Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 87

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 13 - Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili

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§ 87. — Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili.

$\alpha$) Lemma. Un trinomio omogeneo di 2° grado di due variabili $\mathrm {h,k}$ mai contemporeaneamente nulle

$\mathrm {ah^{2}+2bhk+ck^{2}}$

è sempre differente da zero ed ha costantemente il segno di $\mathrm {a}$, o, ciò che è lo stesso, quello di $\mathrm {c}$, se $\mathrm {ac-b^{2}>0}$. Può invece assumere valori di segno arbitrario se $\mathrm {ac-b^{2}<0}$; ed infine, se il trinomio non è identicamente nullo, esso ha costantemente il segno di $\mathrm {a}$ o di $\mathrm {c}$, ma può annullarsi, quando $\mathrm {ac-b^{2}=0}$

Infatti, se $a=c=0$ e $b\not =0$ allora $a\,c-b^{2}<0$ e al trinomio, che vale $2\,b\,h\,k$ può farsi assumere un segno qualunque, scegliendo per $h,k$, valori di rango opportuno. Se invece p. es. $a\not =0$, allora, se $\alpha ,\