolo OAM, che è l'ottava parte del quadrato in discorso. Ponendo OM = a ed applicando la formula (2) di § 37, si ricava:

Ch a/k = cos ½ 45° : sen 45°,


od anche:

Ch a/k = sen ½ 135° : sen 45°.


Se ora si costruiscono, secondo il § 51, i due segmenti b', c', corrispondenti agli angoli di parallelismo ½ 135°, 45° e si rammenta che [§ 41, (6)]:


[vedi formula 98.png] [p. 99 modifica]

fra i tre segmenti a, b', c' verrà a sussistere la relazione:


Ch a/k CH b'/k = Chc'/k.


Finalmente se si assumono b', c' quali cateto, il primo, e ipotenusa, il secondo, di un triangolo rettangolo, l'altro cateto a' di siffatto triangolo, in forza della (1) di § 36, è determinato dall'equazione:


Ch a'/k Ch b'/k = Ch c'/k.

Paragonando questa uguaglianza con la precedente si ricava: a' = a. Costruito così a è immediatamente costruibile il quadrato d'area uguale a quella del triangolo massimo.


§ 53. Per costruire ora un cerchio d'area uguale a quella di questo quadrato o, ciò che fa lo stesso, a quella del triangolo massimo, è necessario trasformare l'espressione:


[vedi formula 99_a.png]

che dà l'area del cerchio di raggio r [cfr. § 38], introducendo l'angolo di parallelismo pi greco (r/2) corrispondente al semiraggio. Così facendo si ottienenota:

[vedi formula 99_b.png]r

[vedi figura 45.png] D'

47 [p. 100 modifica]altra parte, se dagli estremi del segmento AB = r si conducono le due parallele AA', BB', in modo che gli angoli ch'esse formano con AB siano uguali, sarà:


AA'B = B'BA = pi greco (r/2).


Calata ora la perpendicolare AC su BB' e la perpendicolare AD ad AC e posto:


CAB = alfa , DAA' = z,


si ha:

[vedi formula 100.png]


Utilizzando le formole trigonometriche nel triangolo ABC [p. 101 modifica]è facile eliminare alfa dall'ultimo membro della precedente relazione ed ottenere così48:


[vedi formula 101_a.png]

dalla quale, per mezzo dell'ultima espressione di [vedi simbolo 101.png]r si ottiene:


[vedi formula 101_b.png]


Questa formula, dimostrata per altra via da Bolyai [Appendix, § 43], permette di associare ad ogni cerchio un determinato angolo z. Se fosse z = 45° allora si avrebbe:


[vedi formula 101_c.png]

cioè: l'area del cerchio, il cui angolo z è 45°, è uguale all'area del triangolo massimo e perciò a quella del quadrato del § 52. [p. 102 modifica]

Dato z = A'AD [Fig. 45] si costruisce poi r tracciando: 1°) la retta AC perpendicolare ad AD; 2°) la retta BB' parallela ad AA' e perpendicolare ad AC [§ 51]; 3°) la bisettrice della striscia compresa fra AA', BB' [a mezzo del teorema sul punto d'incontro delle bisettrici in un triangolo con un vertice improprio]; 4°) la perpendicolare AB a questa bisettrice: il segmento AB, compreso fra AA' e BB', è il raggio r.


§ 54. Il problema di costruire poi un poligono equivalente ad un cerchio di area pi greco k2tg2z è, come nota Bolyai, legato intimamente al valore numerico di tg2z. Esso è risolubile per ogni valore intero di tg2z e per ogni valore frazionario, quando però il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini cada sotto la forma assegnata da Gauss per l'iscrizione dei poligoni regolari [Appendix, § 43].

La possibilità di costruire un quadrato equivalente ad un cerchio conduce GIOVANNI a concludere: «habeturque aut Axioma XI. Euelidis verum, aut quadratura circuli geometrica; etsi hucusque indecisum manserit, quodnam ex his duobus revera locum habeat.».

L'indecisione così formulata gli parve in quell'epoca [1831] irresolubile imperocchè chiuse il suo scritto con queste parole: «Superesset denique, (ut res omni numero absolvatur), impossibilitatem (absque suppositione aliqua) decidendi, num sigma [sistema euclideo] aut aliquod (et quodnam) S [sistema non euclideo ] sit, demonstrare: quod tamen occasioni magis idoneae reservatur.».

GIOVANNI però non pubblicò mai sifatta dimostrazione.


§ 55. Dopo il 1831 Bolyai si occupò ancora della sua geometria ed in particolare dei seguenti problemi

1°) Connessione fra la trigonometria sferica e la trigometria non-euclidea.

2°) Si può rigorosamente dimostrare che l'assioma euclideo non è una conseguenza dei precedenti? [p. 103 modifica]

3°) Volume del tetraedro in geometria non euclidea.

Per quanto riguarda il primo di questi problemi, Bolyai, oltre rendersi conto della relazione analitica che lega le due trigonometrie [cfr. Lobacefski, § 41], riconobbe che nell'ipotesi non euclidea esistono tre tipi di superficie uniformi(99), su cui valgono rispettivamente la trigonometria non-euclidea, la trigonometria ordinaria, la trigonometria sferica. Sono del primo tipo le superficie piane ed ipersferiche [equidistanti da un piano], del secondo tipo le parasferiche [orisfere di Lobacefski], del terzo tipo le sfere. Dalle superficie ipersferiche si passa alle sferiche attraverso il caso limite delle parasfere. Questo passaggio si realizza analiticamente facendo variare con continuità, dal campo reale al campo immaginario puro, attraverso l'infinito, un certo parametro che comparisce nelle formule [cfr. Taurinus, p. 73].

Il secondo problema, quello relativo all'indimostrabilità dell'assioma XI, Bolyai non riuscì a risolverlo, nè a formarsi una esatta convinzione intorno ad esso. Per un certo tempo credè che non si potesse in alcun modo decidere quale, fra il caso euclideo e quello non euclideo, fosse il vero, appoggiandosi, come già Lobacefski, al valore analitico della nuova trigonometria. Poi si verificò in GIOVANNI un ritorno alle antiche idee, seguito da un nuovo tentativo per dimostrare l'assioma XI. In questo tentativo applica le formule non-euclidee ad un sistema di cinque punti completamente indipendenti. Fra le distanze di questi punti intercede necessariamente una relazione: ora, per un errore di calcolo, GIOVANNI non trovò questa relazione e per un certo tempo credè aver così dimostrata la falsità [p. 104 modifica]dell' ipotesi non-euclidea e l'assoluta verità dell'assioma XI49.

Però nel seguito s'accorse dell'errore, ma non procedè secondo questo indirizzo in ulteriori ricerche perchè il metodo, applicato ad un sistema di sei o più punti, lo avrebbe condotto a calcoli troppo lunghi.

Il terzo problema sopra indicato, relativo al tetraedro, è d'indole puramente geometrica. Le soluzioni di Bolyai furono ritrovate e messe in luce recentemente dallo Stäckel [cfr. nota 99]. Dello stesso problema si era occupato distesamente Lobacefski fin dal 182950, e Gauss, nella lettera in parte riportata a § 47, lo proponeva a GIOVANNI.

Aggiungeremo in fine che G. Bolyai, venuto a conoscenza [1848] delle «Geometrische Untersuchungen» di Lobacefski, se ne occupò con intendimento critico51, e che, per superare il geometra russo, si accinse a comporre una grande opera sulla riforma dei principi della matematica, concepita al tempo della pubblicazione dell'«Appendix», ma non riuscì a condurla a termine52. [p. 105 modifica] LA TRIGONOMETRIA ASSOLUTA

§ 56. Benchè le formule della trigonometria non-euclidea contengano, come caso limite, le ordinarie relazioni fra lati ed angoli di un triangolo [cfr. § 36], tuttavia esse non rientrano in quella che GIOVANNI Bolyai chiamava geometria assoluta. Invero, dette formule non si applicano senz'altro ai due tipi di geometria e furono dedotte supponendo la validità dell'ip. ang. acuto. Relazioni applicabili senz'altro al caso euclideo ed al caso non-euclideo furono da noi incontrate al § 49 e costituiscono il teorema di Bolyai. Esse sono tre, di cui due soltanto indipendenti, e ci forniscono così un primo gruppo di formule della trigonometria assoluta.

Altre formule di trigonometria assoluta furono date nel 1870 dal geometra belga M. De Tilly, nei suoi «Études de Mécanique abstraite.»53.

Le formule di De Tilly si riferiscono ai triangoli rettangoli e furono dedotte mediante considerazioni cinematiche, che utilizzano soltanto quelle proprietà di una regione limitata di piano, che sono indipendenti dal valore della somma degli angoli del triangolo.

Oltre la funzione [vedi simbolo 93.png], che già s'incontra nelle formule di Bolyai, in quelle di De Tilly compare un'altra funzione Ex, definita nel modo seguente. Sia r una retta, l la linea equidistante da r del segmento x. Poichè gli archi di l sono proporzionali alle rispettive proiezioni su r è chiaro che il rapporto fra un arco [rettificato] di l e la sua proiezione [p. 106 modifica]non dipenderà dalla lunghezza dell'arco, ma soltanto dalla distanza x. La funzione che esprime questo rapporto è la funzione Ex introdotta da De Tilly.

Ciò posto ecco le formule della trigonometria assoluta, che si riferiscono al triangolo ABC.

[vedi formula 101_a.png]

(3) Ec = Ea. Eb


Il gruppo (1) è il teorema di Bolyai nel triangolo rettangolo. Tutte le formule della trigonometria assoluta si deducono combinando opportunamente questi tre gruppi. In particolare, nel triangolo rettangolo si ottiene; [vedi formula 106_b.png]

Questa può considerarsi come l'espressione del teorema di PITAGORA nella geometria assoluta54.


§ 57. Vediamo ora come dalle relazioni del § precedente possano dedursi quelle della geometria euclidea e della non-euclidea.

Caso euclideo. — L'equidistante l è una retta [quindi Ex = 1], le circonferenze sono proporzionali ai raggi. Allora le (1) diventano:


(1') a = c sen alfa b = c sen beta; [p. 107 modifica]


le (2) danno: cos alfa = sen beta, cos beta = sen alfa, cioè: (2') alfa+ beta = 90°; infine la (3) si riduce a una identità.

Le (1'), (2') comprendono tutta l'ordinaria trigonometria.

Caso non-euclideo. - Combinando fra loro le (1) e le (2) si ottiene:


[vedi formula 107_a.png]


Se poi applichiamo la 1a delle (2) ad un triangolo rettangolo col vertice A tendente all'infinito, e quindi alfa tendente a zero, avremo:


lim cos alfa = lim (Ea. sen beta)

Ma Ea è indipendente da alfa; l'angolo beta, al limite, diventa l'angolo di parallelismo corrispondente ad a, cioè pi greco(a). Avremo dunque:


1 Ea = ————————


sen alfa(a)


Altrettanto dicasi per Eb. Sostituendo nella (5) otteniamo:


[vedi formula 107_b.png]

da cui:

[vedi formula 107_c.png]


Questa relazione, insieme alla espressione di Ex, ci permette senz'altro di ottenere dalle (1), (2), (3) le formule della trigonometria di Lobacefski-Bolyai.


(1){ ctg pi greco(a) = ctg pi greco(c). sen alfa ctg pi greco(b) = ctg pi greco(c). sen beta


(2){ sen alfa = cos beta . sen pi greco(b) sen beta = cos alfa [p. 108 modifica]. sen pi graco(a)


(3") sen pi greco(c) = sen pi greco(a) . sen pi greco(b)


Queste relazioni, cui soddisfano gli elementi di ogni triangolo rettangolo, sono nella forma loro data da Lobacefski55. Se in luogo degli angoli di parallelismo pi greco(a), pi greco(b), pi greco(c) si volessero introdurre delle funzioni dirette dei lati, basterebbe ricordare [§. 41] che:


[vedi formula 108.png]


ed esprimere le funzioni circolari di pi greco(x) con funzioni iperboliche di x. Si otterrebbero allora le precedenti relazioni sotto la nuova forma:

(1"') Sh a/k = Sh c/k sen alfa. Sh b/k = Sh c/k sen beta.

(2) cos alfa = sen beta Ch a/k. Cos beta= sen alfa Ch b/k.

(3"') Ch c/k = Ch a/k Ch b/k.


§ 58. Una osservazione importantissima sulla trigonometria assoluta è questa. Interpretando gli elementi delle sue formule come elementi di un triangolo sferico, essa porge un sistema di relazioni valide anche pei triangoli sferici.

La ragione di questa proprietà della trigonometria assoluta risiede nel fatto, già notato a § 56, ch'essa fu dedotta [p. 109 modifica]utilizzando solo le relazioni pertinenti a regioni limitate di piano, che non dipendono dalle ipotesi sulla somma degli angoli di un triangolo e perciò valide anche sulla sfera.


Chi volesse ottenere direttamente il risultato potrebbe osservare:

1°) che in geometria sferica le circonferenze sono proporzionali ai seni dei raggi [sferici], per la qual cosa la prima formula dei triangoli sferici rettangoli:


sen a = sen c sen alfa,


si trasforma immediatamente nella 1° delle (1);

2°) che un cerchio di raggio sferico ½ pi greco – b può considerarsi come una linea equidistante dal cerchio massimo concentrico e che il rapporto Eb fra questi due cerchi è dato da:

[vedi formula 109.png]

per cui le formule dei triangoli sferici rettangoli:


cos alfa = sen beta cos a, cos c = cos a cos b,


si trasformano immediatamente nelle (2) e (3).

Concludendo: Le formule della trigonometria assoluta sono valide anche sulla sfera.


IPOTESI EQUIVALENTI AL POSTULATO EuclideO.


§ 59. Prima di lasciare il campo elementare ci sembra opportuno richiamare l'attenzione del lettore sul valore che, nell'organismo della geometria, hanno talune proposizioni, che in un certo senso possono ritenersi come ipotesi equivalenti al V postulato. [p. 110 modifica]

Per intenderci chiaramente cominciamo col rilevare il significato di questa equivalenza.

Due ipotesi sono assolutamente equivalenti quando ciascuna di esse si deduce dall'altra senza il sussidio di alcuna nuova ipotesi. In questo senso sono assolutamente equivalenti le due ipotesi seguenti:

a) Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.


b) Per un punto fuori d'una retta passa una sola parallela a quella retta.

Questo genere di equivalenza non ha molto interesse, perchè le due ipotesi sono semplicemente due forme diverse d'una stessa proposizione. Vediamo piuttosto come il concetto di equivalenza possa generalizzarsi. Supponiamo che una teoria deduttiva sia fondata sopra un certo sistema di ipotesi, che denoteremo con {A, B, C,.... H}. Siano poi M ed N due nuove ipotesi tali che dal sistema {A, B, C,.... H, M} possa dedursi N, e dal sistema {A, B, C,.... H, N} possa dedursi M. Indicheremo ciò scrivendo {A, B, C,.... H, M}.unito a. N, {A, B, C,.... H, N}.unito a. M.

Allora, generalizzando il concetto di equivalenza, diremo che le due ipotesi M, N, sono equivalenti relativamente al sistema fondamentale {A, B, C,.... H}.

Insistiamo sull'importanza che il sistema fondamentale {A, B, C,.... H} ha in questa definizione. Infatti può accadere che restringendo il sistema fondamentale, tralasciando ad esempio l'ipotesi A, non siano contemporaneamente possibili le due deduzioni: {B, C,.... H, M}.unito a. M, {B, C,.... H, N}.unito a. N. [p. 111 modifica]Allora, rispetto al nuovo sistema fondamentale {B, C,.... H}, le due ipotesi M, N non sono equivalenti.

Dopo questi schiarimenti di ordine logico vediamo che cosa risulti dai precedenti sviluppi, circa l'equivalenza fra talune ipotesi e l'ipotesi euclidea.

Assumiamo in primo luogo come sistema fondamentale di ipotesi quello formato dai postulati di associazione [A] e di distribuzione [B], che caratterizzano nel modo ordinario i concetti di retta e piano; dai postulati della congruenza [C], dal postulato di Archimede [D].

Relativamente a questo sistema fondamentale, che indicheremo con {A, B, C, D}, le seguenti ipotesi sono fra loro equivalenti ed equivalenti a quella formulata da Euclide nel suo V postulato:

a) Gli angoli interni da una stessa parte, formati da due parallele con una trasversale sono supplementari [TOLOMEO].

b) Due rette parallele sono equidistanti.

c) Se una retta incontra una di due parallele incontra anche l'altra [PROCLO]; oppure: due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro; od anche: per un punto fuori d'una retta passa una sola parallela a quella retta.

d) D'un triangolo qualunque può sempre costruirsi un triangolo simile di grandezza arbitraria [Wallis].

e) Per tre punti non in linea retta passa sempre una sfera [W. Bolyai].

f) Per un punto situato fra i lati di un angolo passa sempre una retta che interseca i due lati dell'angolo [LORENZ].

alfa) Se due rette r, s, sono l'una perpendicolare e l'altra obbliqua alla trasversale AB, i segmenti di perpendicolare calati dai punti di s su r sono minori di AB, dalla banda da cui AB forma con s un angolo acuto [NASÎR EDDÎN]. [p. 112 modifica]

beta) Il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta.

gamma) La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti [Saccheri].

Supponiamo ora di restringere il sistema fondamentale di ipotesi prescindendo dall'ipotesi archimedea. Allora le proposizioni a), b), c), d), e), f), anche rispetto al nuovo sistema fondamentale {A, B, C}, sono fra loro equivalenti ed equivalenti al V postulato di Euclide. Quanto alle proposizioni alfa), beta), gamma), pur essendo fra loro equivalenti rispetto al sistema {A, B, C}, nessuna è equivalente al postulato euclideo. Questo risultato, che mette in rilievo l'ufficio del postulato di ARCHIMEDE, è contenuto in una già citata memoria di M. DEHN [1900]56. In questa memoria viene dimostrato che l'ipotesi gamma) sulla somma degli angoli di un triangolo è compatibile non solo con l'ordinaria geometria elementare, ma anche con una nuova geometria, necessariamente non archimedea, dove non vale il V postulato ed in cui per un punto passano infinite non secanti rispetto ad una retta assegnata. A questa geometria l'autore diede il nome di Semi-Euklidische Geometrie.


LA DIFFUSIONE DELLA GEOMETRIA NON-EuclideA.


§ 60. Le opere di Lobacefski e Bolyai non ebbero, al loro sorgere, quell'accoglienza che tanti secoli di lenta e continua preparazione sembravano promettere. Questo però non deve meravigliarci, perchè la storia della scienza c'insegna che ogni radicale mutamento nelle singole discipline non abbatte d'un tratto le convinzioni, i preconcetti su cui i pensatori e gli studiosi, attraverso un lungo periodo di tempo, edificarono le loro dottrine. [p. 113 modifica]

Nel nostro caso l'affermazione della geometria non-euclidea fu ritardata anche da ragioni speciali, quali la difficoltà che offrivano alla lettura le opere russe di Lobacefski, l'oscurità dei nomi dei due rinnovatori, la concezione kantiana dello spazio allora dominante.

A diradare le tenebre che avvolsero nei primi anni le nuove teorie giovarono gli scritti francesi e tedeschi di Lobacefski, ma sopratutto l'opera costante e indefessa di alcuni geometri, i cui nomi sono ora legati alla diffusione e al trionfo della geometria non- euclidea. Intendiamo parlare principalmente di C. L. GerlinG [1788-1864], R. BALTZER [1818-1887], FR. SCHMIDT [1827-1901] in Germania; di J. Hoüel [1823-1886], G. BATTAGLINI [1826-1894], E. BELTRAMI [1835-1900], A. FORTI in Francia ed in Italia.


§ 61. GerlinG, che fin dal 1816 era in corrispondenza con Gauss sulle parallele57 e che nel 1819 gli comunicava la nota di Schweikart sull'«Astralgeometrie» [cfr. §. 35], ebbe dallo stesso Gauss [1832] e con parole che non poterono non suscitare in lui una legittima curiosità, la notizia di un «kleine Schrift» sulla geometria non-euclidea composto da un giovane ufficiale austriaco, figlio di W. Bolyai58. Le successive indicazioni bibliografiche avute [1844] da Gauss sulle opere di Lobacefski e Bolyai59, indussero GerlinG a procurarsi le «Geometrische Untersuchungen» e l'«Appendix» e a toglierle così dall'oblio, in cui sembravano confinate. [p. 114 modifica]

§ 62. La corrispondenza fra Gauss e Schumacher, pubblicata fra il 1860 ed il 186360, le più volte citate opere di Lobacefski e Bolyai, i tentativi di Legendre per dare, anche nei testi elementari, un assetto rigoroso alla teoria delle parallele, indussero BALTZER a sostituire, nella 2. ed. dei suoi «Elemente der Matematik» [1867], la definizione euclidea di parallela con quella derivante dalla nuova concezione dello spazio ed a classificare, con Lobacefski, fra le proprietà sperimentali la relazione: alfa + beta + gamma = 180°, che caratterizza il triangolo euclideo. Per giustificare poi l'innovazione BALTZER non mancò di porgere un breve cenno della possibilità teorica d'una geometria più generale dell'ordinaria, fondata sull'ipotesi di due parallele e di mettere in giusto rilievo i nomi dei suoi fondatori61. Nello stesso tempo richiamò l'attenzione di Hoüel, il cui interessamento per le questioni riguardanti la geometria elementare era ben noto nel campo scientifico62, sulla geometria non-euclidea, sollecitandolo a tradurre in lingua francese le «Geometrische Untersuchungen» e l'«Appendix».


§ 63. La versione francese dell'opuscolo di Lobacefski uscì nel 1866 insieme a quella di un estratto della corrispondenza fra Gauss e Schumacher63. Il riavvicinamento così [p. 115 modifica]ottenuto fra le idee di Lobacefski-Bolyai e quelle di Gauss fu molto fecondo perchè il nome di Gauss e la sua sanzione alle scoperte dei due allora oscuri ed ignorati geometri contribuirono nel modo più efficace e sicuro a dare credito ed importanza alle nuove dottrine.

La versione francese dell'«Appendix» uscì nel 186764 preceduta da una «Notice sur la vie et les travaux des deux mathématiciens hongrois W. et J. Bolyai di Bolya.», scritta dall'architetto FR. SCHMIDT per invito dello stesso Hoüel65, e seguita dalle osservazioni di W. Bolyai, tratte dal 1° volume del «Tentamen» e da un opuscolo riassuntivo di WOLFGANG sui principi dell'Aritmetica e della Geometria66.

I dati raccolti dallo SCHMIDT sui due Bolyai furono contemporaneamente [1867] pubblicati nell'«Archiv. d. Math. u. Phy.» e nell'anno successivo A. FORTI, che già aveva [p. 116 modifica]stampato un articolo storico-critico su Lobacefski67, rendeva noto agli italiani il nome e le opere dei due ormai celebri geometri ungheresi68.

A favore di Hoüel va anche ricordato il suo interessamento pei manoscritti di GIOVANNI Bolyai, allora conservati [1867], in forza d'una disposizione testamentaria di WOLFGANG, nella Biblioteca del Collegio Riformato di Maros Vásárhely. Per mezzo del principe B. BONCOMPAGNI [1821-1894], che interessò a sua volta il Ministro ungarico dei Culti, barone EÖTVÖS, ottenne che venissero depositati [1869] presso l'Accademia ungherese delle Scienze di Budapest69 e potessero così formare oggetto dei pazienti ed accurati studi prima dello SCHMIDT, recentemente di Stäckel.

Inoltre Hoüel non mancò di adoperarsi, nelle più varie occasioni, affinchè alla geometria non-euclidea fosse assicurato un durevole trionfo: basti citare il suo «Essai critique sur les principes fondamentaux de la geometrie.»70, gli articoli «Sur l'impossibilité de demontrer par une [p. 117 modifica]construction plane le postulatum d'Euclide.»71, le «Notices sur la vie et les travaux de N. J. LOBATCHEFSKY»72, le traduzioni francesi di vari scritti relativi alla geometria non-euclidea73, per comprendere quale fervente apostolo abbia questa trovato nel celebre matematico francese.


§ 64. Con altrettanta fede ed attività introduceva e diffondeva in Italia le nuove speculazioni geometriche il nostro connazionale GIUSEPPE BATTAGLINI ed il «Giornale di Matematica», da lui fondato e diretto, dal 1867 in poi fu come l'organo ufficiale per la geometria non-euclidea.

Il primo lavoro di BATTAGLINI «Sulla geometria immaginaria di Lobatschewsky»74, scritto per stabilire direttamente il principio che serve di base alla teoria generale delle parallele ed alla trigonometria Lobacefskiana, è seguito, a poche pagine di distanza, dalla traduzione italiana della «Pangeometria»75 e questa, alla sua volta, nel 1868, dalla traduzione dell'«Appendix». Contemporaneamente, nel sesto volume del «Giornale di Matematica», usciva il celebre «Saggio di interpretazione della geometria non [p. 118 modifica]dea.» 76, di E. BELTRAMI, «che proiettò una luce inaspettata nella controversia allora agitata intorno ai principi fondamentali della geometria ed ai concetti di Gauss e LOBATSCHEFSKY77».

Sfogliando le successive annate del «Giornale di Matematica» s'incontrano frequentemente scritti relativi alla geometria non-euclidea: due di BELTRAMI [1872], che si riattaccano al precitato «Saggio»; vari di BATTAGLINI [1874-78] e D'OVIDIO [1875-77], trattanti alcune questioni della nuova geometria coi metodi proiettivi inaugurati da CAYLEY; quella di Hoüel [1870] sull'indimostrabilità del postulato euclideo; altre di CASSANI [1873-81], GÜNTHER [1876], DE-ZOLT [1877], FRATTINI [1878], RICORDI [1889], etc.


§ 65. L'opera di diffusione, iniziata e coraggiosamente condotta dai predetti geometri, ebbe pure un efficacissimo impulso da un altro gruppo di pubblicazioni, che, in quel torno di tempo [1868-72], affacciava il problema dei fondamenti della geometria sotto forma più generale ed elevata di quella informante le ricerche elementari di Gauss, Lobacefski, Bolyai. Dei nuovi metodi ed indirizzi, cui sono legati i nomi di alcuni fra i più eminenti matematici e filosofi contemporanei, parleremo brevemente nel cap. V; quì ci basti notare che l'antica questione delle parallele, alla quale le ricerche di Legendre, quarant'anni prima, parevano aver tolto ogni interesse, attrasse ancora e sotto un aspetto completamente nuovo, l'attenzione dei geometri e filosofi, diventando centro di un vastissimo campo di indagini. Delle quali alcune ebbero il semplice scopo di rendere meglio accessibile al gran pubblico matematico le opere dei [p. 119 modifica]fondatori della geometria non-euclidea, altre mirarono ad allargare i risultati, il contenuto, il significato della nuova dottrina, contribuendo in pari tempo ai progressi di certi rami speciali delle matematiche superiori78. [p. 120 modifica]CAPITOLO V.


I successivi sviluppi della geometria non-euclidea.


§ 66. Per rendere conto degli ulteriori progressi della geometria non-euclidea, secondo gli indirizzi metrico-differenziale e proiettivo, dovremmo uscire dal campo elementare, per parlare di alcune elevate teorie matematiche, quali la geometria metrico-differenziale sopra le varietà, la teoria dei gruppi continui di trasformazioni, la geometria proiettiva pura [sistema STAUDT] e le geometrie metriche ad essa subordinate. Non essendo consentaneo all'indole di questo volume entrare, sia pure sommariamente, in questioni elevate, ci restringeremo alle sole cose necessarie per fare comprendere al lettore lo spirito che informa le nuove indagini e condurlo ad un altro sistema geometrico, dovuto a RIEMANN, che le precedenti ricerche escludevano fin dal principio coll'ammettere l'infinità della retta. Questo sistema è conosciuto sotto il nome del suo fondatore e corrisponde all'ipotesi dell'angolo ottuso di Saccheri e Lambert79. [p. 121 modifica]


Indirizzo Metrico-Differenziale.


LA GEOMETRIA SOPRA UNA SUPERFICIE.


§ 67. Per facilitare lo scopo conviene muovere dalle considerazioni seguenti.

Data una superficie, proponiamoci di vedere fino a che punto si possa fondare sopra di essa una geometria analoga a quella del piano.

Per due punti A, B della superficie passa generalmente una linea ben determinata che le appartiene, la quale segna sulla superficie la minima distanza fra i due punti. Una tal linea è la geodetica congiungente i due punti dati. Se si tratta, per es., di una sfera, la geodetica, che congiunge due punti [non estremi di un diametro], è un arco del cerchio massimo ch'essi determinano.

Ora, volendo paragonare la geometria sopra una superficie con la geometria sul piano, appare naturale di mettere a riscontro le geodetiche di quella, misuranti le distanze sopra la superficie, con le rette di questo ed anche di considerare come [geodeticamente] eguali, sopra una superficie, due figure tracciate su di essa che possano farsi corrispondere punto per punto, in modo che le distanze geodetiche fra le coppie di punti corrispondenti siano uguali.

A questo concetto di uguaglianza si può pervenire in un modo intuitivo ammettendo che la superficie sia realizzata con un foglio flessibile ed inestendibile e che con un movimento della superficie, in cui essa non rimanga rigida, ma si fletta come è detto innanzi, le figure superficiali da noi chiamate uguali possano sovrapporsi l'una all'altra.

Prendiamo, come esempio, un pezzo di superficie cilindrica, che per semplice flessione senza estensione, duplicazione [p. 122 modifica]e rottura possa applicarsi sopra una regione piana. È chiaro che in questo caso dovranno chiamarsi uguali sulla superficie due figure che si distendano sopra figure piane uguali; ben inteso che due figure siffatte non sono generalmente uguali nello spazio.

Ritornando ad una superficie qualsiasi, il sistema di convenzioni innanzi accennato da origine ad una geometria sopra la superficie, che intendiamo sempre di considerare per regioni convenientemente limitate [regioni normali]. Due superficie applicabili l'una sull'altra con una flessione senza estensione avranno la medesima geometria; così, per es., sopra una qualsiasi superficie cilindrica ed in genere sopra una qualsiasi superficie sviluppabile, si avrà una geometria simile a quella d'una superficie piana.

Un esempio di geometria sopra una superficie, essenzialmente diversa da quella del piano, ci è data dalla geometria della sfera, perchè è impossibile applicare una porzione di sfera sopra il piano. Tuttavia fra la geometria piana e quella sferica abbiamo però una notevole analogia: questa analogia trova il suo fondamento nel fatto che la sfera può muoversi liberamente su se stessa, precisamente come il piano; sicchè per le figure uguali sulla sfera valgono delle proposizioni in tutto analoghe ai postulati della congruenza sul piano.

Cerchiamo di generalizzare questo esempio. Affinchè una superficie convenientemente limitata possa muoversi, con flessione senza estensione, su se stessa come la superficie piana, occorre che un certo numero [K], invariante rispetto alle predette flessioni, abbia un valore costante in tutti i punti della superficie. Questo numero è stato introdotto da Gauss col nome di curvatura80. [p. 123 modifica]

Si possono costruire effettivamente delle superficie a curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili


K = o , K > o , K < o.


Per K = o si hanno le superficie sviluppabili [applicabili sul piano]. Per K > o si hanno le superficie applicabili sopra una superficie sferica di raggio radice di (1/k) e la sfera può riguardarsi come modello di esse.

Per la K < o si hanno le superficie applicabili sulla pseudosfera, la quale può assumersi come modello per le superficie di curvatura costante negativa.

La pseudosfera è una superficie di rotazione: l'equazione [p. 124 modifica]della curva meridiana [trattrice81], riferita all'asse di rotazione z e ad una retta x perpendicolare a z e convenientemente scelta è:


[vedi formula 124.png]


dove k è legato alla curvatura K dalla relazione:


1 K = –

k2 Superficie di curvatura costante negativa 82
Fig. 49.

Sulla pseudosfera generata dalla (1) può adagiarsi qualunque porzione di superficie di curvatura costante – 1/k2. [p. 125 modifica]

§ 68. Fra la geometria sopra una superficie di curvatura costante e quella d'una porzione di piano, prese l'una e l'altra con le opportune limitazioni, intercede una analogia, che possiamo mettere in evidenza traducendo le prime definizioni e proprietà dell'una in quelle dell'altra, com'è sommariamente indicato dalla contrapposizione di frasi che si osserva nel seguente quadro.


a) Superficie. a) Regione di piano. b) Punto. b) Punto. c) Geodetica.


c) Retta. d) Arco di geodetica. d) Segmento rettilineo. e) Proprietà lineari della geodetica. e) Postulati relativi all'ordinamento dei punti sulla retta. f) Due punti determinano una geodetica. f) Due punti determinano una retta. g) Proprietà fondamentali dell'uguaglianza di archi geodetici e di angoli. g) Postulati della congruenza segmentaria ed angolare. h) Se due triangoli geodetici hanno uguali due lati e l'angolo compreso, anche i rimanenti lati ed angoli sono uguali. k) Se due triangoli rettilinei hanno uguali due lati e l'angolo compreso, anche i rimanenti lati ed angoli sono uguali.


Segue che si possono ritenere comuni alla geometria delle superficie in discorso tutte quelle proprietà pertinenti a regioni limitate di piano, che nell'assetto euclideo sono indipendenti dal postulato delle parallele e nella cui dimostrazione non si fa uso del piano completo [per es. dell'infinità della retta].

Procediamo ora a confrontare, con le corrispondenti della superficie, quelle proposizioni relative alla regione piana, che sono in connessione con l'ipotesi euclidea. Si ha, per es., che sul piano la somma degli angoli di un triangolo [p. 126 modifica]è uguale a due retti. La proprietà corrispondente non è generalmente vera sulla superficie.

Infatti Gauss dimostrò che sopra una superficie a curvatura K, costante oppure variabile da punto a punto della superficie, l'integrale doppio


[vedi formula 126_a.png]

esteso alla superficie di un triangolo geodetico ABC, è uguale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti83. Cioè:

[vedi formula 126_b.png]


Applichiamo questa formula alle superficie di curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili.


1° caso: K = o.


Allora avremo


[vedi formula 126_c.png]


Sulle superficie a curvatura nulla la somma degli angoli d'un triangolo geodetico è uguale a due angoli retti. Questo risultato del resto ci era noto.


2° caso: K = 1/k2 > o.


Allora avremo


[vedi formula 126_d.png] [p. 127 modifica]


Ma l'integrale: [vedi formula 127_a.png] esteso al triangolo ABC, da l'area Delta di quel triangolo, talchè:


delta/k = A + B + C - pigreco.


Da questa relazione ricaviamo: A + B + C> pigreco. delta = k2 (A + B + C – pigreco).

Cioè:

a) Sulle superficie a curvatura costante positiva la somma degli angoli di un triangolo geodetico è maggiore di due angoli retti.

b) L'area di un triangolo geodetico è proporzionale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti.


3° caso: K = – 1/k2

Allora avremo: [vedi formula 127_b.png]

dove, anche qui, con delta abbiamo indicato l'area del triangolo ABC. Segue allora:

delta/k2 = pigreco - (A + B + C),


dalla quale si ricavano le due relazioni seguenti:


A + B + C < pigreco. delta = k2 (pigreco – A– B – C).

Cioè

a) Sulle superficie a curvatura costante negativa la somma dei tre angoli di un triangolo geodetico è minore di due angoli r [p. 128 modifica]etti.

b) L' area d'un triangolo geodetico è proporzionale alla deficienza della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti.

Riassumiamo i risultati nella seguente tabella:


Superficie a curvatura costante.


Valore della curvatura | Modello della superficie | Carattere specifico


|--------------------------|---------------------

K = o | piano | A + B + C = pigreco


|--------------------------|---------------------

K = 1/k2 | sfera | A + B + C > pigreco


|--------------------------|---------------------

K = – 1/k2 | pseudosfera | A + B + C < pigreco


La geometria delle superficie di curvatura nulla e di curvatura costante positiva ci è nota, perchè corrisponde alla geometria piana euclidea ed alla geometria sferica.

Lo studio della geometria delle superficie a curvatura costante negativa fu iniziato da E. MINDING [1806-1885] con la ricerca delle forme di rotazione su cui esse possono applicarsi(135). La seguente osservazione di MINDING, sviluppata distesamente da D. CODAZZI [1824-1873], permette poi di assegnarne la trigonometria. Se nelle formule trigonometriche della sfera si tengono fissi gli angoli e si moltiplicano i lati per i = radice di (-1), si ottengono le relazioni a cui soddisfano gli elementi dei triangoli geodetici delle superficie [p. 129 modifica]di curvatura costante negativa84. Queste relazioni [trigonometria pseudosferica] evidentemente coincidono con quelle di Taurinus, cioè con le formule della geometria di Lobacefski-Bolyai.


§ 69. Dai precedenti §§ risulta che le proprietà relative alla somma degli angoli d'un triangolo, nella geometria delle superficie di curvatura costante, corrispondono rispettivamente:


per K = 0, a quelle valide nel piano in forza dell'ip. ang. retto; per K > 0,

a quelle che sussisterebbero nel piano in forza dell'ip. ang. ottuso; per K < 0, a quelle valide nel piano, in forza dell'ip. angolo acuto.


Il primo di questi risultati è evidente a priori, perchè si tratta di superficie sviluppabili.

L'analogia fra la geometria sulle superficie di curvatura costante negativa, ad es., e la geometria di Lobacefski- Bolyai si potrebbe rendere ancor più manifesta ponendo a riscontro le relazioni fra gli elementi dei triangoli geodetici tracciati su quelle superficie con le formule della trigonometria non-euclidea. Un tale riscontro fu fatto da E. BELTRAMI nel suo «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea85.».

Risulta così che la geometria sopra una superficie a curvatura costante positiva o negativa si può considerare [p. 130 modifica]come una interpretazione concreta della geometria non-euclidea che si ottiene in una regione limitata di piano adottando l'ip. ang. ottuso o quella dell'ang. acuto.

La possibilità di interpretare la geometria delle varietà a due dimensioni mediante quella delle superficie ordinarie era nota a B. RIEMANN [1826-1866] fino dal 1854, anno in cui egli compose la celebre dissertazione: «Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen86.», che sta a fondamento dell'indirizzo metrico differenziale.

L'interpretazione di BELTRAMI si presenta come caso particolare di quella di RIEMANN. La quale, per le proprietà delle superficie di curvatura costante, ci mostra chiaramente come il seguito delle deduzioni ricavato dalle tre ipotesi sulla somma degli angoli di un triangolo debba condurre a dei sistemi geometrici logicamente coerenti. [p. 131 modifica]

Questa conclusione, per quanto riguarda l'ip. ang. ottuso, sembra contraddire i teoremi di Saccheri, Lambert, Legendre, che escludono fin dal principio la possibilità d'una geometria fondata su detta ipotesi. La contraddizione si elimina però facilmente riflettendo che nella dimostrazione di quei teoremi si utilizzarono non solo le proprietà fondamentali pertinenti ad una regione limitata di piano, ma anche proprietà del piano completo, ad. es. l'infinità della retta.


FONDAMENTI D'UNA GEOMETRIA PIANA SECONDO LE IDEE DI RIEMANN.


§ 70. Le precedenti osservazioni ci guidano a porre i fondamenti d'una geometria metrica, prescindendo dal postulato di Euclide e adottando un punto di vista più generale di quello innanzi tenuto.

a) Ammettiamo di partire da una regione limitata di piano [regione normale], non dell'intero piano;

b) concediamo come postulati quelle proposizioni elementari, rivelateci dai sensi, nella regione inizialmente presa; proposizioni relative alla determinabilità della retta, alla congruenza etc.;

c) ammettiamo che le proprietà della regione iniziale si possano estendere all'intorno di un punto qualunque del piano [non diciamo al piano completo abbracciato con un solo sguardo].

La geometria sviluppata in base a questi principi sarà la più generale geometria piana, conciliabile coi dati che esprimono il risultato delle nostre esperienze prese in un senso rigoroso, ma limitatamente ad un campo accessibile.

In base a quanto si disse nel § 69 è chiaro che la detta geometria troverà una concreta interpretazione in quella delle superficie a curvatura costante.

Ma tale corrispondenza sussiste soltanto dal punto di vista [differenziale] secondo cui si confrontano delle regioni [p. 132 modifica]limitate. Se ci si pone invece dal punto di vista [integrale] secondo cui si confrontano la geometria dell'intiero piano e la geometria sopra la superficie, il riscontro non sussiste piú. Già infatti, sotto questo aspetto, non può dirsi nemmeno che sopra due superficie con una medesima curvatura costante valga la medesima geometria. Per es., il cilindro circolare ha una curvatura nulla ed una regione di esso può svilupparsi sopra una regione di piano, ma l'intero cilindro non è applicabile in tal modo sopra l'intero piano. La geometria integrale sul cilindro differisce perciò da quella dell'intero piano euclideo. Infatti, vi sono sul cilindro delle geodetiche chiuse [sezioni circolari] e generalmente due geodetiche di esso [eliche] s'incontrano in un numero infinito di punti, anzichè in due.

Differenze analoghe intercederanno in generale fra una delle geometrie metriche non-euclidee che potrebbe fondarsi sulla base dei postulati sopra enunciati e la geometria d'una corrispondente superficie a curvatura costante.

Quando tentiamo di abbracciare in senso integrale la geometria sopra una superficie a curvatura costante [p. es. sulla sfera o sulla pseudosfera] vediamo in generale che la proprietà fondamentale di una regione normale, relativa alla determinazione della geodetica passante per due punti, cessa di valere. Questo fatto non è però una conseguenza necessaria delle ipotesi su cui si basa, nel senso anzidetto, una metrica non-euclidea generale del piano. Infatti, quando si domandi se è logicamente possibile un sistema di geometria piana soddisfacente alle condizioni a) b) c) e tale che i postulati della congruenza e quello di determinazione della retta valgano nel piano completo, si ottengono, oltre l'ordinario sistema euclideo, i due sistemi geometrici seguenti:

1°) Il sistema di Lobacefski- Bolyai, già innanzi incontrato, in cui per un punto passano due parallele ad una retta. [p. 133 modifica]

2°) Un nuovo sistema [detto di RIEMANN], che corrisponde all'ip. ang. ottuso di Saccheri, in cui non esistono parallele.

In quest'ultimo sistema la retta è una linea chiusa, di lunghezza finita: si evita perciò la contraddizione cui si andrebbe incontro supponendo la retta aperta [infinita], ipotesi di cui si fa uso per stabilire il teorema dell'angolo esterno di Euclide ed alcuni risultati di Saccheri.


§ 71. Il primo a notare l'esistenza di un sistema geometrico compatibile con l'ip. ang. ottuso fu RIEMANN, perchè egli fu il primo a sostituire l'ipotesi della retta infinita, con l'altra più generale della retta illimitata. La distinzione che quì si presenta tra infinito ed illimitato è di fondamentale importanza. Riportiamo, a tale proposito, le parole di RIEMANN. «Quando si estendono le costruzioni dello spazio all'infinitamente grande bisogna fare distinzione fra l'illimitato e l'infinito: il primo appartiene ai rapporti d'estensione, il secondo ai rapporti metrici. Che lo spazio sia una varietà illimitata a tre dimensioni è una ipotesi che si applica in tutte le concezioni relative al mondo esterno, che ci serve per completare in ogni momento il campo delle nostre percezioni effettive ed a costruire i luoghi possibili degli oggetti cercati e che si trova costantemente verificata in tutte queste applicazioni. La proprietà dello spazio di essere illimitato possiede dunque una certezza empirica che nessun altro dato empirico possiede. Ma l'infinità dello spazio non ne segue in alcun modo; al contrario, se si suppongono i corpi indipendenti dalla loro posizione e si attribuisce allo spazio una curvatura costante, lo spazio sarebbe necessariamente finito non appena questa misura della curvatura avesse un valore positivo, comunque piccolo87.». [p. 134 modifica]

Concludendo, il postulato che attribuisce alla retta una lunghezza infinita, sott'inteso nelle ricerche dei precedenti geometri, non è per RIEMANN meno discutibile di quello delle parallele: ciò che RIEMANN ritiene indiscutibile è l'illimitazione dello spazio, proprietà compatibile tanto con l'ipotesi della retta infinita [aperta], quanto con quella della retta finita [chiusa].

La possibilità logica del sistema di RIEMANN si può desumere dall'interpretazione concreta ch'esso riceve mediante la geometria della stella di rette. Le proprietà della stella di rette si traducono facilmente in quelle del piano di RIEMANN e viceversa, con il sussidio del seguente dizionario: Stella Piano retta punto piano [fascio] retta angolo di due rette segmento angolo diedro angolo triedro triangolo .................... ...... ............................


Ecco, per es., la traduzione di alcune fra le più notevoli proposizioni della stella:




a) La somma dei tre diedri di un triedro è maggiore di due diedri retti.

b) Tutti i piani perpendicolari ad un altro piano passano per una retta.

c) Se ad ogni retta del piano facciamo corrispondere il punto in cui s'intersecano le rette perpendicolari alla retta data, si ottiene una corrispondenza fra rette e punti, che gode della seguente proprietà: i punti corrispondenti alle rette d'un fascio appartengono ad una retta, la quale, alla sua volta, ha per punto corrispondente il centro del fascio.

La corrispondenza così definita prende il nome di polarità assoluta [ortogonale] della stella.


a) La somma dei tre angoli di un triangolo è maggiore di due angoli retti.

b) Tutte le rette perpendicolari ad un'altra retta passano per un punto.

c) Se ad ogni piano della stella facciamo corrispondere la retta in cui s'intersecano i piani perpendicolari al piano dato si ottiene una corrispondenza fra piani e rette, che gode della seguente proprietà: le rette corrispondenti ai piani di un fascio appartengono ad un piano, il quale, alla sua volta, ha per retta corrispondente l'asse del fascio.

La corrispondenza così definita prende il nome di polarità assoluta del piano. [p. 135 modifica]

§ 72. Una notevole osservazione intorno all'ip. ang. ottuso fu fatta recentemente da DEHN.

Riferendoci ai ragionamenti di Saccheri [§ 15], Lambert [§ 19], Legendre [§ 27], si scorge facilmente che questi autori, per dimostrare la falsità dell'ip. ang. ottuso, si giovarono non solo dell'ipotesi della retta infinita, ma anche dell'ipotesi archimedea. Ora ci possiamo chiedere se quest'ultima sia realmente necessaria per stabilire il risultato. In altre parole possiamo chiederci se, escludendo il postulato di Archimede, le due ipotesi che attribuiscono l'una alla retta i caratteri delle linee aperte, l'altra alla somma degli angoli di un triangolo un valore maggiore di 180° siano compatibili fra loro. A una tale domanda rispose DEHN, con la memoria citata a § 14 [nota 30], costruendo una geometria non-archimedea, in cui la retta è aperta ed i triangoli verificano la 2a ipotesi saccheriana. Sicchè, la seconda delle tre ipotesi di Saccheri è compatibile con l'ipotesi della retta aperta, nel seno d'un sistema non-archimedeo. La nuova geometria fu chiamata da DEHN «Nicht-Legendre' sche Geometrie».


§ 73. Sebbene, come abbiamo detto, la geometria di una superficie a curvatura costante [positiva o negativa] non rispecchi in generale la intera geometria non-euclidea del piano di {{Sc| [p. 136 modifica]Lobacefski}} e di RIEMANN si può domandare se un tale riscontro possa aver luogo per una qualche superficie particolare.

A questa domanda si risponde così

1°) Non esiste alcuna superficie regolare88, analitica, su cui valga nella sua integrità la geometria di Lobacefski-Bolyai [Teorema di HILBERT89].

2°) Una superficie su cui valesse nella sua integrità la geometria del piano di Riemann dovrebbe essere necessariamente chiusa. [p. 137 modifica]La sola superficie regolare, analitica, chiusa a curvatura costante positiva è la sfera [Teorema di LIEBMANN90]. Ma sulla sfera, nelle cui regioni normali è valida la geometria di RIEMANN, due rette s'incontrano sempre in due punti [opposti]. Concluderemo pertanto:

Nello spazio ordinario non esistono superficie che verifichino integralmente tutte le proprietà dei piani non-euclidei.


§. 74. A questo punto conviene osservare che la sfera, fra tutte le superficie di curvatura costante non nulla, è dotata d'un carattere che l'avvicina più delle altre al piano. Infatti la sfera può muoversi su stessa allo stesso modo del piano, di guisa che le proprietà della congruenza valgono non solo per regioni normali ma, come sul piano, per l'intera superficie sferica abbracciata d'uno sguardo.

Questo fatto ci suggerisce un modo di enunciare i postulati della geometria, che non escluda a priori la possibile esistenza di un piano con tutti i caratteri della sfera, compreso quello dei punti opposti. Si potrebbe infatti richiedere che sul piano fossero validi:

1°) i postulati b), c) [cfr. § 70], in ogni regione normale;

2°) i postulati della congruenza sull'intero piano.

Si troverebbero allora i sistemi geometrici di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN [tipo ellittico], precedentemente incontrati, in cui due rette hanno solo un punto comune; [p. 138 modifica]un altro sistema riemanniano [tipo sferico], in cui due rette hanno sempre in comune due punti.


§. 75. Come RIEMANN abbia concepito il suo piano completo, se abbia cioè pensato al piano-ellittico o al piano-sfera, od abbia riconosciuto la possibilità di entrambi, non si può precisare, perchè egli, nella sua memoria, fa della geometria differenziale e dedica soltanto poche parole alle forme complete. Però i continuatori del suo indirizzo, fra cui BELTRAMI, considerando costantemente la geometria riemanniana accanto alla sferica, furono tratti a supporre che sul piano completo di RIEMANN, come sulla sfera [per l'esistenza dei punti opposti], il postulato di determinazione della retta presentasse delle eccezioni91 e che l'unica forma compatibile con l'ip. ang. ottuso fosse il piano-sfera.

Le proprietà essenziali del piano-ellittico furono date da A. CAYLEY [1821-1895] nel 1859, ma la relazione fra queste proprietà e la geometria non euclidea fu additata da KLEIN solo nel 1871. A KLEIN si deve pure la netta distinzione fra le due geometrie riemanniane e la rappresentazione di quella ellittica con la geometria della stella [cfr. § 71]

Per comprendere in che consista la differenza fra la geometria sferica e la ellittica fissiamo l'attenzione su due tipi di superficie che si presentano nello spazio ordinario, cioè sulle superficie a due faccie [bilatere] e sulle superficie ad una sola faccia [unilatere].

Esempi di superficie bilatere sono il piano ordinario, le superficie del 2° ordine [coniche, cilindriche, sferiche] ed in [p. 139 modifica]generale tutte quelle che racchiudono solidi. Su queste è possibile distinguere due faccie.

Un esempio di superficie unilatera ci è dato dal foglio di Moebius [Moebiussche Blatte], il quale si costruisce facilmente così. Tagliata una striscia rettangolare ABCD, invece di congiungere i lati opposti AB, CD in modo da ottenere una superficie cilindrica, si congiungano gli stessi lati dopo che uno di essi, ad es. CD, ha ruotato di 180° intorno al suo punto di mezzo. Allora, quella ch'era la faccia superiore del rettangolo, in prossimità di CD, viene a trovarsi proseguita dalla faccia inferiore del rettangolo primitivo, sicchè sul foglio di Moebius la distinzione delle due faccie diventa impossibile.

Volendo distinguere le superficie unilatere dalle bilatere mediante un carattere che dipenda solo dalle proprietà intrinseche delle superficie si procede così. Fissato un punto della superficie ed un verso di rotazione intorno ad esso, si faccia percorrere al punto un cammino chiuso sulla superficie che non ne attraversi l'eventuale contorno: per le superficie bilatere, allorchè il punto ritorna nella posizione iniziale, il verso iniziale della rotazione coincide col verso finale; per le superficie unilatere [come facilmente si verifica sul foglio di MOEBIUS, percorrendo la linea mediana della superficie] esistono dei cammini chiusi per cui il verso finale della rotazione è l'inverso dell'iniziale.

Ritornando ai due piani di RIEMANN si può ora facilmente spiegare in che consista la loro sostanziale differenza: il [p. 140 modifica]piano-sfera è dotato dei caratteri delle superficie bilatere, il piano ellittico di quelli delle superficie unilatere.

La proprietà del piano ellittico ora enunciata trova poi, come tutte le altre, una interpretazione concreta nella stella di rette.

Infatti, un ribaltamento d'una retta su se stessa, intorno al centro della stella, scambia fra loro le due rotazioni che hanno per asse quella retta.

Un'altra proprietà del piano ellittico, legata alla precedente, è questa: Il piano ellittico, contrariamente a ciò che accade per l'euclideo e gli altri non euclidei, non viene spezzato in due falde dalle sue rette. Ciò può esprimersi ancora dicendo che dati su esso due punti A, A' ed una retta arbitraria si può passare da A ad A' per un cammino che non esca dal piano nè attraversi la retta.

Questo fatto si traduce in una chiara proprietà della stella, che è superfluo richiamare.


§ 76. Analoga all'interpretazione del piano ellittico è quella che può darsi del piano-sfera mediante la stella di raggi [semirette]. La traduzione delle proprietà di questo piano nella proprietà della stella di raggi si effettua con l'uso di un dizionario, simile a quello del § 71, in cui la parola punto si trova contrapposta alla parola raggio.

La considerazione della stella di raggi a fianco della stella di rette si presta assai bene per rischiarare i legami e spiegare le differenze che intercedono fra le due geometrie riemanniane.

Noi possiamo considerare due stelle, l'una di rette e l'altra di raggi, col medesimo centro. È chiaro che ad ogni retta della prima corrispondono due raggi della seconda, che ogni figura della prima è formata con due figure simmetriche della seconda e che, sotto certe restrizioni, le proprietà metriche delle due forme sono le stesse. Cosicchè se si conviene di riguardare i due raggi opposti della stella [p. 141 modifica]di raggi come formanti un solo elemento, la stella di raggi s'identifica con la stella di rette.

Le stesse considerazioni si applicano ai due piani di RIEMANN. Ad ogni punto del piano ellittico ne corrispondono due distinti e opposti del piano-sfera, a due rette del primo che passano per quel punto, due rette del secondo che hanno due punti in comune, etc....

Il piano ellittico, a fianco del piano-sfera, deve adunque concepirsi come un piano doppio.

A proposito del piano ellittico e del piano sfera conviene osservare che le formule della trigonometria assoluta, indicate al § 56, possono ad essi applicarsi in ogni loro regione convenientemente limitata. Ciò risulta dal fatto, già notato al § 58, che le formule della trigonometria assoluta sono valide sulla sfera, la cui geometria, per quanto riguarda le regioni normali, coincide con quella de' due piani in discorso.


FONDAMENTI D’UNA GEOMETRIA SPAZIALE SECONDO RIEMANN.


§ 77. Rivolgendoci ora allo spazio, partiamo dal fondamento filosofico che i postulati, sebbene ad essi si accordi per ipotesi un valore rigoroso, esprimono delle verità d'indole sperimentale, verificabili solo in una regione limitata e ammettiamo che, in base ai detti postulati, i punti dello spazio siano rappresentati da tre coordinate x1, x2, x3.

In tale rappresentazione [analitica] ad ogni linea verranno a corrispondere tre equazioni parametriche:


x1 = f1 (t), x2 = f2 (t), x3 = f3 (t),


ed allora potremo proporci di determinare una funzione s, del parametro t, che esprima la lunghezza d'un arco di curva.

Stante la proprietà distributiva, per la, quale la lunghezza d'un arco è uguale alla somma delle lunghezze delle parti in cui può immaginarsi diviso, una tale funzione sarà pienamente [p. 142 modifica]determinata quando si conosca la distanza elementare [ds] di due punti infinitamente vicini, di coordinate:


x1, x2, x3, x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3.


RIEMANN parte da ipotesi assai generali, che vengono soddisfatte, nel modo più semplice, assumendo come espressione del quadrato della distanza elementare [ds2] una forma quadratica, sempre positiva, nei differenziali delle variabili:


[vedi formula 142_a.png]


nella quale le aij sono funzioni di x1, x2, x3.

Ammettendo ora il principio della sovrapponibilità delle figure, si dimostra che le funzioni aij debbono essere di tale natura da permettere, in seguito ad un opportuno mutamento del sistema di coordinate, che il ds2 assuma la forma:


[vedi formula 142_b.png]


nella quale la costante K è ciò che RIEMANN, per estensione del concetto gaussiano, denomina convenzionalmente curvatura dello spazio.

A seconda poi che K è maggiore, uguale, minore di zero abbiamo lo spazio a curvatura costante positiva, lo spazio a curvatura nulla, lo spazio a curvatura costante negativa.

Facciamo un passo ulteriore ammettendo di estendere allo spazio completo il principio di sovrapponibilità [movimenti] e il postulato per cui la retta è determinata, senza eccezione, da due punti: si trovano allora tre forme spaziali, cioè tre geometrie logicamente possibili e conciliabili coi dati da cui siamo partiti.

La prima di tali geometrie, rispondente alla curvatura positiva, è caratterizzata dal fatto che in ogni piano vale il [p. 143 modifica]sistema di RIEMANN, per la qual cosa lo spazio a curvatura positiva sarà illimitato e finito in tutte le direzioni; la seconda, rispondente alla curvatura nulla, è l'ordinaria geometria d'Euclide; la terza infine, che risponde al valore negativo della curvatura, da luogo in ogni piano al sistema di Lobacefski-Bolyai.


L'OPERA DI H. HELMHOLTZ E LE RICERCHE DI S. LIE.


§ 78. Anche HERMANN HELMHOLTZ [1821-1894], in alcuni suoi scritti d'indole matematica e filosofica92, ha trattato la questione relativa ai fondamenti della Geometria. Invece di assumere a priori la forma [vedi formula 143] [p. 144 modifica]


come espressione della distanza elementare, egli ha fatto vedere che questa espressione, nella forma datale da RIEMANN per gli spazi di curvatura costante, è la sola possibile, quando alle ipotesi di RIEMANN si aggiunga, fin da principio, quella riguardante la sovrapponibilità delle figure, in modo conforme al movimento dei corpi rigidi. Il problema di RIEMANN-HELMHOLTZ è stato sottoposto ad una profonda critica da S. LIE [1842-1899]. Il quale è partito dall'idea fondamentale, ravvisata da KLEIN nelle ricerche di HELMHOLTZ, che essere due figure congruenti significa potersi trasformare l'una nell'altra mediante una certa trasformazione puntuale dello spazio e che le proprietà per cui la congruenza assume l'aspetto logico di uguaglianza sono inerenti al fatto che i movimenti formano un gruppo di trasformazioni93.


Pertanto il problema di RIEMANN - HELMHOLTZ venne messo dal LIE sotto la forma seguente:

Determinare tutti i gruppi continui dello spazio che, entro una regione limitata, godono delle proprietà dei movimenti.

Postulate convenientemente tali proprietà, in relazione al concetto di libera mobilità degli elementi lineari e superficiali uscenti da un punto, si trovano tre tipi di gruppi, i quali caratterizzano le tre geometrie di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN94. [p. 145 modifica]


Indirizzo proiettivo


SUBORDINAZIONE DELLA GEOMETRIA METRICA ALLA PROIETTIVA.


§. 79. Finalmente anche la geometria proiettiva sta in un'elegante relazione coi tre sistemi geometrici di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN.

Per dare un'idea anche di quest'ultimo modo di trattare il problema rammentiamo che la geometria proiettiva, secondo il sistema di G. C. STAUDT [1798-1867], riposa esclusivamente sopra le nozione grafiche relative ai punti, alle rette, ai piani e bandisce sistematicamente ogni concetto di congruenza e di movimento [quindi di misura etc.]. Per la qual cosa la geometria proiettiva, prescindendo da un certo gruppo di postulati, comprenderà un numero più ristretto di proprietà generali, le quali, per quanto concerne le figure piane, sono le proprietà [proiettive] che restano invariate per proiezioni e sezioni.

Non di meno, fondata nello spazio la geometria proiettiva, possono introdursi nell'organismo di essa i concetti metrici, come relazioni delle figure con certi enti [metrici] particolari.

Restringendoci al caso del piano euclideo vediamo di quale interpretazione grafica siano suscettibili i concetti metrici fondamentali di parallelismo e di ortogonalità.

Giova, a tale scopo, considerare in modo speciale la retta all'infinito del piano e l'involuzione assoluta che su di essa determinano le coppie di raggi ortogonali di un fascio. I punti doppi di tale involuzione, immaginari coniugati, vengono denominati punti ciclici, per la loro proprietà di appartenere a tutti i cerchi del piano [ PONCELET, 182295]. [p. 146 modifica]

Ciò posto, il parallelismo di due rette si esprime graficamente con la proprietà che esse hanno di concorrere in un punto della retta all'infinito; l'ortogonalità di due rette si esprime graficamente con la proprietà dei loro punti all'infinito, di essere coniugati nella involuzione assoluta, cioè di separare armonicamente i punti ciclici [CHASLES, 185096].

Altre proprietà metriche, che possono esprimersi graficamente, sono quelle inerenti alle grandezze angolari, imperocchè ogni relazione:


F (,A,.B,.C...) = 0,


fra gli angoli A, B, C,...., può sostituirsi con l'altra:

[vedi formula 146.png] log a

in cui a, b, c,.... sono i birapporti formati dai lati degli angoli con le rette [immaginarie] che dal loro vertice proiettano i punti ciclici [LAGUERRE, 185397].

Più in generale si dimostra che la congruenza tra due figure piane qualunque può esprimersi con una relazione grafica di esse colla retta all'infinito e l'involuzione assoluta98 e poichè la congruenza è il fondamento di tutte le proprietà metriche, segue che la retta all'infinito e l'involuzione [p. 147 modifica]assoluta permettono di subordinare alla geometria proiettiva tutte le proprietà della geometria metrica euclidea. Le proprietà metriche compariscono dunque nella geometria proiettiva non come proprietà grafiche delle figure considerate in sè stesse, ma come proprietà grafiche in relazione agli enti metrici fondamentali, costituiti dalla retta all'infinito e dalla involuzione assoluta.

L'insieme degli enti metrici fondamentali si denomina brevemente assoluto del piano [CAYLEY].

Quanto abbiamo detto per il piano si estende naturalmente allo spazio. Nello spazio gli enti metrici fondamentali, che permettono di subordinare le proprietà metriche alle grafiche, sono il piano all'infinito ed una certa polarità [polarità assoluta] su questo piano, segata dalla polarità della stella che ad ogni retta fa corrispondere il piano ortogonale [cfr. § 71]. La conica fondamentale di detta polarità è immaginaria, perchè nella stella non esistono rette reali che giaciano sul rispettivo piano perpendicolare. Si vede poi facilmente ch'essa contiene tutte le coppie di punti ciclici appartenenti ai vari piani dello spazio e che perciò risulta comune a tutte le sfere. Da ciò la denominazione di cerchio ciclico per l'ente metrico fondamentale dello spazio.


§ 80. Sorgono ora spontanee le due domande seguenti.

1.° Nelle ipotesi non-euclidee è possibile la fondazione della geometria proiettiva?

2.° Data la possibilità di tale fondazione, le proprietà metriche potranno, come nel caso euclideo, subordinarsi alle proiettive?

La risposta è affermativa per entrambe. Se nello spazio è valido il sistema di RIEMANN la fondazione della geometria proiettiva non offre difficoltà alcuna, pel fatto che si trovano senz'altro verificate le proprietà grafiche che stanno a base dell'ordinaria proiettiva dopo l'introduzione [p. 148 modifica]degli enti impropri. Se nello spazio è valido il sistema di Lobacefski-Bolyai si può ancora fondare la geometria proiettiva introducendo, con opportune convenzioni, dei punti, rette e piani impropri o ideali, per mezzo dello stesso criterio che ordinariamente si segue nel caso euclideo per completare lo spazio con gli elementi all'infinito. Basterebbe, per ciò, considerare, accanto alla stella propria [insieme delle rette passanti per un punto], due stelle improprie, formate l'una da tutte le rette parallele in uno stesso senso ad una retta data, l'altra da tutte le perpendicolari ad un piano dato, ed introdurre dei punti impropri da riguardarsi come centri di queste stelle.

Senonchè i punti impropri appartenenti ad un piano non possono, in questo caso, come nell'euclideo, assegnarsi ad una retta [retta all'infinito]: essi costituiscono una intera regione, separata dalla regione dei punti effettivi [punti propri] da una conica [conica limite o all'infinito]. Questa conica è il luogo dei punti impropri determinati dai fasci di rette parallele.

Nello spazio poi i punti impropri sono separati dai punti propri da una quadrica non rigata [quadrica limite o all'infinito], luogo dei punti impropri secondo cui s'intersecano le rette parallele. Stabilita la validità della geometria proiettiva anche nelle ipotesi non-euclidee [KLEIN99], per ottenere la subordinazione della metrica alla proiettiva basta considerare, come nel caso euclideo, gli enti metrici fondamentali [assoluto] ed interpretare le proprietà metriche delle figure [p. 149 modifica]come relazioni grafiche di esse rispetto a questi enti. Sul piano di Lobacefski-Bolyai l'ente metrico fondamentale è la conica limite che separa la regione dei punti propri da quella dei punti impropri; sul piano di RIEMANN è una conica immaginaria, definita dalla polarità assoluta del piano [cfr. § 71 – punto c seconda colonna].

Tanto nell'uno quanto nell'altro caso le proprietà metriche delle figure sono tutte le proprietà grafiche che rimangono inalterate nelle trasformazioni proiettive100 che lasciano fisso l'assoluto.

Queste trasformazioni proiettive costituiscono poi gli infinito3 movimenti del piano non-euclideo.

Nel caso euclideo le nominate trasformazioni [che non alterano l'assoluto] sono le infinito4 similitudini, fra cui, in particolare, si trovano gli infinito3 movimenti.

Nello spazio la subordinazione della metrica alla proiettiva si fa per mezzo della quadrica limite [assoluto dello spazio]. Se questa è reale si ottiene la geometria di Lobacefski-Bolyai, se è immaginaria si ottiene quella di RIEMANN, tipo ellittico.

Le proprietà metriche delle figure sono dunque le proprietà grafiche dello spazio in relazione al suo assoluto, cioè le proprietà grafiche che rimangono inalterate in tutte le trasformazioni proiettive che lasciano fisso l'assoluto dello spazio.


§ 81. Come si esprimono, rispetto all'assoluto, i concetti di distanza e di angolo?

Introdotto sul piano proiettivo un sistema qualunque di coordinate omogenee (x1, x2, x3), che permetta di rappresentare [p. 150 modifica]la retta con equazioni lineari, l'equazione della conica assoluto sarà del tipo: [vedi formula 150.png]


Allora, la distanza dei due punti X(x1, x2, x3), Y(y1, y2, y3) viene espressa, a meno d'un fattore costante, dal logaritmo del birapporto del gruppo ch'essi formano coi punti M, N in cui la loro congiungente incontra l'assoluto.

Ponendo poi:


[vedi formula 150_b.png]

e rammentando, dalla geometria analitica, che il birapporto dei quattro punti X, Y, M, N è dato da:

[vedi formula 150_c.png]

l'espressione Dxy della distanza sarà dunque:

[vedi formula 150_d.png]



ovvero, introducendo le funzioni inverse delle funzioni circolari ed iperboliche101:

[vedi formula 150_e.png] [p. 151 modifica]


La costante k, che comparisce in queste formule, è poi legata alla curvatura K di RIEMANN dalla seguente relazione:


K = 1/k2


Per l'interpretazione proiettiva del concetto di angolo valgono considerazioni analoghe. L'angolo di due rette è proporzionale al logaritmo del birapporto del gruppo ch'esse formano con le tangenti condotte all'assoluto pel loro punto comune.

Se si vuole poi che la misura dell'intero fascio sia data da 2 pigreco, come nell'ordinaria metrica, è necessario assumere per fattore di proporzionalità la frazione 1/2i . Per esprimere poi analiticamente l'angolo di due rette u (u1 u2 u3), v (v1 v2, v3), poniamo:


[vedi formula 151_a.png].


Se bij è il complemento algebrico dell'elemento aij del discriminante di omega xx l'equazione tangenziale dell' assoluto è data da:


[vedi formula 151_b.png]


e l'angolo di due rette dalle seguenti formule:

[vedi formula 151_c.png] [p. 152 modifica]


Una espressione identica vale per la distanza di due punti e l'angolo di due piani nella geometria dello spazio: basterebbe supporre che:


[vedi formula 152_a.png]


rappresentassero le equazioni [puntuale e tangenziale] dell'assoluto dello spazio, anzichè dell'assoluto del piano. A seconda che omegaxx = 0 è l'equazione di una quadrica reale a punti ellittici ovvero di una quadrica immaginaria le formule si riferiranno alla geometria di Lobacefski-Bolyai od alla geometria di RIEMANN.


§ 82. Le formule precedenti, relative all'angolo di due rette o due piani, contengono, come caso particolare, quelle dell'ordinaria metrica. Infatti, riferendoci per semplicità al piano e ad un sistema ortogonale di assi coordinati, l'equazione tangenziale dell'assoluto euclideo [punti ciclici, § 79] è


u12 + u22 = o


La formula (2'), ponendo in essa:


[vedi formula 152_b.png]


diventa:


[vedi formula 152_c.png]


da cui:


[vedi formula 152_d.png] [p. 153 modifica]

Se ora si tien conto che i coseni direttori della retta, u(u1, u2, u3) sono:


[vedi formula 153_a.png]


l'ultima relazione diventa:


cos uv = cos ux cos vx + cos uy cos vy,


cioè l'ordinaria espressione che dà l'angolo di due rette nel piano euclideo.

Per la distanza di due punti X, Y le cose non procedono così semplicemente quando l'assoluto degenera nei punti ciclici. Infatti le due intersezioni M, N della retta XY con l'assoluto coincidono allora nell'unico punto all'infinito di questa retta e la formula (1) dà costantemente:


[vedi formula 153_b.png]


Tuttavia un opportuno artifizio permette di ottenere l'ordinaria formula della distanza come caso limite della (3).

Per raggiungere più facilmente lo scopo immaginiamo le equazioni dell'assoluto [non degenere], in coordinate di punti e di rette, ridotte alla forma:


[vedi formula 153_c.png]


Allora, ponendo:

[vedi formula 153_d.png]

la (3) del precedente § dà:

[vedi formula 153_e.png]


Sia epsilon infinitamente piccolo: trascurando infinitesimi di [p. 154 modifica]ordine superiore al 2° potremo, nella formula precedente, sostituire all'arco il seno. Se poi scegliamo k2 infinitamente grande, in modo che il prodotto ik radice di epsilon si mantenga finito ed uguale all'unità per ogni valore di epsilon, la formula in discorso diventa:


[vedi formula 154_a.png]


Passiamo ora al limite per, epsilon = o. L'equazione tangenziale dell'assoluto diventa:


u12 + u22 = o;


corrispondentemente la conica degenera in due punti immaginari coniugati posti sulla retta u3 = o. La formula della distanza, introducendo le coordinate non omogenee:

Xi = xi/x3, Yi = yi/y3,

assume la forma,


Dxy = radice di [(X1 - X2,)2 + (Y1 - Y2)2],


la quale è caratteristica per la geometria euclidea. Con ciò è raggiunto il nostro scopo.

Richiamiamo l'attenzione sul fatto che per ricavare dalla formula generale della distanza quella speciale del caso euclideo, dovemmo far tendere k2 all'infinito. E poichè la curvatura di RIEMANN è data da


- 1/k2,


si ottiene, anche per questa via, una conferma del risultato che assegna allo spazio euclideo una curvatura riemanniana nulla.


§ 83. Le proprietà delle figure piane in relazione ad una conica e quelle dello spazio in relazione ad una quadrica, [p. 155 modifica]costituiscono, nel loro insieme, la metrica proiettiva. La metrica proiettiva fu studiata da CAYLEY102, indipendentemente dalle relazioni ch'essa ha con le geometrie non euclidee, relazioni che furono scoperte ed illustrate qualche anno dopo da F. KLEIN103.

A KLEIN è pure dovuta una nomenclatura molto usata per le metriche-proiettive. Egli chiama geometria iperbolica, la geometria di CAYLEY relativa ad un assoluto reale non degenere, geometria ellittica quella relativa ad un assoluto immaginario non degenere, geometria parabolica il caso limite delle due precedenti. Sicchè, nel seguito, potremo usare questa nomenclatura per denotare i tre sistemi geometrici di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN [tipo ellittico] di Euclide.


RAPPRESENTAZIONE DELLA GEOMETRIA DI Lobacefski-Bolyai SUL PIANO EuclideO.


§ 84. Alla interpretazione proiettiva delle metriche non-euclidee, di cui sopra abbiamo discorso, si collega una interessante rappresentazione che può darsi della geometria iperbolica sul piano euclideo. Per ottenerla fissiamo sul piano una conica reale non degenere, per es. un cerchio, e relativamente a questo cerchio poniamo le seguenti definizioni:


Piano = Regione dei punti interni al cerchio.

Punto = Punto interno al cerchio.

Retta = Corda del cerchio. [p. 156 modifica]


Si può allora verificare immediatamente che i postulati relativi alla determinazione della retta, alle proprietà segmentarie ed angolari si traducono in proporzioni che sono sempre valide anche quando si adottino le predette significazioni degli enti.

Ma nel successivo sviluppo della geometria ai detti postulati si aggiungono i postulati della congruenza, contenuti nel seguente principio del movimento.

Dati nel piano due punti A, A' e per essi rispettivamente le rette a, a', esistono quattro maniere di sovrapporre il piano a se stesso, in modo che A ed a coincidano rispettivamente con A' ed a'. Più precisamente una maniera di sovrapposizione resta definita se si fissano come corrispondenti un raggio di a ed un raggio di a', una banda del piano rispetto ad a ed una banda del piano rispetto ad a'. Di questi quattro movimenti due sono congruenze dirette, due congruenze inverse.

Quando si adottino le precedenti interpretazioni degli enti punto, retta, piano, il principio qui espresso si traduce nella seguente proposizione:

Data nel piano una conica [ad es. un cerchio] e fissati due punti interni A, A' e per essi rispettivamente le corde a, a', esistono quattro trasformazioni proiettive del piano che mutano in se stessa la regione dei punti interni alla conica e che fanno corrispondere A ed a rispettivamente ad A' ed a'. Per fissarne una basta richiedere che un dato estremo di a corrisponda ad un dato estremo di a' e che ad una determinata banda del piano rispetto ad a, una determinata banda del piano rispetto ad a'. Di queste quattro trasformazioni due subordinano sulla conica proiettività concordi, le altre due proiettività discordi.


§ 85. Dimostriamo il contenuto di questa proposizione, riferendoci per semplicità a due coniche distinte tau, tau', giacenti o no sullo stesso piano. [vedi figura 51.png] [p. 157 modifica]

Siano M, N gli estremi della corda a; M', N' quelli della corda a' e P, P' i poli di a ed a' rispetto alle relative coniche tau, tau'.

Ciò posto la retta PA interseca la conica tau in due punti reali e distinti R, S e la retta P'A' la conica tau' nei due punti reali e distinti R', S'.

Una trasformazione proiettiva che muti tau in tau', la retta a nella retta a', il punto A nel punto A', fa corrispondere al punto P punto P', alla retta PA la retta P'A'. Questa trasformazione subordina poi fra le due coniche una corrispondenza proiettiva in cui ai punti della coppia M, N corrispondono quelli della coppia M', N', ed a quelli della coppia R, S quelli della coppia R', S'.

Viceversa una trasformazione proiettiva fra le due coniche che goda di queste proprietà è subordinata da una trasformazione proiettiva fra i due piani, come quella sopra descritta104.

Ma considerando le due coniche tau, tau' vediamo che ai [p. 158 modifica]punti della quaterna MNRS di tau si possono ordinatamente fare corrispondere i punti di una qualunque delle seguenti quaterne di tau':


M' N' R' S' N' M' S' R' M' N' S' R' N' M' R' S',


per cui rimane provata l'esistenza delle quattro proiettività, di cui si parla nell'enunciata proposizione.

Se ora supponiamo che le due coniche coincidano nulla dobbiamo mutare nel precedente ragionamento. Aggiungeremo però che delle quattro proiettività in discorso una ed una sola fa corrispondere il segmento AM al segmento A'M', mentre si corrispondono fra loro le due regioni tratteggiate nella figura.

Inoltre le due proiettività definite dalle quaterne:


(M N R S M' N' R' S'),

(M N R S N' M' S' R')


subordinano sulla conica proiettività concordi, le altre due, definite dalle quaterne:

(M N R S M' N' R' S'),

(M N R S N' M' S' R')


subordinano proiettività discordi. [p. 159 modifica]

§ 86. Ciò posto, riprendiamo, completando, le definizioni del § 84, relativamente ad un cerchio dato sul piano.


Piano = Regione dei punti interni al cerchio. Punto = Punto interno al cerchio. Retta = Corda del cerchio Movimenti = Trasformazioni proiettive del piano che mutano in se stessa la regione dei punti interni al cerchio. Ribaltamenti = Trasformazioni omologiche del cerchio. Figure congruenti = Figure trasformabili l'una nell'altra mediante una delle nominate proiettività.


I precedenti sviluppi permettono senz'altro di affermare che tutte le proposizioni della geometria piana elementare, legate ai concetti di retta, angolo, congruenza, possono convenientemente tradursi in proprietà relative al sistema dei punti interni al cerchio, sistema che indicheremo {S}.

In particolare vediamo che cosa corrisponda nel sistema {S} a due rette ortogonali del piano ordinario.

Osserviamo perciò che se r ed s sono due rette ortogonali, un ribaltamento del piano intorno ad s sovrappone a se stessa la retta r, scambiando però i due raggi in cui essa è divisa da s.


Secondo le definizioni poste un ribaltamento in {S} è una ontologia che ha per asse una corda s del cerchio e per centro il polo della corda. Le rette unite in questa omologia sono, all'infuori di s, tutte le rette passanti per il centro di omologia; talchè nel sistema {S}, dovranno chiamarsi perpendicolari due rette coniugate rispetto al cerchio fondamentale. [p. 160 modifica]

Si potrebbero facilmente verificare in {S} tutte le proposizioni relative alle rette perpendicolari; in particolare che se dal punto comune di due corde coniugate in {S} si tracciano le tangenti [immaginarie coniugate] al cerchio fondamentale, queste tangenti sono separate armonicamente dalle due rette ortogonali [cfr. § 79].


§ 87. Vediamo ancora come nella metrica convenzionale, stabilita nell'interno del cerchio, possa esprimersi la distanza di due punti.

Si introduca perciò un sistema di coordinate ortogonali (x, y) con l'origine nel centro del cerchio. La distanza di due punti A (x, y), B (x', y'), nel piano convenzionale, non può rappresentarsi col solito radicale:


radice di [(x-x')2 + (y-y')2,


giacchè esso non è invariante per le trasformazioni proiettive sopra chiamate movimenti; la distanza sarà una funzione delle loro coordinate, invariantiva rispetto alle predette trasformazioni, che sulla retta gode della proprietà distributiva, espressa dalla formula:


dist. (AB) = dist. (AC) + dist. (CB).


Ora una espressione delle coordinate (x, y), (x', y'),di A e B, che rimanga invariata per tutte le trasformazioni proiettive che lasciano fisso il cerchio limite, è il birapporto dei quattro punti A, B, M, N, dove M N sono gli estremi della corda AB: la espressione più generale che gode della richiesta proprietà invariantiva è una funzione arbitraria di tale birapporto.

Richiedendo poi che la detta funzione riesca distributiva, [p. 161 modifica]nel senso sopra indicato, bisogna assumerla, a meno d'un fattore di proporzionalità, uguale al logaritmo di


(ABMN) = AM/BM : AN/BN ——

Avremo dunque:

dist. (AB) = k/2 log. (ABMN).


Analogamente si procede per valutare l'angolo di due rette. In questo caso bisogna osservare che volendo che l'angolo retto sia espresso da pigreco/2, è necessario assumere per costante moltiplicatrice del logaritmo il fattore 1/2i. Avremo così:


1

ab = 1/2i log. (abmn),

ove con m, n s'indicano le tangenti immaginarie coniugate condotte pel vertice dell'angolo al cerchio e con (abmn) il birapporto delle quattro rette, a, b, m, n, espresso analiticamente da:


sen (am) sen (an) ———————— : ———————— sen (bm) sen (bn)


§ 88. Riferendoci a quanto si disse intorno alla subordinazione della geometria metrica alla proiettiva [§ 81] è chiaro che le formule precedenti, relative alla distanza ed all'angolo, coincidono con quelle che si avrebbero sul piano non euclideo, il cui assoluto fosse un cerchio. Questo basterebbe per farci concludere che la geometria del sistema {S} fornisce una rappresentazione concreta della geometria di Lobacefski-Bolyai. Però, volendo render [p. 162 modifica]ci conto in modo più approfondito di questo fatto, cerchiamo come si traducano in {S} la definizione e le proprietà delle rette parallele.

Siano r(u1, u2, u3) e r'(v1, v2, v3) due corde distinte del cerchio fondamentale. Riferendo il cerchio ad un sistema cartesiano ortogonale, con l'origine nel centro, e prendendo per unità di misura il raggio avremo:



x2+ y2 – 1 = o,

u2 + v2 – 1 = o,

per equazione puntuale e tangenziale del cerchio.

Rendendo omogenee queste equazioni otteniamo:


x12+ x22 – x32 = 0,

u12 + u22 – u32 = 0,


L'angolo rr' delle due rette può calcolarsi per mezzo delle formule (3') del § 81, ponendo in esse: psiuu = u12 + u22 – u32 psivv = v12 + v22 – v32 psiuu = u1v1 + u2v2 – u3v3.


Otterremo, ad es.:


[vedi formula 162.png]


Se ora si osserva che le rette r e r' hanno rispettivamente per equazione:


x1u1 + x2u2 + x3u3 = 0,

x1v1 + x2v2 + x3v3 = 0,


e che queste rette concorrono nel punto di coordinate:


x1 = u2v3 – u3v2, x2 = u3v1 – u1v3, x3 = u1v2 – u2v1, [p. 163 modifica]

la precedente espressione dell'angolo rr' assume la forma:

[vedi formula 163.pmg]


Da questa si vede che la condizione necessaria e sufficiente affinché l'angolo rr' sia nullo è data dall'annullarsi del numeratore della frazione ottenuta.

Ma perchè si annulli questo numeratore il punto (x1, x2, x3), in cui s'intersecano le due corde, deve appartenere alla circonferenza del cerchio fondamentale e viceversa; per cui:

Nella interpretazione convenzionale delle proposizioni geometriche, per mezzo del sistema {S}, dovremo chiamare parallele due corde che s'incontrano in un punto della circonferenza fondamentale, perchè l'angolo di tali corde è nullo.

E poichè per un punto interno ad un cerchio passano due corde che congiungono quel punto con gli estremi di un'altra corda arbitraria, nel sistema {S} sarà verificata la proposizione fondamentale della geometria iperbolica.


§ 89. Per ritrovare in {S} la formula relativa all'angolo di parallelismo calcoliamo anzitutto l'angolo OMN, compreso fra l'asse y e la retta MN che congiunge un punto M [p. 164 modifica]di y con l'estremo N dell'asse x. Indicando con a la distanza ordinaria dei due punti M ed O, le coordinate omogenee della retta MN e della retta OM sono rispettivamente (a, 1, – a), (1, O, 0) e le coordinate del punto d'incontro, di queste rette sono (0, a, 1). Allora la formula (4) del precedente § da:


sen OMN = radice di (1 - a2.

D'altra parte, la distanza convenzionale fra i due punti O ed M, per le (2) del § 81, è data da:


[vedi formula 164_a.png]


da cui [vedi formula 164_b.png]


Confrontando questa formula con quella relativa al seno dell'angolo OMN si deduce:


[vedi formula 164_c.png]


relazione che coincide con quella data da Taurinus, Lobacefski, Bolyai per l'angolo di parallelismo [cfr. §. 41]. [p. 165 modifica]

§ 90. Vediamo finalmente come si esprima in {S} la distanza di due punti infinitamente vicini [distanza elementare], per riavvicinare l'attuale rappresentazione della geometria iperbolica con quella di BELTRAMI [cfr. § 69].

Siano (x, y), (x + dx, y + dy) due punti infinitamente vicini. La loro distanza ds si calcola per mezzo della (2) del § 81, ponendo in essa:


[vedi formula 165_a.png]


Se poi si sostituisce all'arco il seno e si eleva al quadrato, dopo alcune riduzioni si ricava:



(dx2 + dy2)(1 – x2– y2) + (xdx + ydy)2 ds2 = k2 ————————————————————————————————————————

(1 – x2– y2)2(1 – 2xdx + 2ydy – dx2 – dy2)


Trascurando finalmente gli infinitesimi di ordine superiore al secondo:



(dx2 + dy2)(1 – x2– y2) + (xdx + ydy)2 ds2 = k2 —————————————————————————————————————————

(1 – x2– y2)2

ovvero:


(1 – y2) dx2 + 2xy dx dy + (1 – x2) dy2 (5) ds2 = k2 ————————————————————————————————————————

(1 – x2– y2)2


Rammentiamo ora che BELTRAMI, nel 1868, interpretava la geometria di Lobacefski-Bolyai con quella delle superficie di curvatura costante negativa. Lo studio della geometria di tali superficie si effettua muovendo da un sistema (u, v) di coordinate assunto sulla superficie e dalla legge secondo cui si misurano le distanze elementari [ds]. La scelta di un opportuno sistema (u, v) permise a BELTR [p. 166 modifica]AMI [1866] di rappresentare il quadrato del ds nella forma seguente:



  (1 – v2) du2 + 2uv du dv + (1 – u2) dv2

k2 —————————————————————————————————————————

(1 – u2– v2)2


dove la costante k2 è l'inversa, con segno mutato, della curvatura della superficie105.

Per studiare le proprietà delle superficie in discorso e metterle a confronto con quelle della metrica di Lobacefski-Bolyai, il BELTRAMI, nel suo «Saggio» citato a § 69, si giovò del seguente artifizio. Su di un piano ausiliario rappresentò i punti della superficie, in modo che al punto (u, v) di questa corrispondesse su quello il punto di coordinate cartesiane


x = u , y = v.


I punti della superficie vennero così rappresentati sul piano in punti interni al cerchio


x2+ y2 – 1 = 0,


i punti all'infinito della superficie in punti della circonferenza di questo cerchio, le geodetiche in corde, le geodetiche parallele in corde incidenti in un punto della nominata circonferenza, etc. L'espressione del ds2 si tradusse poi nell'espressione (5), secondo cui si misurano le distanze elementari nel sistema {S}. Da ciò risulta che BELTRAMI, con la sua rappresentazione piana delle superficie di curvatura costante, fu condott [p. 167 modifica]o ad una delle metriche proiettive di CAYLEY, e precisamente alla metrica relativa ad un cerchio fondamentale, da noi esposta nei §§ 80, 81.


§ 91. La rappresentazione della geometria piana iperbolica sul piano euclideo è suscettibile di essere estesa al caso dello spazio. Per rappresentare la geometria dello spazio di Lobacefski-Bolyai nello spazio ordinario basterebbe porre in quest'ultimo le definizioni seguenti:


Spazio = Regione dei punti interni ad una sfera. Punto = Punto interno alla sfera. Retta = Corda della sfera. Piano = Punti di un piano secante interni alla sfera. Movimenti = Trasformazioni proiettive dello spazio che mutano in se stessa la regione dei punti interni alla sfera, etc....


Con questa specie di dizionario si potrebbero tradurre le proposizioni della stereometria iperbolica in altrettante proprietà dello spazio euclideo relative al sistema dei punti interni alla sfera106.


RAPPRESENTAZIONE DELLA GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN NELLO SPAZIO EuclideO.


§ 92. Per quanto riguarda la geometria piana già dicemmo altrove [§ 71] che la geometria dell'ordinaria [p. 168 modifica]stella di rette offre una interpretazione concreta del sistema ellittico di RIEMANN. Se poi si sega la stella col piano ordinario, completato dalla retta all'infinito, si ottiene una rappresentazione sul piano euclideo del piano riemanniano in discorso.

Volendo una rappresentazione dello spazio ellittico sullo spazio euclideo basterebbe assumere in questo una polarità uniforme, cui corrisponde una quadrica fondamentale immaginaria non degenere, e porre, rispetto a questa quadrica, un sistema di definizioni analogo a quello precedentemente indicato nel caso iperbolico. Non insistiamo però sulla cosa, perchè non offre alcuna nuova difficoltà.

Notiamo però che in questa rappresentazione tutti i punti dello spazio euclideo, compresi i punti del piano all'infinito, verrebbero a corrispondere biunivocamente a punti dello spazio riemanniano.


FONDAZIONE DELLA GEOMETRIA PARTENDO DAI CONCETTI GRAFICI.


§ 93. I principi esposti nei precedenti §§ conducono ad un nuovo ordine di idee, nel quale si pongono a primo fondamento della geometria le proprietà grafiche, anzichè le proprietà della congruenza e del movimento, di cui si servirono RIEMANN ed HELMHOLTZ. Si noti che, non volendo sin da principio introdurre veruna ipotesi sulla intersezione di rette coplanari, conviene partire da un opportuno sistema di postulati, valido in una regione limitata di spazio, e completare successivamente la regione iniziale per mezzo di punti, rette, piani impropri [cfr. § 80]107. [p. 169 modifica]

Sviluppata la geometria proiettiva si possono introdurre nello spazio le proprietà metriche aggiungendo ai postulati iniziali quelli che caratterizzano i movimenti o la congruenza. Così facendo si trova che una certa polarità dello spazio, legata ai concetti metrici, viene trasformata in se stessa da tutti i movimenti. Si dimostra poi che la quadrica fondamentale di questa polarità non può essere che:

a) una Quadrica reale non rigata,

b) una Quadrica immaginaria [ad equazione reale],

c) una Quadrica degenere come luogo.

Si ritrovano dunque, anche per questa via, I TRE SISTEMI GEOMETRICI, cui giunsero RIEMANN ed HELMHOLTZ partendo dal concetto di distanza elementare108.


SULLA INDIMOSTRABILTÀ DEL POSTULATO D'Euclide.


§ 94. Avanti di porre fine a questa esposizione storica, ci sembra utile dire qualche parola sulla indimostrabilità del postulato d'Euclide.

Il fatto stesso che gli innumerevoli tentativi fatti per la sua dimostrazione non condussero al risultato atteso, può far sorgere il dubbio ch'esso sia indimostrabile, giacchè l'istinto geometrico sembra attestarci che una proposizione così semplice, se è dimostrabile, debba esserlo per via di ragionamenti del pari semplici. Ma tale considerazione non può in verun modo tenersi in conto di una prova della indimostrabilità in questione. [p. 170 modifica]

Prescindendo dal postulato d'Euclide, per seguire gli sviluppi di Gauss, Lobacefski, Bolyai, si costruisce un edifizio geometrico, nel quale non s'incontrano contraddizioni logiche e che perciò appunto sembra attestare la possibilità logica dell'ipotesi non-euclidea, che è quanto dire l'indipendenza del postulato d'Euclide dai primi principi della geometria e quindi la sua indimostrabilità. Tuttavia il fatto che non si siano incontrate contraddizioni non basta ad assicurarci di ciò; occorre accertarci che, proseguendo negli indicati sviluppi mai tali contraddizioni potranno incontrarsi. Tale convinzione si può fare scaturire, in modo sicuro, dalla considerazione delle formule della trigonometria non-euclidea. Se infatti ci riferiamo al sistema di tutte le terne di numeri (x, y, z) e consideriamo convenzionalmente ogni terna come un punto analitico, possiamo definire la distanza di due punti analitici partendo dalle formule della suddetta trigonometria non-euclidea. Costruiamo così un sistema analitico, il quale, offrendo una convenzionale interpretazione della geometria non-euclidea, dimostra la possibilità logica di essa.

In questo senso le formule della trigonometria non-euclidea di Lobacefski-Bolyai danno la prova dell'indipendenza del postulato d'Euclide dai primi principii della geometria [relativi alla retta, al piano e alla congruenza].

Si può cercare una prova geometrica dell'indipendenza stessa riattaccandosi agli sviluppi ulteriori, di cui abbiamo fatto menzione. Per ciò conviene partire dal principio che i concetti costruiti dalla nostra intuizione, indipendentemente dalla rispondenza che essi trovano nel mondo esterno, sono a priori logicamente possibili, e così è logicamente possibile la geometria euclidea ed ogni serie di deduzioni su di essa fondata.

Ora, l'interpretazione che la geometria piana non-euclidea iperbolica riceve nella geometria sopra le superficie a curvatura costante negativa offre, fino ad un certo punto, una [p. 171 modifica]prima prova della indimostrabilità del postulato euclideo. Precisamente resta così stabilito che il postulato suddetto non può dimostrarsi fondandosi sui primi principi della geometria, validi in una regione limitata del piano. Infatti, ogni contraddizione logica che scaturisse dall'ipotesi opposta si tradurrebbe in una contraddizione nella geometria sopra le superficie a curvatura costante negativa.

Tuttavia, poichè il confronto tra il piano iperbolico e le superficie a curvatura negativa sussiste, come abbiam detto, soltanto per regioni limitate, non resta così escluso che il postulato euclideo possa dimostrarsi nel piano completo.

A togliere questo dubbio converrebbe riferirsi alla varietà astratta di curvatura costante, imperocchè non esiste alcuna superficie concreta dello spazio ordinario sulla quale valga la geometria iperbolica integrale [cfr. § 73].

Ma anche dopo di ciò l'indimostrabilità del postulato d'Euclide riuscirebbe provata soltanto nella geometria piana. Resterebbe dunque da discutere la possibilità di dimostrare il postulato stesso con considerazioni stereometriche.

La fondazione della geometria, secondo le vedute di RIEMANN, estendenti ad un campo a 3 dimensioni le idee della geometria sopra le superficie, offre la prova completa dell'indimostrabilità, basata sull' esistenza d'un sistema analitico non-euclideo. Si tratta dunque di un'altra prova analitica. Lo stesso può dirsi per gli sviluppi di HELMHOLTZ, LIE; ma questi ultimi offrono, si può dire, anche una prova geometrica, desunta dall'esistenza di gruppi di trasformazioni dello spazio euclideo, simili ai gruppi di movimenti della geometria non-euclidea. Beninteso bisogna qui aver riguardo alla considerazione della geometria nella sua interezza.


Più semplice e geometricamente luminosa, è la prova dell'indimostrabilità del postulato d'Euclide, desunta dalle metriche proiettive di Cayley. [p. 172 modifica]

Questa prova si riattacca alla rappresentazione della geometria non-euclidea con la metrica convenzionale relativa ad un cerchio o ad una sfera, interpretazione che abbiamo largamente sviluppato nel caso del piano [cfr. §§ 84-92].

Dalle anzidette metriche proiettive scaturisce pure e con altrettanta semplicità, la prova della possibilità logica dell'ipotesi ellittica di RIEMANN, per la quale, limitatamente al caso del piano, servirebbe ancora la interpretazione che ne abbiamo dato come geometria della stella [§ 71]. [p. 173 modifica]

NOTA I.


I principi fondamentali della statica e il postulato d'Euclide.


SUL PRINCIPIO DELLA LEVA.


§ 1. Per dimostrare il principio della leva ARCHIMEDE [287-212] si giova di certe ipotesi, alcune enunciate, altre sottintese. Fra le ipotesi passate sotto silenzio, oltre quella che con linguaggio moderno si chiama ipotesi del rinforzo dei vincoli109, vi è uno degli stessi casi d'equilibrio della leva, che potrebbe enunciarsi così:

Una leva, sospesa per il suo punto di mezzo, è in equilibrio quando ad un estremo si applichi il peso 2P ed all'altro estremo si appenda, per il punto di mezzo, una nuova leva, portante a ciascun estremo un peso uguale a P110.

Senza qui fare la storia delle critiche mosse ad ARCHIMEDE per l'uso di tale ipotesi, e dei vari tentativi fatti per dimostrarla111, riporteremo in proposito le argomentazioni di Lagrange, [p. 174 modifica]perchè da esse può farsi scaturire in modo semplice e chiaro un importantissimo legame fra l'ipotesi in discorso ed il postulato delle parallele.


§ 2. Sia ABD un triangolo isoscele [AD = BD], i cui vertici A e B sopportino due pesi uguali a P ed il vertice D un peso uguale a 2P. Questo triangolo sarà in equilibrio intorno alla retta MN, che congiunge i punti medi dei lati uguali del triangolo, perchè ciascuno di questi lati può riguardarsi come una leva, i cui estremi sopportino pesi uguali.

Ma l'equilibrio della figura si può ottenere anche appoggiando il triangolo su una retta che passi pel vertice D e pel punto di mezzo [C] del lato AB, per la qual cosa, denotando con E il punto d'incontro dei due assi MN, CD, il nostro triangolo sarà in equilibrio se lo si sospende per il punto E.

«Or, continua Lagrange, comme l'axe [MN] passe par le milieu des deux côté du triangle, il passera aussi nécessairement par le mileu de la droite menée du sommet du triangle au milieu [C] de sa base; donc le levier transversal [CD] aura le point d'appui [E] dans le milieu et devra, par conséquent, être chargé ègalement aux deux bouts [C, D]: donc la charge que supporte le point d'appui du levier, qui fait la base du triangle, et qui est chargé, à ses deux extrémités de poids égaux, sera égale au poids double du sommet [p. 175 modifica]et, par conséquent, égale à la somme des deux poids.»112.


§ 3. Il ragionamento di Lagrange, oltre contenere implicitamente talune ipotesi d'indole statica, relative alle simmetrie, al rinforzo dei vincoli, etc.113, utilizza una proprietà geometrica del triangolo euclideo. Ma se si vuole prescindere da questa, il che, sotto un certo aspetto, appare naturale, le precedenti conclusioni vanno modificate.

Infatti, fermo restando il principio che il triangolo ABD sia in equilibrio intorno al punto [E] in cui s'incontrano i due assi MN, CD, non si può asserire che E sia punto di mezzo di CD, perchè ciò equivarrebbe ad ammettere il postulato d'Euclide.

Conseguentemente non si potrà asserire che i due pesi applicati in A e B possano sostituirsi con l'unico peso 2P, applicato in C, poichè, se tale sostituzione potesse aver luogo, dovrebbe sussistere l'equilibrio d'una leva con pesi uguali agli estremi, intorno ad un punto che può non essere il suo punto di mezzo.

Viceversa, se si concede, con ARCHIMEDE, che a due pesi uguali possa sostituirsi un unico peso applicato al punto medio della leva, si deduce facilmente che E è il punto di mezzo di CD e successivamente che ABD è un triangolo euclideo.

Con ciò resta stabilita l'equivalenza fra il V postulato d'Euclide e la suddetta ipotesi d'Archimede. Una tale equivalenza, beninteso, è relativa al sistema di ipotesi formato dalle ipotesi statiche sopra accennate e dalle ipotesi geometriche ordinarie. [p. 176 modifica]

Adottando il linguaggio moderno potremo parlare di forze, di composizione di forze, di risultante, invece che di pesi, di leve, etc.

Allora l'ipotesi in discorso assume la forma seguente:

Due forze d'uguale intensità, giacenti in uno stesso piano, applicate perpendicolarmente agli estremi di un segmento e dalla stessa banda di esso, si compongono in un unica forza, d'intensità uguale alla somma delle intensità delle forze date ed applicata al punto medio del segmento.

In forza di quanto sopra si disse, l'applicabilità di questa legge di composizione richiede che nello spazio si verifichi l'ordinaria teoria delle parallele.


SULLA COMPOSIZIONE DELLE FORZE CONCORRENTI.


§ 4. Anche l'altro principio fondamentale della statica, cioè la legge del parallelogramma delle forze, nell'usuale interpretazione geometrica che ad esso si accompagna, è in stretta connessione con la natura euclidea dello spazio. Tuttavia se si esamina la parte essenziale di detto principio, vale a dire l’espressione analitica della risultante [R] di due forze [P] uguali e concorrenti, è facile stabilire ch'esso sussiste indipendentemente da qualunque ipotesi sulle parallele. Ciò può mettersi in evidenza deducendo la formula


R = 2P. cos alfa,


ove 2alfa è l'angolo formato dalle due forze concorrenti, dai seguenti principi.

1. Due o più forze applicate ad uno stesso punto ammettono una determinata risultante.

2. La risultante di due forze uguali e contrarie è nulla.

3. La risultante di due o più forze applicate ad uno stesso punto ed aventi la stessa linea d'azione ha per intensità [p. 177 modifica]la somma delle intensità delle forze date, ha lo stesso punto di applicazione e linea d'azione.

4. La risultante di due forze uguali applicate ad uno stesso punto è diretta secondo la bisettrice dell'angolo formato dalle due forze.

5. L'intensità della risultante è funzione continua della intensità delle componenti.

Vediamo rapidamente come possa ottenersi lo scopo. Il valore [R] della risultante di due forze d'uguale intensità [P], formanti fra loro l'angolo 2alfa, è funzione solo di P e di alfa, talchè potremo scrivere:


R = 2 ƒ(P, alfa).


Una prima applicazione degli enumerati principi conduce a stabilire la proporzionalità fra R e P, e ciò indipendentemente da qualsiasi ipotesi sulle parallele [cfr. la nota 168]: allora la precedente relazione può scriversi più semplicemente così:


R = 2 P. ƒ(alfa).


Si tratta di assegnare la forma di ƒ(alfa).


§ 5. Calcoliamo ƒ(alfa) per alcuni particolari valori dell'argomento.


1°) Sia alfa = 45°. Nel punto O, in cui concorrono le due forze P1,P2, d'uguale intensità P, immaginiamo applicate due forze uguali e contrarie, perpendicolari ad R e d'intensità ½ R. Nello stesso tempo immaginiamo decomposta R in due altre, dirette secondo R e d'intensità ½ R: potremo allora riguardare ciascuna P come [p. 178 modifica]la risultante di due forze ad angolo retto, d'intensità ½ R. Avremo allora:


P = 2 ½ R. ƒ (45°).


D'altra parte, essendo R la risultante di P1 e P2, sarà


R = 2P. ƒ(45°).


Da queste due relazioni si ricava:


ƒ (45°) = ½ radice di 2.


2°) Sia alfa = 60°

Allora in O e in direzione opposta ad R, applichiamo una forza R', d'intensità R.

Il sistema formato dalle due forze P e dalla R' è un sistema in equilibrio. Allora, per la simmetria della figura, risulta R' = P, quindi R = P. D'altra parte, essendo


R = 2P. ƒ(60°), avremo:


ƒ(60°) = ½.


3°) Sia alfa = 36°. [vedi figura 59.png]

Se in O si applicano 5 forze P1, P2, P3, P4, P5, d'intensità P e tali che ciascuna di esse formi con la successiva un angolo di 72°, si ottiene un sistema in equilibrio. Per la risultante R di P2, P3 avremo allora;


R = 2P [p. 179 modifica]. ƒ(36°);


per la risultante R' di P1, P4, avremo invece:

R' = 2 P. ƒ (72°). D'altra parte R' ha la stessa direzione di P5, cioè direzione uguale e contraria a quella di R, per cui:


2 P. ƒ (36°) = 2 P. ƒ (72°) + P,


quindi:


(1) ƒ (36°) = 2 ƒ (72°) + 1.



Se invece componiamo P1 con P2, e P3 con P4 otteniamo due forze d'intensità 2 P. ƒ (36°), formanti fra loro un angolo di 144°: componendo le due forze ottenute ricaveremo una nuova forza R", d'intensità:


4 P. ƒ (36°). ƒ (72°).


Ma R" per la simmetria della figura, ha la stessa direzione di P5 e senso contrario; perciò, dovendo sussistere l'equilibrio, potremo scrivere:


P = 4 P. ƒ (36°). ƒ (72°),


ovvero:

(2) 1 = 4ƒ (36°). ƒ (72°).


Dalle relazioni (1) e (2), risolvendo rispetto ad ƒ (36°) ed ƒ (72°), si ricava:


[vedi formula 179.png]


§ 6. Con procedimenti analoghi a quelli del precedente si potrebbero dedurre altri valori per ƒ (alfa). Arre [p. 180 modifica]standoci però a quelli calcolati e mettendoli a confronto coi corrispondenti valori della funzione cos alfa otteniamo il seguente specchietto:


[vedi formula 180.png]cos 0° =


Lo specchietto ci fa prevedere l'identità delle due funzioni, ƒ(alfa) e cos alfa. Per avere un'ulteriore conferma di questo fatto determiniamo l'equazione funzionale a cui soddisfa ƒ (alfa).


Perciò immaginiamo applicate in un punto O quattro forze P1, P2, P3, P4, d'intensità P e formanti fra loro i seguenti angoli:

P1P2 = P3P4 = 2beta,

P2P3 = 2 (alfa – beta),

P1P4 = 2 (alfa + beta).


Determineremo la risultante R di queste 4 forze procedendo in due modi diversi. [p. 181 modifica]

Se componiamo P1 con P2 e P3 con P4, otteniamo due forze R1, R2, d'intensità:


2 P. ƒ (beta)


formanti fra loro l'angolo 2alfa. Componendo R1 ed R2 in un'unica forza R, otterremo:

R = 4 P. ƒ (alfa). ƒ (beta),


D'altra parte, componendo P1 con P4 e P2 con P3 si ottengono due risultanti parziali, aventi entrambe la direzione di R e rispettivamente le intensità:


2 P. ƒ (alfa + beta) , 2 P. ƒ (alfa – beta)


Queste due forze si compongono per somma e danno:


R = 2 P. (ƒ (alfa + beta) + ƒ (alfa – beta).


Dal paragone dei due valori di R si deduce:


(1) 2 ƒ (alfa). ƒ (beta) = ƒ (alfa + beta) + ƒ (alfa – beta)


cioè l'equazione funzionale richiesta.

Se ora ricordiamo che:


cos (alfa + beta) + cos (alfa – beta) = 2 cos alfa . cos beta,


e teniamo presente l'identità fra i valori di ƒ (alfa) e cos alfa, dati dalla precedente tabella, e l'ipotesi della continuità di ƒ (alfa), senza ulteriori sviluppi potremo scrivere:

ƒ (alfa) = cos alfa,


e conseguentemente:

R = 2 P. cos alfa. [p. 182 modifica]


La validità di questa formula dello spazio euclideo, viene così estesa anche agli spazi non-euclidei.


§ 7. La legge di composizione di due forze uguali e concorrenti permette di risolvere il problema generale della risultante, perchè si possono assegnare, senza ulteriori ipotesi, le componenti d'una forza R su due assi ortogonali uscenti dal suo punto di applicazione O.


Infatti siano x, y questi assi ed alfa, beta gli angoli che formano con R. Se per O si traccia la perpendicolare ad OR, essa forma con x l'angolo alfa, e con y l'angolo beta. Su questa retta ed uscenti da O, si immaginino due forze P1, P2 uguali e contrarie, d'intensità ½ R e si decomponga R in due forze P = ½ R, dirette entrambe secondo R. Il sistema P1, P2 P, P ha per risultante R.

Ora, componiamo P1 e P, poi P2 e P: otteniamo due forze X, Y, l'una diretta secondo x, l'altra secondo y, d'intensità:


X = R.cos alfa,

Y = R.cos beta.


Queste due forze sono le componenti di R nei due assi assegnati. Per quanto si riferisce alla loro intensità esse coincidono con quelle che si incontrano nell'ordinaria teoria fondata sul principio del parallelogramma delle forze; ma i segmenti OX ed OY che le rappresentano su gli assi non sono necessariamente, come nel caso euclideo, le proiezioni di R. Infatti, è facile vedere che ove i detti segmenti [p. 183 modifica]fossero le proiezioni ortogonali di R su x ed y, varrebbe nel piano l'ipotesi euclidea.


§ 8. Il metodo funzionale usato al § 6, nella composizione delle forze concorrenti, risale in sostanza a D. DE Foncenex [1734-1799]. Con un procedimento analogo a quello che ci condusse all'equazione cui soddisfa la ƒ (alfa) [= y], Foncenex pervenne all'equazione differenziale114:


[vedi formula 183_a.png]

dalla quale, integrando e tenendo conto delle condizioni iniziali del problema, ricavò la nota espressione di ƒ (alfa).

L'applicazione dei principi del calcolo infinitesimale richiede però la continuità e derivabilità di ƒ (alfa), condizioni, osserva Foncenex, insite nella stessa natura [fisica] del problema: ma volendo prevenire « jusqu'aux difficultés les moins fondées» egli ricorre al calcolo delle differenze finite e ad un equazioni alle differenze, che gli permette di ottenere ƒ (alfa) per tutti i valori di alfa commensurabili con pi greco. Il caso degli alfa incommensurabili con pi greco si tratta «par une méthode familière au Géomètres et frequent surtont dans [p. 184 modifica]les ecrits des Anciens», vale a dire col metodo d'esaustione115.

Tutto il procedimento di Foncenex, e così quello svolto al § 6, è indipendente dal postulato d'Euclide: tuttavia va notato che Foncenex non aveva lo scopo di liberare la legge di composizione delle forze concorrenti dalla teoria delle parallele, ma piuttosto, quello di dimostrare la legge in discorso, ritenendo forse, come altri geometri [D. Bernoulli , D'ALEMBERT], ch'essa fosse una verità indipendente da qualsiasi esperienza.


La statica non euclidea.


§ 9. Dimostrato così che la legge analitica per la composizione delle forze concorrenti non dipende dal V postulato di Euclide, passiamo a dedurre la legge secondo cui si compongono le forze perpendicolari ad una retta.




Siano A ed A' i punti di applicazione delle due forze P1, P2, d'intensità P; sia C il punto di mezzo del segmento AA' e B [p. 185 modifica]un punto della perpendicolare CB ad AA'. Congiunto A con B e posto:


beta = ABC, alfa = BAC


è chiaro che la forza P1 potrà riguardarsi come la componente d'una forza T1, applicata in A e diretta secondo BA. L'intensità T di questa forza è data da:


P T = —————————.

sen alfa


L'altra componente Q1 di T1, diretta normalmente a P1, ha per intensità:


Q = T . cos alfa = P . ctg alfa.


Ripetendo le stesse considerazioni sulla forza P2 otterremo sul piano i seguenti sistemi di forze:


1°) sistema P1, P2;


2°) sistema P1, P2, Q1, Q2;

3°) sistema T1, T2.


Ammettendo di potere trasportare il punto di applicazione di una forza lungo la sua linea di azione è chiaro che i due primi sistemi risultano equivalenti, e poichè il 2° è equivalente al 3° potremo sostituire le due forze P1, P2 con le due altre T1, T2. Le quali ultime, potendo trasportarsi, lungo la loro linea d'azione, in B, si comporranno nell'unica forza:




cos beta R = 2T . cos beta = 2P . ——————————,

sen alfa


trasportabile alla sua volta in :C, mantenendone fissa la direzione perpendicolare ad AA'. [p. 186 modifica]

Il risultato sopra ottenuto, la cui indipendenza dal postulato di Euclide è manifesta, può applicarsi ai tre tipi di geometria.


GEOMETRIA DI Euclide. Nel triangolo ABC, si ha:


cos beta = sen alfa.


Segue:


R = 2 P.


GEOMETRIA DI Lobacefski-Bolyai. Nel triangolo ABC, denotando con 2b il segmento AA', si ha [§ 57]:


cos beta ————————— = Ch b/k sen alfa


Segue:

R = 2 P . Ch b/k


GEOMETRIA DI RIEMANN. Sempre nello stesso triangolo si ha:


cos beta ————————— = cos b/k sen alfa


per cui:


R = 2 P . cos b/k


CONCLUSIONE. Nel solo spazio euclideo l'intensità della risultante di due forze uguali e perpendicolari ad una retta è uguale alla somma delle intensità delle due forze date. Negli spazi non-euclidei la risultante dipende, nel modo sopra indicato, dalla distanza dei punti d'applicazione delle due componenti116. [p. 187 modifica]

§ 10. Il caso di due forze disuguali P, Q, perpendicolari ad una stessa retta, si tratta in modo analogo al precedente. Nella geometria euclidea si perverrebbe alle note relazioni:

R = P + Q,


 R

— — — — — — = P/q = Q/p; p + q


nella geometria di Lobacefski-Bolyai, il problema della risultante condurrebbe alle formule seguenti:

R = P . Ch p/k + Q . Ch q/k, [vedi formula 187_a.png]


dalle quali, con la solita sostituzione delle funzioni circolari alle iperboliche, si passa immediatamente alle corrispondenti della geometria riemanniana:


R = P . cos p/k + Q. cos q/k, [vedi formula 187_b.png]


In queste formule p, q indicano le distanze dei punti di applicazione di P e Q da quello di R.

Questi risultati possono raccogliersi sotto un’unica forma, valida per la geometria assoluta.


R = P . Ep + Q.Eq,


[vedi formula 187_c.png]R



Per dedurli direttamente bastava far uso, nei ragionamenti sopra accennati, della trigonometria assoluta, in luogo di quella euclidea e non-euclidea. [p. 188 modifica] DEDUZIONE STATICA DELLA TRIGONOMETRIA PIANA.

§ 11. Vediamo finalmente come sia possibile invertire la questione: data cioè la legge di composizione delle forze dedurre le relazioni fondamentali della trigonometria.

Perciò osserviamo che la intensità R della risultante di due forze [P] uguali e perpendicolari ad un asse AA' = 2 b, sarà in generale funzione di P e b: denotando con fi (P, b) questa funzione, avremo:


R = fi(P, b),


o, più semplicemente(169):


R= P. fi (b).


D'altra parte nel § 9 fummo condotti alla seguente espressione di R:



cos beta R = 2 P — — — — — — — — — . [p. 189 modifica]

sen alfa


Eliminando fra questa e la precedente R e P, si ricava:


cos beta fi (b) = 2 —————————

sen alfa


Nota dunque l'espressione analitica di fi (b), la formula ottenuta porgerà una relazione fra lati ed angoli di un triangolo rettangolo.

Per determinare fi (b) è necessario stabilire la relativa equazione funzionale. Perciò si applichino perpendicolarmente alla retta AA' quattro forze uguali P1, P2, P3, P4, in modo che i punti di applicazione di P1, P4, distino fra loro di 2 (a + b) e quelli di P2 e P3 di 2(b – a).

Potremo determinare la risultante R di queste quattro forze in due modi diversi.

1°) Componendo P1 con P2 e P3 con P4, si ottengono due forze R1, R2, d'intensità:


P. fi(a);


componendo R1 con R2 otterremo:


R= P. fi (a) . fi (b).


2°) Componendo P1 con P4 si ottiene una forza d'intensità: [p. 190 modifica]

P. fi (b + a);


componendo P2 con P3 si ottiene un'altra forza d'intensità:


P. fi (b – a).


Componendo finalmente queste due risultanti parziali si ottiene:


R= P. fi (b + a) + P. fi (b – a).


Dalle due espressioni di R si ricava l'equazione funzionale a cui soddisfa fi (b):


(2) fi (b) . fi (a) = fi (b + a) + fi (b – a).


Questa equazione, ponendo fi (b) = 2ƒ(b), s'identifica con quella incontrata al § 6 trattando la composizione delle forze concorrenti.

Il metodo seguito per ottenere la (2) è dovuto a D'ALEMBERT117: se però si suppongono a e b uguali fra loro e si osserva che fi (o) = 2, si ricade in un'altra equazione:


(3) [fi (x)]2 = fi (2x) + 2,


incontrata anteriormente da Foncenex, trattando il problema dell'equilibrio della leva118.


§ 12. Il problema statico della composizione delle forze è ridotto all'integrazione di un'equazione funzionale.

Foncenex, che fu il primo a trattarlo così119, ritenne essere fi (x) = [p. 191 modifica]costante l'unica soluzione della (3), avendo la costante, come facilmente si verifica, il valore numerico 2. Successivamente Laplace e D'ALEMBERT integrarono la (3), ottenendo:


[vedi formula 191]

dove c è una costante oppure una funzione qualsiasi, che assume lo stesso valore mutando x in 2 x120.

La soluzione di Laplace e D'ALEMBERT, applicata al problema statico del precedente §, conduce poi ad escludere il caso in cui c sia funzione di x; inoltre, essendo inamissibili per c i valori del tipo a + ib, con a e b diversi da zero, avremo tre casi possibili, a seconda che c è reale, immaginario puro, infinito121. Corrispondentemente a questi tre casi abbiamo tre leggi possibili per la composizione delle forze e conseguentemente tre tipi distinti di relazioni fra i lati e gli angoli di un triangolo. Questi risultati possono raccogliersi nella seguente tabella, ove [p. 192 modifica]con k s’indica un numero essenzialmente reale e positivo.

[vedi tabella 192.png]



CONCLUSIONE. La legge di composizione delle forze perpendicolari ad una retta caratterizza dunque, in un certo senso, le relazioni che intercedono fra i lati e gli angoli d'un triangolo e perciò le proprietà geometriche del piano e dello spazio.

Questo fatto fu segnalato e messo in evidenza da A. GENOCCHI [1817-1889] in alcuni scritti importantissimi122, ai quali rimandiamo il lettore per tutte le notizie storiche e bibliografiche che interessano l'argomento. [p. 193 modifica]

NOTA II.


Le parallele e la superficie di Clifford. Cenni sul problema di Clifford-Klein.


LE PARALLELE DI CLIFFORD.


§ 1. Le parallele d'Euclide sono rette che posseggono i seguenti requisiti:

a) appartenere ad un piano,

b) non avere punti in comune,

c) essere equidistanti.

Lasciando cadere il requisito c) e seguendo le vedute di Gauss, Lobacefski, Bolyai si ottiene una prima estensione del concetto di parallelismo, ma le parallele che ad essa rispondono hanno pochissime proprietà in comune con le parallele ordinarie. Ciò si deve al fatto che le più eleganti proprietà che s'incontrano studiando queste ultime dipendono sostanzialmente dal requisito c). Si può quindi cercare di estendere il concetto di parallelismo, in modo da conservare, ove sia possibile, alle nuove parallele i caratteri che dipendono dalla equidistanza euclidea. Perciò, seguendo W. K. CLIFFORD [1845-1879], lasciamo cadere, nella definizione di parallele, il requisito della coplanarità, fermi restando gli altri due. La nuova definizione di parallele sarà dunque la seguente: due rette, coplanari o sghembe, si dicono parallele quando i punti dell'una sono equidistanti dall'altra.


§ 2. Si presentano allora due casi, a seconda che sifatte parallele appartengano o no allo stesso piano. [vedi figura 64.png] [p. 194 modifica]

Il caso in cui le rette equidistanti siano coplanari è senz'altro esaurito, inquantochè i precedenti sviluppi [§ 8] ci permettono di asserire che lo spazio corrispondente è l'ordinario euclideo. Supporremo perciò che le due rette equidistanti r, s siano sghembe e che i segmenti di perpendicolare calati dai punti di r su s siano uguali: questi segmenti saranno evidentemente perpendicolari anche ad r. Siano AA', BB' due sifatti segmenti. Il quadrilatero sghembo ABB'A', che così ne risulta, ha i quattro angoli retti e due lati opposti uguali. È facile vedere che anche gli altri due lati opposti AB, A'B' sono uguali e che ciascuna diagonale, ad es AB', forma con le due parallele angoli alterni interni uguali. Ciò risulta dalla congruenza dei due triangoli rettangoli AA'B', AB'B.

Se ora si esamina il triedro A (A'B'B), in forza d'un teorema sulle faccie, valido ad un tempo nei tre sistemi geometrici, potremo scrivere:


A'AB' + B'B > A'AB = 1 retto.


Questa relazione, stante l'uguaglianza dei due angoli AB'A', B'AB, può scriversi così:


A'AB' + AB'A' > 1 retto.


Sotto la nuova forma essa ci dice che nel triangolo rettangolo AA'B' la somma degli angoli acuti è maggiore di un angolo retto. Ciò significa che nel triangolo in discorso è verificata l'ip. ang. ottuso e conseguentemente che le parallele sghembe possono sussistere solo nello spazio di RIEMANN.


§ 3. Per dimostrare poi che nello spazio ellittico di RIEMANN esistono effettivamente delle coppie di rette sghembe [p. 195 modifica]equidistanti, consideriamo una retta arbitraria r e gli infiniti piani ad essa perpendicolari: questi piani passano tutti per un'altra retta r', la polare di r nella polarità assoluta dello spazio ellittico. Un qualsiasi segmento che congiunga un punto di r con un punto di r' è perpendicolare tanto ad r quanto ad r' ed ha una lunghezza costantemente uguale alla semiretta. Da ciò risulta che r ed r' sono rette sghembe equidistanti.

Ma due sifatte equidistanti offrono un caso particolarissimo, inquantochè tutti i punti di r hanno la stessa distanza non solo da r, ma da tutti i punti di r'.

Per mettere in luce l'esistenza di rette equidistanti, in cui l'ultima particolarità non abbia luogo, consideriamo ancora due rette r ed r', l'una polare dell'altra e su di esse i rispettivi segmenti AB, A'B' uguali ad un segmento dato, minore della semiretta123. Congiungendo A con A' e B con B' si ottengono due rette a, b, non polari l'una dell'altra e perpendicolari entrambe alle due rette r, r'. Si può facilmente dimostrare che a e b sono equidistanti. Perciò si fissi su AA' un segmento A'H, poi sul segmento supplementare124 di A'HA si fissi il segmento AM uguale ad A'H. [p. 196 modifica]Congiunti i punti H ed M rispettivamente con B' e B si ottengono due triangoli rettangoli A'B'H, ABM, che, in forza delle costruzioni fatte, risultano congruenti. Si avrà perciò la seguente uguaglianza:


HB' = BM


Se ora si congiunge H con B e si paragonano i due triangoli HB'B, HBM, si vede immediatamente ch'essi sono uguali, avendo il lato HB in comune, i lati HB', MB uguali in forza della precedente relazione, i lati B'B e HM pure uguali perchè ciascuno di essi è una semiretta. I due triangoli in discorso avranno perciò uguali anche le altezze HK, BA corrispondenti ai lati uguali BB' e HM'. Ciò esprime, in altre parole, che i vari punti della retta a sono equidistanti dalla retta b. E poichè il ragionamento può ripetersi partendo dalla retta b, calando le perpendicolari sulla a, si conclude che il segmento HK, oltre essere perpendicolare a b è anche perpendicolare ad a.

Si osservi poi che dall'uguaglianza dei vari segmenti AB, HK, A'B'... si deduce l'uguaglianza dei rispettivi segmenti supplementari, per cui le due rette a, b possono riguardarsi equidistanti l'una dall'altra in due modi diversi. Quando poi avvenisse che il segmento AB fosse uguale al suo supplementare, allora si presenterebbe il caso eccezionale precedente notato, in cui a e b sono polari l'una dell'altra e conseguentemente tutti i punti di a avrebbero uguale distanza dai vari punti di b.


§ 4. Le parallele sghembe dello spazio ellittico furono scoperte da CLIFFORD nel 1873125. Ecco, le loro proprietà più notevoli. [p. 197 modifica]

1). Due parallele formano con ogni loro trasversale angoli corrispondenti uguali, angoli alterni interni uguali, etc.

2). Se in un quadrilatero sghembo i lati opposti sono uguali e gli angoli adiacenti supplementari, i lati opposti sono paralleli.

Un sifatto quadrilatero potrà quindi chiamarsi parallelogramma sghembo.

Delle due enunciate proprietà la prima si verifica immediatamente, la 2) potrebbe dimostrasi con un ragionamento dello stesso tipo di quello del § 3.

3). Se due segmenti sono uguali e paralleli, congiungendo opportunamente i loro estremi si ottiene un parallelogramma sghembo.

Questa proprietà, che può considerarsi, in un certo senso, come inversa della 2), è pure essa di immediata verificazione.

4). Per un punto qualunque [M] dello spazio, che non appartenga alla polare di una retta [r], passano due parallele a quella retta.

Infatti, dal punto M si cali la perpendicolare MN su r e sia N' il punto in cui la polare di MN interseca la r. Su questa polare si fissino poi i due segmenti N'M', N'M" uguali ad NM e si congiungano i punti M', M con M. Le due rette r', r", così ottenute, sono le parallele richieste.

Se poi M appartenesse alla polare di r, sarebbe MN uguale alla semiretta ed i due punti M", M' coinciderebbero. Conseguentemente [p. 198 modifica]verrebbero a coincidere anche le due parallele r', r".

L'angolo compreso fra le due parallele r' r" può misurarsi col segmento M'M" che i suoi lati intercettano sulla polare del vertice: allora potremo dire che la metà dell'angolo r' r", cioè l'angolo di parallelismo, è uguale alla distanza di parallelismo.

Per distinguere le due parallele r', r" consideriamo un movimento elicoidale dello spazio, di asse MN, nel quale evidentemente resta fisso il fascio dei piani perpendicolari ad MN e l'asse M'M" di questo fascio. Un tale movimento si può considerare come risultante da una traslazione lungo MN, accompagnata da una rotazione intorno alla stessa retta; oppure da due traslazioni, l'una lungo MN, l'altra lungo M'M". Se le due traslazioni hanno uguale ampiezza si ottiene uno scorrimento dello spazio.

Gli scorrimenti possono essere destrorsi o sinistrorsi. Allora, riferendoci alle due parallele r', r", è chiaro che una di esse potrà sovrapporsi ad r con uno scorrimento destrorso di ampiezza MN, mentre l'altra si sovrapporrebbe ad r con uno scorrimento sinistrorso della stessa ampiezza. Perciò le due rette r', r" si dovranno dire l'una parallela destrorsa, l'altra parallela sinistrorsa ad r.

5) Due parallele destrorse [sinistrorse] ad una stessa retta sono parallele destrorse [sinistrorse] fra loro.

Siano b, c parallele destrorse ad a. Dai due punti A, A' di a, distanti fra loro della semiretta, caliamo le perpendicolari AB, A'B' su b e le perpendicolari AC, A'C' su c. Le [p. 199 modifica]rette A'B', A'C' sono le polari di AB ed AC, perciò l'angolo BAC è uguale all'angolo B'A'C'. Inoltre, per le proprietà delle parallele, sussistono le seguenti uguaglianze segmentarie:


AB = A'B', AC = A'C',


per cui i due triangoli ABC, A'B'C' sono uguali. Segue l'uguaglianza dei due segmenti BC, B'C'. Inoltre essendo:


BB' = AA' = CC',


il quadrilatero sghembo BB'C'C ha i lati opposti uguali.

Ma per stabilire che b, c sono parallele occorre anche dimostrare che gli angoli adiacenti del quadrilatero in discorso sono supplementari [cfr. 2)]. Per ciò paragoniamo i due triedri B (AB'C), B' (A'B"C'). In essi sussistono intanto le seguenti uguaglianze tra faccie:


ABB' = A'B'B = 1 retto. ABC = A'B'C'.


Inoltre i due diedri di spigolo BA e B'A' sono entrambi uguali ad un diedro retto, diminuito [od aumentato] del diedro che ha per sezione normale l'angolo A'BB': segue l'uguaglianza dei due triedri in discorso, quindi l'uguaglianza delle due faccie B'BC, BB'C'. Da ciò si deduce che gli angoli B e B' del quadrilatero BB'C'C sono supplementari e successivamente [tracciando le diagonali del quadrilatero, etc.] che B è supplementare di C, che C è supplementare di C', etc.

Potremo dunque asserire che b e c sono parallele. Che il parallelismo fra b e c sia destrorso, se tale è il parallelismo fra le due rette in discorso e la retta a, si verifica intuitivamente esaminando la figura. [p. 200 modifica]


LA QUADRICA DI CLIFFORD.


§ 5. Dalle precedenti considerazioni risulta che tutte le rette che si appoggiano a tre parallele destrorse sono fra loro parallele sinistrorse. Infatti, se ABC è una secante comune alle tre rette a, b, c e se si prendono su queste rette, in uno stesso verso126, tre segmenti uguali AA', BB', CC', i punti A', B', C' appartengono ad una retta parallela ad ABC. Il parallelismo fra ABC ed A'B'C' è poi sinistrorso.

Da ciò si deduce che tre parallele a, b, c definiscono una superficie rigata del 2° ordine [quadrica di Clifford], di cui le rette incidenti ad a, b, c costituiscono un primo sistema di generatrici [gs]: il 2° sistema di generatrici [gd] è costituito dalle infinite rette che, come a, b, c, si appoggiano alle gs.

Alla quadrica di CLIFFORD competono le seguenti proprietà caratteristiche:

a) due generatrici d'uno stesso sistema sono fra loro parallele;

b) due generatrici di sistema diverso s'incontrano sotto un angolo costante.


§ 6. Passiamo a dimostrare che la superficie di CLIFFORD ammette due assi distinti di rotazione. Perciò da un punto qualunque M tracciamo le parallele d [destrorsa], s [sinistrorsa] ad una retta r, e indichiamo con delta la distanza MN di ciascuna parallela da r. Tenuta fissa la d facciamo ruotare s intorno ad r e siano s', s, s,... le successive posizioni che acquista s in questa rotazione. È chiaro che s, s', s,... sono tutte parallele sinistrorse ad r e che si appoggiano tutte [p. 201 modifica]alla retta d: sicchè s, nella sua rotazione intorno ad r, genera una superficie di CLIFFORD.

Viceversa se d ed s sono due generatrici d'una superficie di CLIFFORD, passanti per un punto M della superficie, e 2 delta l'angolo fra esse compreso, possiamo elevare in M la perpendicolare al piano sd e su essa fissare i due, segmenti MN = ML = delta. Denotando poi con D ed S i punti cui la polare di LN incontra rispettivamente le rette d, s e con H il punto di mezzo di DS = 2 delta, le rette HL, HN sono parallele tanto ad s quanto a d. Delle due rette HL, HN scegliamo quella che risulta parallela destrorsa a d e sinistrorsa ad s: sia, ad es., HN. Allora la data superficie di CLIFFORD si può generare con la rotazione di s o d intorno ad HN. Con ciò è provato che ogni superficie di CLIFFORD ammette un asse di rotazione e che tutti i punti della superficie sono equidistanti da esso.

L'esistenza di un altro asse di rotazione risulta immediatamente dall'osservare che tutti i punti dello spazio equidistanti da HN sono pure equidistanti dalla retta polare di HN, la quale sarà perciò il 2° asse di rotazione della superficie di CLIFFORD.


§ 7. L'equidistanza dei punti della superficie di CLIFFORD da ciascun asse di rotazione conduce ad un'altra notevolissima proprietà della superficie. Infatti, ogni piano passante per un asse [r] la interseca in una linea equidistante [p. 202 modifica]dall'asse: i punti di tal linea, avendo anche uguali distanze dal punto [O] in cui il piano secante incontra l'altro asse della superficie, appartengono ad un cerchio, il cui centro [O] è il polo di r rispetto alla linea in discorso. I meridiani ed i paralleli della superficie sono dunque cerchi.

La superficie allora potrà generarsi facendo ruotare un cerchio intorno alla polare del suo centro ovvero facendo scorrere un cerchio in modo che il suo centro descriva una retta ed il suo piano si mantenga costantemente ad essa perpendicolare [BIANCHI127].

L'ultimo modo di generazione, appartenendo anche al cilindro euclideo, mette in evidenza l'analogia fra la superficie di CLIFFORD e l'ordinario cilindro circolare. Questa analogia potrebbe svilupparsi ulteriormente considerando le proprietà delle traiettorie [eliche] dei punti della superficie, generate con un movimento elicoidale dello spazio intorno ad uno qualunque degli assi della quadrica.


§ 8. Vediamo finalmente come la geometria sulla superficie di CLIFFORD, intesa nel senso da noi dichiarato nei §§ 67, 68, coincida con quella d'Euclide. Perciò determiniamo la legge secondo cui si misurano, sulla superficie, le distanze elementari [ds]. [vedi figura 69.png]

Siano u, v un parallelo ed un meridiano uscenti da un punto O culla superficie ed M un punto arbitrario di essa: il meridiano ed il parallelo passanti per M intersecano rispettivamente su u e v due archi OP, OQ, le cui lunghezze u, v saranno le coordinate di M. È manifesta l'analogia fra l'adottato sistema di coordinate e il sistema cartesiano ortogonale. [p. 203 modifica]

Sia M' un punto infinitamente vicino ad M: se u, v sono le coordinate di M, quelle di M' potranno indicarsi con u + du, v + dv. Se ora si considera il triangoletto infinitesimo MM'N, il cui terzo vertice N è il punto in cui s'incontrano il parallelo di M col meridiano di M', è chiaro che l'angolo MNM' è retto e che le lunghezze MN, NM' dei cateti sono precisamente du, dv.

D'altra, parte, il triangolo in discorso può riguardarsi come rettilineo [giacente sul piano tangente in M], sicchè, per le proprietà infinitesimali dei triangoli piani, la sua ipotenusa ds è legata ai cateti du, dv dal teorema di PITAGORA:


ds2 = du2 + dv2.


Ma questa forma pel ds2 è caratteristica della geometria ordinaria, sicchè potremo senz'altro affermare che in ogni regione normale della superficie di CLIFFORD sono verificate le proprietà del piano euclideo.

Un'importante applicazione di questo fatto conduce al calcolo dell'area della quadrica in discorso. Infatti, decomponiamo quest'ultima in tanti parallelogrammi congruenti infinitesimi per mezzo delle sue generatrici: l'area di uno di sifatti parallelogrammi avrà l'ordinaria espressione:


dx . dy . sen teta,


ove dx, dy rappresentano le lunghezze dei lati e teta l'angolo costante fra essi compreso [ang. di due generatrici]. [p. 204 modifica]

L'area della quadrica sarà allora:


sigma dx . dy .sen teta = sen teta . sigma dx . sigma dy.


Ma entrambe le sommatorie: sigma dx, sigma dy rappresentano la lunghezza l della retta, per cui l'area delta della superficie di CLIFFORD acquista la semplicissima espressione:


delta = l2 . sen teta, identica a quella che esprime l'area d'un parallelogramma euclideo [CLIFFORD128].



CENNI SUL PROBLEMA DI CLIFFORD -KLEIN.


§ 9. Le idee di CLIFFORD, illustrate nei precedenti §§, condussero KLEIN a un nuovo modo di formulare il problema fondamentale della geometria. Volendo dare un rapido cenno delle vedute di KLEIN riferiamoci ai risultati del § 68, relativi alla possibilità di interpretare la geometria piana con quella delle superficie di curvatura costante. Il raffronto fra le proprietà dei piani euclideo e non-euclidei e quelle delle superficie in discorso fu allora ristretto a regioni convenientemente limitate: allargando il confronto alle forme complete si incontreranno in generale delle differenze, imputabili talvolta alla presenza di punti singolari delle superficie [es. vertice di un cono], tal'altra alla connessione di esse.

Prescindiamo dai punti singolari e come esempio di superficie a curvatura costante, ovunque regolare, dotata di [p. 205 modifica]una connessione diversa da quella del piano euclideo, consideriamo l'ordinario cilindro.

La differenza fra la geometria piana e quella cilindrica, intese l'una e l'altra in senso integrale, fu già rilevata [§ 70] osservando che il postulato della congruenza fra due rette arbitrarie cessa di essere vero sul cilindro. Non di meno esistono numerose proprietà comuni alle due geometrie, traenti origine dal duplice carattere di avere tanto il piano quanto il cilindro la stessa curvatura e di essere entrambi regolari.

Queste proprietà possono riassumersi dicendo:

1) la geometria d'una regione normale di cilindro è identica alla geometria d'una regione normale di piano;

2) la geometria d'una qualsiasi regione normale di cilindro, fissata intorno ad un punto arbitrario di esso, è identica alla geometria d'una qualsiasi regione normale di piano.

L'importanza di un raffronto fra la geometria del piano e quella d'una superficie, fondato sulle proprietà 1) e 2), emerge dalle seguenti considerazioni.

Una geometria del piano, edificata con criteri sperimentali, dipende da due gruppi distinti di ipotesi. Il primo gruppo esprime la validità di certi fatti, direttamente osservati in un interno accessibile alle esperienze [postulati della regione normale]; il secondo gruppo estende a regioni inaccessibili alcune proprietà della regione iniziale [postulati d'estensione].

I postulati d'estensione potrebbero richiedere, ad es., che sull'intero piano fossero valide le proprietà della regione accessibile: saremmo allora condotti alle due forme di piano parabolica ed iperbolica; se invece i detti postulati richiedessero l'estensione delle proprietà in discorso, con eventuale riserva per quella che attribuisce alla retta i caratteri della linea aperta, insieme ai due piani indicati, dovremmo annoverare anche il piano ellittico. [p. 206 modifica]

Ma le precedenti considerazioni sulle superficie regolari di curvatura costante suggeriscono un modo più generale di enunciare i postulati d'estensione: potremmo infatti semplicemente richiedere che intorno a ciascun punto del piano fossero verificate le proprietà della regione iniziale. Allora la classe delle possibili forme di piano si allarga notevolmente: si potrebbe, ad es., concepire una forma a curvatura nulla, doppiamente connessa e rappresentabile completamente sul cilindro dello spazio euclideo.

La ricerca di tutte le varietà a due dimensioni, di curvatura costante, ovunque regolari, forma oggetto del problema di CLIFFORD-KLEIN.


§ 10. E possibile realizzare con opportune superficie regolari a curvatura costante dello spazio euclideo, tutte le forme di CLIFFORD-KLEIN?

La risposta è negativa, come risulta chiaramente dal seguente esempio. La sola superficie regolare sviluppabile dello spazio euclideo, la cui geometria non sia identica a quella del piano è il cilindro a sezione chiusa: d'altra parte la quadrica di CLIFFORD dello spazio ellittico è una superficie regolare, di curvatura nulla, essenzialmente diversa dal piano e dal cilindro.

Però con opportune convenzioni si può rappresentare nello spazio ordinario anche la quadrica di CLIFFORD.

Riferiamoci in primo luogo al cilindro. Volendo sviluppare il cilindro è necessario renderlo semplicemente connesso con un taglio lungo una generatrice [g]: dopo, con flessione senza estensione, lo si adagia sul piano, ricoprendone una striscia compresa fra due parallele [g1, g2].

Fra i punti del cilindro e quelli della striscia intercede una corrispondenza biunivoca: fanno solo eccezione i punti della generatrice g, a ciascuno dei quali corrispondono due punti, situati l'uno su g1 l'altro su g2. Però se si conviene di riguardare questi due punti come identici, cioè come un unico [p. 207 modifica]punto, allora la corrispondenza diventa biunivoca senza eccezione, e la geometria della striscia è integralmente la stessa di quella del cilindro.

Una rappresentazione analoga alla descritta si può istituire anche per la quadrica di CLIFFORD. Prima si rende la superficie semplicemente connessa con due tagli lungo le generatrici [g, g'] uscenti da un suo punto, ottenendo, nello spazio ellittico, un parallelogramma sghembo, i cui lati hanno ciascuno la lunghezza della retta e i cui angoli teta e teta' [teta + teta' = 2 retti] sono gli angoli formati da g e g'.

Ciò posto fissiamo sul piano euclideo un rombo, i cui lati abbiano la lunghezza della retta ellittica ed i cui angoli siano teta e teta'. Su questo rombo può rappresentarsi congruentemente [svilupparsi] la quadrica di CLIFFORD. La corrispondenza fra i punti della superficie e quelli del rombo è biunivoca, con eccezione per i punti di g e g', a ciascuno dei quali ne corrispondono due, situati su lati opposti del rombo. Però, se si conviene di riguardare come a due a due identici questi punti, allora la corrispondenza risulta biunivoca senza eccezione e la geometria del rombo è integralmente identica a quella della quadrica di CLIFFORD129.


§ 11. Le indicate rappresentazioni del cilindro e della superficie di CLIFFORD ci mostrano come, per il caso della curvatura nulla, la ricerca delle forme di CLIFFORD-KLEIN possa ricondursi alla determinazione di convenienti poligoni euclidei, eventualmente degeneri in striscie, i cui lati sono a due a due trasformabili l'uno nell'altro con opportuni movimenti del piano, ed i cui angoli hanno per somma quattro angoli retti [KLEIN130]. Dopo non rimarrà che a riguardare a due a due come identici i punti dei lati predetti, per [p. 208 modifica]avere sul piano ordinario le immagini delle forme richieste.

In modo analogo si presenta la ricerca delle forme di CLIFFORD-KLEIN, per il valore positivo e negativo della curvatura e la successiva estensione allo spazio di rifatto problema131. [p. 209 modifica]ELENCO DEGLI AUTORI CITATI [p. 210 modifica] [p. 211 modifica]

ELENCO DEGLI AUTORI CITATI


Aganis [VI secolo?]: p. 6, 7, 8, 9.

Alembert (d’) J. le Rond [1717-1783]: p. 46, 48, 184, 190, 191.

Al-Nirizi [IX secolo]: p. 6, 8.

Andrade J.: p. 173, 186.

Archimede [287-212]: P. 8, 10, 23, 26, 31, 32, 40, 51, 53, 111, 112, 173, 175.

Aristotile [384-322]: p. 4, 7, 17.

Arnauld A. [1612-1694]: p. 16.


Baltzer R. [1818-1887]: p. 113, 114.

Barozzi F. [XVI secolo]: p. 11.

Bartels J. M. C. [1769-1836]: p. 75, 81.

Battaglini G. [1826-1894]: p. 77, 84, 90, 113, 117, 118.

Beltrami E. [1835-1900]. P. 38, 113, 117, 118, 124, 129, 130, 136, 138, 165, 166, 167.

Bernoulli D. [1700-1782]: P. 184.

Bernoulli J. [1744-1807]:p. 38.

Bertrand E.: p. 173.

Bessel F. W. [1784-1846]: p. 59, 61.

Besthorn R. O.: p. 106.

Bianchi L.: p. 120, 126, 202.

Biot J. B. [1774-1862]: p. 46.

Boccardini G.: p. 38.

Bolyai J. [1802-1860]: p. 45, 59, 64, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 102, 103, 104, 105, 107, 112, 113, 114, 115, 116, 118, 129, 136, 137, 143, 144, 145, 148, 149, 152, 155, 161, 164, 165, 166, 167, 170, 186, 187, 193,

Bolyai W. [1775-1856]: p. 49, 54, 55, 59, 60, 86, 89, 90, 91, 111, 115, 116.

Boncompagni B. [1821-1894]: p. 116.

Bonola R.: p. 14, 23, 26, 106, 169.

Borelli G. A. [1608-1679]: p. 12, 16.


Campano G. [XIII secolo]: p. 16.

Candalla F. [1502-1594]: p. 16.

Cataldi P. A. [1548 circa - 1626]: p. 12.

Carnot L. N. M. [1753-1823]: p. 47.

Cassani P. [1832-1905]: p. 118.

Castillon G. [1708-1791]: p. 11.

Cauchy A. L. [1789-1857]: p. 191.

Cayley A. [1821-1895]: p. 118, 138, 147, 155, 167, 171.

Chasles M. [1796-1880]: p. 146.

Clavio C. [1537-1612]: p. 11, 12, 16.

Clifford W. K. [1845-1879]: 130, 193, 196, 200, 201, 202, 203, 204, 206, 207, 208.

Codazzi D. [1824-1873]: p. 128, 129.

Commandino F. [1509-1575]: p. 11, 16

Couturat L.: p. 49.

Cremona L. [1830-1903]: p. 114, 118.

Curtze M.: p. 6.


Dedekind J. W. R. [1831-1899]:p. 130.

Dehn M.: p. 26, 112, 135.

Delambre J. B. J. [1749-1822]: p. 190.

Dickstein S.: p. 130.

Duhem P.: p. 174.


Eckwehr J. W. von [1789-1857]: p.89.

Engel F.: p. 14, 38, 44, 54, 58, 60, 71, 75, 76, 81, 82, 86, 91.

Enriques F.: p. 146, 157, 175,

Eötvös: p. 116.

Euclide [330-275]: p. 1, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 33, 34, 45, 55, 61, 64, 65, 73, 82, 91, 94, 131, 133, 137, 143, 144, 145, 155, 169, 170, 171, 173, 175, 184, 186.


Fano G.: p. 144.

Flauti V. [1782-1863]: p. 11.

Foncenex (de) D. [1734-1799]: p. 47, 183, 184, 190, 191.

Forti A. [1818-?]: p. 113, 115, 116.

Fourier J. B. [1768-1830]: p. 48, 49.

Frattini G.: p. 118. [p. 212 modifica] Gauss C. F. [1777-1855]: p. 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 71, 72, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 89, 90, 91, 102, 104, 113, 114, 115, 118, 122, 123, 126, 170, 193.

Gemino [1° secolo a. C.]: p. 2, 6, 7.

Genocchi A. [1817-1889]: p. 136, 184, 190, 192.

Gerling Ch. L. [1788-1864]: p. 59, 60, 64, 65, 67, 113.

Gherardo da Cremona [XII secolo]: p. 6.

Giordano Vitale [1633-1711]: p. 12, 13, 14, 16, 23.

Gregory D. [1661-1710]: p. 16, 19.

Günther S.: p. 118.


Halsted G. B.: p. 38, 130.

Hauff J. K. F. [1766-1846]: p. 65.

Heilbronner J. C. [1706-1745]: p. 38.

Heiberg J. L.: p. 1, 6, 173.

Helmholtz H. [1821-1894]: p. 117, 136, 143, 144, 168, 169, 171.

Hilbert D.: p. 136, 137.

Hindenburg C. F. [1741-1808]: p. 38.

Hoffmann J. [1777-1866]: p. 11.

Holmgren E. A.: p. 136, 137.

Hoüel J. [1823-1886]: p. 46, 47, 76, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 130, 138, 143.



Kaestner A. G. [1719-1800]: p. 44, 54, 58, 60.

Killing W.: p. 208.

Klein C. F.: p. 120, 130, 138, 144, 148, 155, 168, 204, 206, 207, 208.

Klügel G. S. [1739-1812]: p. 11, 38, 43, 45, 58, 66, 81.

Kürschák J.: p. 104.



Lagrange J. L. [1736-1813]: p. 46, 47, 174, 175, 176, 190, 191.

Laguerre E. N. [1834-1886]: p. 146.

Lambert J. H. [1728-1777]: p. 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 52, 53, 59, 60, 64, 66, 67, 68, 72, 73, 76, 81, 87, 98, 120, 131, 135.

Laplace P. S. [1749-1827]: p. 47, 48, 191.

Legendre A. M. [1752-1833]: p. 49, 50, 51, 52, 53, 54, 64, 75, 78, 114, 118, 131, 135.

Leibniz G. W. F. [1646-1716]: p. 49.

Lie S. [1842-1899]: p. 143, 144, 171.

Liebmann H.: p. 137.

Lobacefschi N. I. [1793-1856]: p.45, 49, 57, 59, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 92, 94, 96, 103, 104, 107, 108, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 129, 132, 133, 136, 137, 143, 144, 145, 148, 149, 152, 155, 161, 164, 165, 166, 167, 170, 186, 187, 193.

Lorenz J. F. [1738-1807]: p. 52, 111.

Lütkemeyer G.: p. 52, 111.


Mach E.: p. 136, 137.

Minding F. [1806-1885]: p. 123, 128, 129.

Moebius A. F. [1790-1868]: p. 139.

Monge G. [1746-1818]: p. 48, 49.

Montucla J. E., [1725-1799]: p. 38, 81.

Morgan (de) A. [1806-1871]: p. 46.


Nasîr Eddîn [1201-1274]: p. 9, 10, 11, 12, 14, 33, 34, 111.

Newton I. [1642-1726]: p. 47.


Olbers H. W. M. [1758-1840]: p. 59.

Oliviero di Bury [1a metà XII sec.]: p. 15.

Ovidio (d’) E.: p. 118.


Paciolo Luca [circa 1445-1514]: p. 16.

Pascal E.: p. 130.

Pasch M.: p. 168.

Picard C. É.: p. 119.

Poincaré J. H.: p. 144.

Poncelet J. V. [1788-1867]: p. 145.

Posidonio [I secolo a. C.]: p. 2, 7, 12.

Proclo [410-485]: p. 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 16, 17, 18, 111.


Riccardi P. [1828-1898]: p. 16.

Ricordi E.: p. 118.

Riemann B. [1826-1866]: p. 117, 120, 130, 131, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 144, 145, 147, 149, 151, 152, 154, 155, 167, 168, 169, 172, 186, 194.



Saccheri G. [1667-1733]: p. 4, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 40, 45, 59, 60, 76, 81, 87, 112, 120, 131, 133, 135.

Sartorius v. Waltershausen W. [1809-1876]: p. 114.

Savile H. [1549-1622]: p. 16.

Schmidt F. [1826-1901]: p. 113, 115, 116.

Schumacher H. C. [1780-1850]: p. 59, 60, 61, 64, 114.

Schur F. H.: p. 168.

Schweikart F. K. [1780-1859]: p. 61, 65, 66, 67, 71, 72, 74, 77, 97, 113.

Segre C.: p. 38, 60, 67, 68, 80, 81.

Seyffer K. F. [1762-1822]: p. 54, 60.

Simplicius [VI secolo]: p. 7, 9.

Sintsoff D.: p. 130.

Stäckel P.: p. 14, 38, 44, 54, 55, 57, 58, 60, 73, 74, 91, 104, 115, 116. [p. 213 modifica] Staudt C. G. [1798-1867]: p. 120, 145.

Szász C. [1798-1853]: p. 86, 87.


Tannery P. [1843-1904]: p.6, 7, 18.

Taquet A. [1612-1660]: p.16.

Tartaglia N. [1500-1557]: p. 16.

Taurinus Fr. A. [1794-1874]: p. 59, 60, 61, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 77, 79, 80, 89, 103, 129, 164.

Tilly (de) F. M.: p. 49, 105, 196, 186.

Tolomeo [87-165]: p. 3, 4, 111.


Vailati G.: p. 16, 20.

Valerio Luca [1552?-1618]: p. 16

Vasiliev A.: p. 82.


Wachter F. L. [1792-1817]: p. 56.57.60.61, 78.

Wallis J. [1616-1703]: p.11, 14, 15, 26, 47, 111.


Zamberti B. [1a metà XVI secolo]: p. 16.

Zenone [495-435]: p. 5.

Zolt (de) A.: p. 118.




  1. Cfr. D’Alambert: «Mélanges de Litterature, d'Histoire et de Philosophie», t. V, § XI [1759]. — Cfr. ancora: «Encyclopedie Méthodique Mathématique», t. II, p. 519, articolo: Parallèles, [1785].
  2. A. De Morgan: «Budget of Paradoxes», p. 173 [Londra, 1872].
  3. Cfr. J. Hoüel: «Essai critique sur les prineipes fondamentaux de la géométrie élémentaire», p. 84, nota. [Paris, G. Villars, 1883].
  4. Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 299-322 [1700-61].
  5. Cfr. Lagrange: Oeuvres, t. VII, p. 331-363.
  6. Cfr. Cap. VI.
  7. Cfr. Laplace: «Oeuvres», t. VI. Livre V, Ch. V, p. 472.
  8. Cfr.: Séances de 1'École normale; Débats, t. I, p. 28-33 [1795]. — La discussione fu ristampata in Mathésis, t. IX, p. 139-141 [1883].
  9. Questa definizione del piano fu data da LEIBNIZ circa un secolo prima. Cfr., ad es., gli «Opuscules et frangements inedits.», pubblicati da L. COUTURAT; p. 554-5 [Paris, Alcan, 1903].
  10. Aggiungiamo che studi e ricerche successive dimostrarono che anche la definizione di Fourier non permette di creare la teoria euclidea delle parallele senza il sussidio del V postulato o di qualche altro postulato equivalente.
  11. Di questa ipotesi già si era servito J. F. LORENZ, per lo stesso scopo: cfr. «Grundriss der reinen und angewandten Mathematik.» [Helmstedt, 1791].
  12. La «Theoria Parallelarum.» fu pubblicata in latino e versione tedesca dai SS. Stäckel ed Engel nel t. XLIX dei Math. Ann., p. 168-205 [1897].
  13. Cfr. Stäckel: «Die Entdeckung der Nichteuklidischen Geometrie durch J. Bolyai». Math. u. Naturwissenschaf. Berich. Aus Ungarn, t. XVII, [1901].
  14. Cfr. W. Bolyai: «Kurzer Grundriss eines Versuchs, etc.» p. 46 [Maros Vásárhely, 1851].
  15. «Demonstratio axiomatis geometrici in Euclideis undecimi.»
  16. Per quanto riguarda Wachter Cfr. P. Stäckel: Friederich Ludwig Wachter, ein Beitrag zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie; Math. Ann., t. LIV, p. 49-85 [1901]. In questo articolo sono riportate le lettere di Wachter sull'argomento e l'opuscolo del 1817 sopra citato.
  17. Cfr. Stäckel ed Engel: «Th. der P.» p. 139-142.
  18. Cfr.: Gauss «Opere», t. VIII, p. 159-270.
  19. Si ricordi che W. Bolyai, a Gottinga, si occupava dell'argomento e credeva di avere superato l'ostacolo. Cfr. § 29.
  20. Per vederlo si sostituisca a ciascun'esponenziale lo sviluppo in serie. Allora avremo:
    La geometria non-euclidea formula 64 b.png

    Passando al limite, per k = infinito, si ottiene: 2 pi greco r.

  21. Studiò diritto all'università di Marburg e seguì dal 1796 al 1798 le lezioni di matematica tenute in quell'università dal prof. J. K. F. HAUFF, autore di vari scritti sulle parallele. Cfr. «Th. der P.», p. 243.
  22. Cfr. il t. VIII delle opere di Gauss, p. 180-81.
  23. Cfr. le «Congetture» di Segre, citate nella nota 41.
  24. La costante C che figura in questa espressione è la costante di Schweikart, non quella che Gauss denotò con k e a mezzo della quale espresse la lunghezza della circonferenza [cfr. § 34]. Le due costanti sono legate dalla seguente relazione:
    La geometria non-euclidea formula 67 b.png
  25. Per quanto riguarda l'eventuale influenza di Saccheri e Lambert su Taurinus cfr. le «Congetture» di Segre, citate a nella nota 41.
  26. Per comodità del lettore rammentiamo la definizione analitica e le proprietà principali delle funzioni iperboliche. [vedi formula 69_a.png] Notando poi che le funzioni circolari sen x, cos x, tg x ...., sono suscettibili anch'esse d'una definizione analitica, e precisamente che: [vedi formula 69_b.png] è facile vedere che le funzioni circolari e le funzioni iperboliche sono legate dalle seguenti relazioni: (III) i Sh x = sen (ix) ; i Th x = tg (ix) Ch x = cos (ix) ; – i Cth x = ctg (ix). Queste ultime permettono di trasformare le formule fondamentali della goniometria, nelle corrispondenti formule per le funzioni iperboliche. Le quali sono le seguenti: (IV) Ch2 x – Sh2 x = 1 Sh (x ± y) = Sh x Ch y ± Sh y Ch x Ch (x ± y) = Ch x Ch y ± Sh x Sh y
  27. A questo punto conviene notare che Lambert, contemporaneamente alle ricerche sulle parallele, si è occupato delle funzioni trigonometriche con argomento immaginario, il cui legame con la geometria non-euclidea è messo in evidenza da Taurinus. Potrebbe darsi che Lambert avesse riconosciuto che le formule della trigonometria sferica conservano una forma reale anche mutando in esse il raggio reale nel raggio immaginario puro. Con ciò la previsione di Lambert, relativa all'ip. ang. acuto [cfr. § 21], avrebbe un fondamento indiscutibile. Nulla però ci autorizza a credere che Lambert abbia effettivamente riavvicinato le sue ricerche sulle funzioni trigonometriche alla teoria delle parallele — cfr. P. Stäckel: «Bemerkungen zu Lamberts Theorie der Parallellinien.» — Bibliotheca Math, p. 107-110 [1899].
  28. L'importanza di Schweikart e Taurinus, nella scoperta della geometria non-euclidea, fu rilevata e messa in luce dai SS. Stäckel ed Engel, che nella «Th. der P.» dedicarono loro un intero capitolo [p. 237-286], riportando i passi più importanti delle opere di Taurinus e alcune lettere fra questi, Gauss e Schweikart. Vedi pure l'articolo di Stäckel, su «Franz Adolph Taurinus», Abhandlungen Z. Gheschichte d. Math., t. IX, p. 397-427 [1899].
  29. Bollettino di Kasan [1829-30]. — Opere Geometriche di Lobacefski [Kasan, 1883-86], t. I, p. 1-67. - Traduzione tedesca di F. Engel a p. 1-66 del volume citato nella nota 77.
  30. Scritti scientifici dell'Università di Kasan [1835]. — Op. Geom., t. I, p. 71-120.
  31. Scritti scient. Un. Kasan [1835-38]. — Op. Geom., t. I, p. 219-486. — Trad. tedesca di F. Engel, p. 67-235 del vol. citato nella nota 77.
  32. Scritti scient. Un. Kasan [1836]. — Op. Geom. , t. I, p. 121-218.
  33. Giornale di CRELLE, t. XVII, p. 295-320. — Op. Geom., t. II, p. 581-613.
  34. Berlin [1840]. — Op. Geom., t. II, p. 553-578. — Trad. francese di J. Hoüel, contenuta nelle Mém. de Bordeaux t. IV [1866], od anche nelle: «Recherches géométriqués sur la theorie des parallèles.», [Paris, Hermann, 1900].
  35. Raccolta di dissertazioni scientifiche scritte dai professori della reale Università di Kasan nel cinquantesimo anniversario della sua esistenza, t. I, p. 279-340, [1856]. — Op. Geom., t. II, p. 617-80. — Trad. italiana di G. BATTAGLINI nel Giornale di Mat., t. V, p. 273-336.
  36. Questo risultato giustifica il metodo seguito da Taurinus nella costruzione della sua geometria log.-sferica.
  37. Cfr. F. Engel, op. citata nella nota 77: Zweiter Theil; Lobatschefskij Leben und Schriften.», Cap. VI, p. 373-383.
  38. Cfr. le «Congetture» di Segre citate nella nota 41.
  39. P. 67 della citata opera di Engel.
  40. Cfr. il discorso di A. VASILIEV su Lobacefski [Kasan, 1893]. Trad. tedesca di Engel, Zeits. f. Math. u. Phy. t. XI, p. 205-44 (1895].
  41. Cfr. la «Pangeometria», nella trad. italiana di G. BATTAGLINI, Gior. di Matematiche, t. V, p. 334
  42. Per il contenuto di questo § cfr. Lobacefski: «Ueber die Anfangsdründe der Geometrie. », a p. 22-24 dell'opera di Engel citata nella nota 77. Vedi pure le osservazioni di Engel a p. 248-252 della stessa opera.
  43. Ristampata in formato di Lusso, per cura dell'Accademia Ungherese di Scienze, nell'occasione del 1° centenario della nascita dell'autore. [Budapest, 1902]. Vedi la traduzione italiana di G. BATTAGLINI, nel t. VI del Giornale di Matematiche, p. 97-115 [1868 ].
  44. Per il contenuto di questo e del precedente § cfr.: Stäckel: «Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch Johann Bolyai.», Math. und Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XVII, [1901]; Stäckel ed Engel: «Gauss die beiden Bolyai and die nichteuklidische Geometrie.» Math. Ann. t. IL, p. 149-167, [1897]; Bull. Sc. Math., (2), t. XXI, p. 206-228.
  45. Ecco rapidamente come Bolyai dimostra questa proposizione. Le circonferenze AB, ED, generate dai punti B, D nella loro rotazione intorno alla retta AE, possono considerarsi come appartenenti la prima al piano perpendicolare in A all'asse AE, la seconda ad una superficie equidistante da questo piano. L'equidistanza fra superficie e piano è data dal segmento d = BD. Il rapporto fra le due circonferenze in discorso risulta perciò funzione soltanto di d. Questo rapporto può anche esprimersi ricorrendo al teorema di Bolyai [§ 49], il quale, applicato ai due triangoli rettangoli ADE, ADB, conduce alla relazione: [vedi formula 95.png] Da ciò si vede che il rapporto sen u : sen v non varia se, tenuto fisso d, la retta AE si sposta mantenendosi perpendicolare a BD. In particolare se il piede di AE tende all'infinito su AN, u tende a pi greco(d) e v ad un angolo retto. Conseguentemente: [vedi formula 96_a.png] D'altra parte, nel triangolo rettangolo AOB, vale la relazione: [vedi formula 96_b.png] la quale, insieme alla precedente, conduce a stabilire l'uguaglianza dei due angoli Pi greco (d) e AOB, c. d. d.
  46. La soluzione di Bolyai [Appendix, §. 35] è però più complicata.
  47. Infatti, per le proprietà delle funzioni iperboliche si ha: [vedi formula 99_c.png] e per le proprietà dell' angolo di parallelismo [cfr. § 41]: [vedi formula 100_b.png]
  48. Infatti, nel triangolo rettangolo ABC, si ha: ctg pi greco (r/k) ctg alfa = Ch r/k, da cui, essendo Ch r/k = 2 Sh2 r/2k + 1 = 2 ctg2 pi greco (r/2) + 1, si deduce: ctg pi greco (r/2) ctg alfa = 2 ctg2 pi greco (r/2) + 1, e successivamente: ctg alfa - ctg pi greco (r/2) = 1 + tg2 pi greco (r/2). Queste due relazioni permettono di scrivere l'espressione di tg z nel modo richiesto.
  49. Ecco il titolo dello scritto in cui GIOVANNI si proponeva di esporre questa dimostrazione: «Beweis des bis nun auf der Erde immer noch zweifelhaft gewesenen, weltberühmten und, als der gesammten Raum-und Bewegungslehre zum Grunde dienend, auch in der That allerhöchstwichtigsten 11. Euklid'schen Axioms. Von J. Bolyai von Bolya, k. k. Génie-Stabshauptmann in Pension.». Vedi in proposito lo scritto di P. Stäckel: «Untersuchungen aus der Absoluten Geometrie aus Johann Bolyai's Nachlass.» Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XXIII, p. 280-307 [1902]. A questa scritto rimandiamo per tutto il contenuto del § 55.
  50. Vedi p. 53 e succ. dell'op. citata nella nota 77.
  51. Cfr. P. Stäckel und J. KÜRSCHÁK: Johann Bolyai's Bemerkungen ueber N. Lobatschewskij's Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.», Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XVIII, p. 250-279 [1902].
  52. Cfr. P. Stäckel: «Johann Bolyai's Raumlehre.». Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XIX [1903].
  53. Mémoires couronnés et autres Mémoires, della Reale Accademia del Belgio, t. XXI [1870]. Vedi anche, dello stesso autore «Essai sur les principes fondamentaux de la Geométrie et de la Mécanique.», Mém. de la Societé des Sciences de Bordeaux, t. III, 1er Cahier [1878].
  54. Cfr. R. BONOLA: «La trigonometria assoluta secondo Gioranni Bolyai.». Rend. Istituto Lombardo, (2), t. XXXVIII [1905].
  55. Cfr. ad es. le «Geometrische Untersuchungen» di Lobacefski, citate nel § 39.
  56. Cfr. nota (30).
  57. Cfr. il t. VIII delle «Opere di Gauss», p. 167-69.
  58. Cfr la lettera di Gauss a GerlinG, a p. 220, t. VIII, delle «Op. Gauss». In questa lettera Gauss, parlando del contenuto dell'«Appendix», dice: «ich alle meine eigenen Ideen und RESULTATE wiederfinde mit grösser Eleganz entwichelt», e dell'autore dello scritto: «Ich halte diesen jungen Geometer v. Bolyai für ein Genie erster Grösse....».
  59. «Op. Gauss», t. VIII, p. 234-38.
  60. «Briefwechesel zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher.»; t. II, p. 268, 431; t. V, p. 246 [Altona, 1860-63]. Intorno alle idee di Gauss, note in quell'epoca, vedi pure: SARTORIUS VON WALTERSHAUSEN; «Gauss zum Gedächtniss.», p. 80-81 [Leipzig, 1856].
  61. Cfr. gli «Elementi di Matematica» di BALTZER, tradotti da L. CREMONA, t. IV, p. 5-7, 24-31 [Genova, 1867].
  62. Hoüel aveva pubblicato, fin dal 1863, il suo famoso «Essai d'une exposition rationelle des principes fondamentaux de la Geométrie élémentaire.»; Archiv. d. Math. u. Phy., t. XL [1863].
  63. Mémoires de la Societé des Sciences Phy. et Naturelles de Bordeaux, t. IV, p. 88-120 [1866]. Fu anche pubblicata in un opuscolo separato, col titolo: «Études géométriques sur la théorie des parallèles par N. J. LOBATSCHEWSKI, Conseiller d'Etat de 1'Empire de Russie et Professeur a 1'Universitè de Kasan; traduit de l'allemand par J. Hoüel, Suivis d'un Extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher.» [Paris, G. Villars, 1866].
  64. Mém. Soc. Scienc. Phy. et Nat. de Bordeaux, t. V, p. 189-248. Fu anche pubblicata a parte in un opuscolo col titolo: «La science absolue de l'espace, indépendante de la vérité ou fausseté de l'Axiôme XI d'Euclide (que l'on ne pourra jamais établir a priori); suivie de la quadrature géométrique du cercle, dans le cas de la fausseté de l'Axiôme XI, par JEAN Bolyai, Capitaine au corps du génie dans 1'armée autrichienne; Précédé d'une notice sur la vie et les travaux de W. et de J. Bolyai, par M. Fr. SCHMIDT.» [Paris, G. Villars, 1868].
  65. Cfr.: P. Stäckel: «Franz Schmidt.», Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver., t. XI, p. 141-46 [1902].
  66. Quest'opuscolo di W. Bolyai si suole brevemente citare con le prime parole del suo titolo: «Kurzer Grundriss». Fu stampato a Maros-Vásárhely nel 1851.
  67. «Intorno alla geometria immaginaria o non euclidiana. Considerazioni storico-critiche.»; Rivista Bolognese di scienze, lettere, arti e scuole, t. II, p. 171-84 [1867]. Fu stampato separatamente in un opuscolo di 16 pagine [Bologna, Fava e Garagnani, 1867]. Lo stesso scritto, con varie aggiunte e col titolo: «Studii geometrici sulla teorica delle parallele di N. J. Lobatschewsky.», fu ristampato nel giornale politico «La Provincia di Pisa», Anno III, n. 25, 27, 29, 30 [1867] e ripubblicato a parte sotto il titolo primitivo [Pisa, Nistri, 1867].
  68. Cfr.: «Intorno alla vita ed agli scritti Wolfgang e Giovanni Bolyai di Bolya, matematici ungheresi.», Bollettino di Bibliografia e di Storia delle scienze Mat. e Fisiche, t. I, p. 277-99 [1869]. Questo articolo di FORTI è arricchito con copiose note storiche e bibliografiche da B. BONCOMPAGNI.
  69. Cfr. l'articolo di Stäckel su FR. SCHMIDT citato precedentemente nel testo.
  70. 1a ed., Paris, G. Villars, 1867; 2a ed., 1883.
  71. Giornale di Matematiche, t. VII, p. 84-89; Nouvelles Annales, (2), t. IX p. 93-96.
  72. Bull. des Sciences Math, t. I, p. 66-71, 324-28, 384-88 [1870]
  73. Oltre le versioni di cui si parla nel testo Hoüel tradusse uno scritto di BATTAGLINI [cfr. la nota 124], due di BELTRAMI [cfr. nota 126; nota 142], uno di RIEMANN, [cfr. nota 137], uno di HELMHOLTZ [cfr. § 78].
  74. Giornale di Mat., t. V, p. 217-31 [1867]. — Napoli, Rend. Acc. Science Fis. e Matem., t. VI, p. 157-73 [1867]. — Trad. francese di Hoüel: Nouv. Annales, (2), t. VII, p. 209-21, 265-77 [1868].
  75. Fu anche stampata a parte in un opuscolo col titolo: «Pangeometria o sunto di geometria fondato sopra una teoria generale e rigorosa delle parallele.», Napoli 1867; 2a ed., 1874.
  76. Fu tradotto in francese da Hoüel negli Annales Scient. de l'École Normale Sup., p. 251-88, t. VI, [1869].
  77. Cfr. la «Commemorazione di E. Beltrami» di L. CREMONA; Giornale di Mat., t. XXXVIII, p. 362 [1900].
  78. Cfr., ad es., E. PICARD: «La Science Moderne et son état actuel.», p. 75 [Paris, Flammarion, 1905].
  79. Chi desiderasse un largo sviluppo degli argomenti trattati in questo capitolo può consultare le «Vorlesungen über die Nickt-Euklidische Geometrie.» di F. KLEIN [Gottinga, 1893] e le «Lezioni sulla geometria differenziale.» di L. BIANCHI, t. I, Cap. XI, XII, XIII, XIV, p. 326-513 [Pisa, Spoerri, 1903].
  80. Rammentando che la curvatura d'una linea piana in un punto è l'inverso del raggio del cerchio osculatore in quel punto, ecco come può definirsi la curvatura in un punto M d'una superficie. Condotta per M la normale n alla superficie si consideri il fascio di piani per n e il relativo fascio di curve ch'esso sega sulla superficie. Fra le curve [piane] di tale fascio ne esistono due ortogonali fra loro, le cui curvature [sopra definite] godono delle proprietà di massimo o minimo. Il prodotto di tali curvature da la curvatura della superficie nel punto M [Gauss]. Alla curvatura di Gauss compete poi uno spiccatissimo carattere: essa si mantiene invariata per ogni flessione senza estensione della superficie; talchè se due superficie sono applicabili, nel senso indicato nel testo, debbono, nei punti corrispondenti, avere la stessa curvatura [Gauss]. Questo risultato, invertito dal MINDING nel caso delle perficie a curvatura costante, rende manifesto che le superficie liberamente mobili sopra se stesse sono caratterizzate dalla costanza della curvatura.
  81. La trattrice è quella curva il cui segmento di tangente compreso fra il punto di contatto e l'asintoto ha una lunghezza costante.
  82. La superficie, di cui la Fig. 49 è una riproduzione fotografica, fu costruita da BELTRAMI. Ora fa parte della collezione di modelli appartenente all'ISTITUTO MATEMATICO di Pavia.
  83. Cfr., ad es., le citate «Lezioni sulla Geometria Differenziale» di L. BIANCHI, Cap. VI.
  84. «Wie sich entschneiden lässt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen von unveränderlichem Krümmungsmaasse.»; Crelle, t.. XIX, p. 370-87 [1839].
  85. MINDING: «Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen.»; Crelle, t. XX, p. 323-27 [1840]. — D. CODAZZI: «Intorno alle superficie le quali hanno costante il prodotto de' due raggi di curvatura.»; Ann. di Scien. Mat. e Fis. t.VIII, p. 346-55 [1857].
  86. «Opere di Riemann», 1a ed. [1876], p. 254-96; 2a ed. [1892], p. 272-87. Fu letta da RIEMANN nel 1854, per la sua abilitazione presso la Facoltà filosofica di Gottinga, davanti ad un pubblico composto non di soli matematici. Perciò non contiene sviluppi analitici ed i concetti ivi esposti hanno veste prevalentemente intuitiva. Qualche schiarimento analitico si trova nelle note della Memoria inviata da RIEMANN in risposta ad una questione messa a concorso dall'Istituto di Parigi [Op. Riemann, 1a ed. p. 384-91]. Il fondamento filosofico della «Dissertazione» è lo studio delle proprietà delle cose dal loro modo di comportarsi nell'infinitesimo. Cfr. il discorso di KLEIN: «Riemann e la sua importanza nello sviluppo della matematica moderna.», tradotto da E. PASCAL negli Annali di Mat., (2), t. XXIII [p. 222]. La «Dissertazione» fu pubblicata soltanto nel 1867 [Gött. Abh., XIII], dopo la morte dell'A., per cura di R. DEDEKIND, poi tradotta in francese da J. Hoüel [Annali di Mat, (2), t. III, 1870; Oeuvres Math. de Riemann, 1876], in inglese da W. CLIFFORD [Nature, t. VIII, 1873] e da G. B. HALSTED [Tokyo sugaku butsurigaku kwai kiji, t. VII, 1895], in polacco da DICKSTEIN [Comm. Acad. Litt. Cracoviensis, t. IX, 1877], in russo da D. SINSTOFF [Notizie della Società fisico-matematica della R. Università di Kasan, (2), t. III, Appendice, 1893].
  87. Cfr. la «Dissertazione» di RIEMANN, parte III, § 2.
  88. Cioè priva di singolarità.
  89. «Über Flächen von konstanter Gausscher Krümmung.», Transactions of the American Math. Society, t. II, p. 86-99 [1901]; «Grundlagen der Geometrie.», 2a ediz., p. 162-75 [Leipzig, Teubner, 1903]. La questione risolta col teorema di HILBERT si affacciò ai geometri in seguito all'interpretazione di BELTRAMI della geometria di Lobacefski-Bolyai. — HELMHOLTZ, fin dal 1870, nel suo articolo «Les axiomes de la géométrie.» [Revue des cours scientif., t. VII, p. 499] aveva affermato l'impossibilità di costruire una superficie pseudosferica, estesa indefinitamente in ogni direzione, e A. GENOCCHI, nella «Lettre à Mr. Quetelet sur diverses questions mathématiques.» [Belgique Bull., (2), t. XXXVI, p. 181-98, 1873] e più distesamente nello scritto: «Sur un Mémoire de D. Foncenex et sur les géométries non-euclidiennes.» [Torino, Memorie, (3), t. XXIX, 365-404, 1877], dopo aver rilevato l'insufficienza di certi ragionamenti intuitivi, diretti a provare l'esistenza concreta d'una superficie atta a rappresentare l'intero piano non-euclideo, insiste sulla probabile esistenza di punti singolari, [come, ad es., quelli situati sulla linea di regresso della fig. 47], in ogni modello concreto di superficie a curvatura costante negativa. Sul teorema di HILBERT aggiungiamo che il carattere analitico della superficie, ammesso dall'autore, fu dimostrato superfluo. Vedi in proposito la dissertazione di G. LÜTKEMEYER: «Uber den analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differential-gleichungen.», [Göttingen 1902] e la nota di E. HOLMGREN: «Sur les surfaces à courbure constante negative.», Comptes Rendus, I° sem. 1902, p. 840-43.
  90. «Eine neue Eigensehaft der Kugel.», Gött. Nachricten, 1899, p. 44-54. — A p. 172-75 dei «Grundlagen der Geometrie.» di HILBERT è pure dimostrata questa proprietà. Notiamo che le superficie di curvatura costante positiva sono necessariamente analitiche. Vedi in proposito la citata dissertazione di LÜTKEMEYER, [ nota 140] e la memoria di HOLMGREN: «Über eine Klasse von partielle Differentialgleichungen der Zweiten Ordnung.», Math. Ann., t. LVII, p. 407-20 [1903].
  91. Cfr., ad es., il breve cenno sulla geometria degli spazi di curvatura costante positiva, con cui BELTRAMI chiude la sua memoria «Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante.» [Annali di Matem., (2), t. II, p. 354-5, 1868]. Questa memoria, che dovremo richiamare nel seguito, fu tradotta in francese da Hoüel nel t. VI, p. 347-77, degli Annales scien. de l'École Normale supérieure.
  92. «Ueber die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie.»; Heidelberg, Verhandl. d. natur.-med. Vereins, t. IV. p. 197-202 [1868]; t. V, p. 31-32 [1869]. - Wissenschaftliche Abhandlungen von H. HELMHOLTZ, t. II, p. 610-17 [Leipzig, 1883] — Fu tradotto in francese da J. Hoüel e pubblicato nei Mémoires de la Société des Sciences Phy. et Nat. de Bordeaux [t. V, 1868] ed anche insieme agli «Études geometriques» di Lobacefski ed alla Correspondance de Gauss et de Schumacher.» [Paris, Hermann, 1895]. «Ueber die Thatsaschen, die der Geometrie zu Grunde liegen.»; Götting. Nachr., t. XV 193-221 [1868] — Wissenschaftliche Abhandlungen von H. HELMHOLTZ, t. II, p. 618-39. «The Axioms of Geometry.»; The Academy, t. I p. 123-81 [1870]. — Revue des cours scientifiques, t. VII, p. 498-501 [1870]. «Ueber die Axiome der Geometrie»; Populäre wissenschaftliche Vortrage. 3. Heft. p. 21-54. [Braunschweig, 1876]. — Trad. Inglese : Mind, t. I, p. 301-21. — Trad. francese: Revue scient. de la France et de 1'Etranger, (2) t. XII, p. 1197-1207 [1877]. «Ueber den Ursprung und Sinn Bedentung der geometrischen Sätze.»; Wissenschaftliche Abhandlungen von H. HELMHOLTZ, t. II. p. 640-60. — Trad. inglese: Mind, t. II, p. 212-24 [1878].
  93. Cfr. KLEIN: «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen.», [Erlangen, 1782] — Trad. italiana di G. FANO. Annali di Matem., (2), t. XVII, p. 301-43 [1899].
  94. Cfr. LIE: «Theorie der Transformationsgruppen.», t. III, p. 437-543. [Leipzig, Teubner 1893]. — Nello stesso ordine di idee, H. POINCARÉ, nel suo scritto «Sur les hypothèses fondamentaux de la Géométrie.» [Bull. de la Société Math. de France, t. XV, p. 203-16, 1887], risolveva il problema di assegnare tutte le ipotesi che caratterizzano, fra i vari gruppi di trasformazioni, il gruppo fondamentale della geometria piana euclidea.
  95. «Traité des propriétés projectives des figures», 2a ed., t. I, n.° 94, p. 48 [Paris, G. Villars, 1865].
  96. «Traité de Géométrie supérieure. », 2a ed., n° 660, p. 425 [Paris, G. Villars, 1880].
  97. «Sur la theorie des foyers.», Nouv. Ann., t. XII, p. 57 — Oeuvres de LAGUERRE, t. II, p. 12-3, [Paris, G. Villars, 1902].
  98. Vedi, ad es., le «Lezioni di Geometria proiettiva.» di F. ENRIQUES, p. 177-88. [Bologna, Zanichelli, 2a ed., 1904].
  99. La questione dell'indipendenza della geometria proiettiva dalla teoria delle parallele è rapidamente toccata da KLEIN nella sua prima pubblicazione «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.»; Math. Ann., t. IV, p. 573-625 [1871]. Un più ampio sviluppo della questione si può vedere nella seconda pubblicazione di KLEIN sullo stesso argomento: Math. Ann., t. VI, p. 112-145 [1873].
  100. È noto che per trasformazioni proiettive s'intendono quelle trasformazioni che fanno corrispondere ad un punto un punto, ad una retta una retta, a punto e retta che si appartengono punto e retta che si appartengono.
  101. Le relazioni fra le funzioni circolari, iperboliche e la funzione logaritmica sono contenute nelle seguenti identità: [vedi formula 150_f.png]
  102. Cfr.: «Sixth Memoir upon Quantics.»; Philosophical Transactions, t. CXLIX, p. 61-90 [1859]; ovvero: Math. Papers di CAYLEY, t. II p. 561-92.
  103. Cfr. «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.»; Math. Ann., t. IV, p. 573-625 [1871].
  104. Per questa dimostrazione ed i teoremi di geometria proiettiva su cui essa è fondata cfr., ad es., le «Lezioni di geometria proiettiva.» di F. ENRIQUES, Cap. X, p. 251-3.
  105. «Risoluzione del problema di riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette.»; Ann. di Mat., t. VII, p. 185-204 [1866]. — Opere Mat., t. I, p. 262-80 [Milano, Hoepli, 1902].
  106. Della interpretazione della stereometria non-euclidea ed in generale della interpretazione della geometria delle varietà di curvatura costante a più dimensioni, si occupò pure il BELTRAMI, nella memoria: «Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante.»; Annali di Matem., (2), t. II, p. 232-55 [1868]. - Opere Mat., t. I, p. 406-29 [Milano, Hoepli, 1902].
  107. Per gli sviluppi relativi vedi: KLEIN, opere citate nella nota n. 150; PASCH: «Vorlesungen über neuere Geometrie.» [Leipzig, Teubner, 1882]; SCHUR: «Über die Einführung der sogenannten idealen Elemente in die projective Geometrie.», Math. Ann., t. XXXIX, p 113-124, [1891]; BONOLA: «Sulla introduzione degli elementi improprii in geometria proiettiva.», Giornale di Matem. t. XXXVIII, p. 105-116 [1900].
  108. Per la deduzione di questo risultato vedi: BONOLA; «Determinazione per via geometrica dei tre tipi di spazio: iperbolico, parabolico, ellittico.»; Circolo Mat. Palermo, t. XV, p. 56-65,[1901].
  109. Questa ipotesi può enunciarsi così: Se dei corpi, soggetti a vincoli, sono in equilibrio sotto l'azione di forze date, saranno pure in equilibrio se ai vincoli già esistenti se ne aggiungono dei nuovi». Cfr., ad es., J. ANDRADE: «Léçons de Mécanique Physique.», p. 59 [Paris, 1898].
  110. Cfr.: «Archimedis opera Omnia.», nell'edizione critica dì J. L. HEIBERG, t. II, p. 142 e successive. [Lipsia, Teubner, 1881]
  111. Cfr., ad es., E. MACH: «La Mécanique, exposé historique et critique de son développement.», trad. par E. BERTRAND; p. 21 e succ. [Paris, Hermann, 1904]. — Intorno alle varie ipotesi su cui può fondarsi la dimostrazione del principio della leva rimandiamo al recente volume di P. DUHEM: «Les origines de la Statique.» [Paris, Hermann, 1905], segnatamente alla nota C [p. 356-58], Sur les divers axiomes d'où se peut déduire la théorie du levier.
  112. «Oeuvres de Lagrange.», t. XI, p. 4-5.
  113. Per l'analisi dei principi fisici su cui si fonda la statica ordinaria si vegga il Cap. V dell'opera in corso di stampa di F. ENRIQUES «Problemi della Scienza.» [Bologna, Zanichelli, 1906].
  114. L'equazione potrebbe ottenersi dalla (1) di § 6, nel modo seguente. Posto beta = d alfa e supponendo ƒ (alfa) sviluppabile in serie di TAYLOR per ogni valore di alfa, si ricava: [vedi formula 183_b.png] Uguagliando i coefficienti di d alfa e ponendo y = ƒ (alfa) e k2 = – ƒ (o), si ottiene: [vedi formula 183_c.png] c.d.d.
  115. Cfr. Foncenex: «Sur les principes fondamentaux de la Mechanique.»; Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 305-315, [1760-61]. I ragionamenti di Foncenex sono riprodotti e illustrati da A. GENOCCHI, nello scritto: «Sur un Mémoire de Daviet de Foncenex et sur les géométries non euclidiennes.»; Torino, Memorie, (2), t. XXIX, p. 366-71, [1877].
  116. Per ulteriori sviluppi di statica non euclidea rimandiamo il lettore agli autori seguenti. J. M. De Tilly: «Études de Mécanique abstraite», Mém. Couronnés et autres mém., t. XXI [1870] — J. ANDRADE: «La Statique et les Géométries de Lobatchewsky, d'Euclide et de Riemann.», Nota II dell' Op. citata nella nota 160.
  117. «Opuscules mathématiques.», t. VI, p. 371 [1779].
  118. Cfr. la citata memoria di Foncenex, p 319-22.
  119. Altrove [§ 24], parlando dello scritto sulla meccanica di Foncenex, si disse che Lagrange ne fu l'ispiratore, se non l'autore. Questa opinione, accolta da GENOCCHI e da altri geometri, risale a DELAMBRE. Ecco come si espresse l'illustre biografo di Lagrange. «Il [Lagrange] fournissait à Foncenex la partie analytique des ses mémoires en lui laissant le soin de développer les nemens sur lesquels portaient ses formules. En effet, on remarque déja dan ces mémoires [di Foncenex] cette marche purement analytique, qui depuis a fait le caractère des grandes productions de Lagrange. Il avait trouvé une nouvelle théorie du levier.» — Notice sur la vie et les ouvrages de M. le Comte Lagrange; Mém. Inst. de France, classe Math. et Phy., t. XIII, p. XXXVj [1812].
  120. Cfr. D'ALEMBERT: «Sur les principes de la Mécanique»; Mém. de l'Ac. des Sciences de Paris [1769]. — Laplace: «Recherches sur l'intégration des équations différentielles, etc.»; Mém. Ac. Sciences de Paris (Savants étrangers), t. VII [1773]. — Oeuvres de Laplace, t. VIII, p. 106-107.
  121. A questo risultato si può giungere direttamente integrando la (2), o, ciò che fa lo stesso, la (1) del § 6. Si vegga, in proposito, il metodo elementare usato da CAUCHY per determinare la ƒ(a) soddisfacente alla (1): Oeuvres de Cauchy, IIe serie, t. III, p. 106-113.
  122. Uno di essi è la memoria citata a nota 166, l'altro, che risale al 1869, ha per titolo: «Dei primi principii della meccanica e della geometria in relazione al postulato d'Euclide.»; Annali della Società italiana delle Scienze, (3), t. II, p. 153-89.
  123. Nella fig. 65, mancano le due lettere r, r', corrispondenti alle due rette AB, A'B'
  124. I due segmenti che due punti determinano sopra una retta si dicono supplementari.
  125. «Preliminary Shetch on Biquaternions.»; Proceedings of the London Math. Society, t. IV p. 381-95 [1873] — Math. Papers di CLIFFORD; p. 181-200.
  126. È chiaro che fissato un verso sopra una retta, resta pure fissato un verso sopra ogni altra retta ad essa parallela.
  127. «Sulle superficie a curvatura nulla in geometria ellittica»; Annali di Mat, (2), XXIV, pag. 107 [1896]. — «Lezioni di Geometria differenziale.», p. 454.
  128. «Preliminary Sketch....», citato a nota 177. — Le proprietà della quadrica in discorso, rapidamente accennate da CLIFFORD nel 1873, trovarono un maggiore sviluppo nello scritto di KLEIN: «Zur Nicht-Euklidischen Geometrie.» [Math. Ann. t. XXXVII, p. 544-72, 1890].
  129. Cfr.: «Preliminary Sketch....». — Vedi pure il citato [nota 180] scritto di KLEIN: «Zur Nicht-Euklidischen Geometrie».
  130. Opera citata.
  131. Una trattazione sistematica del problema di CLIFFORD-KLEIN si trova nell'opera di W. KILLING: «Einführung in die Grundlagen der Geometrie.», Bd. I, p. 271-349 [Paderborn, 1893].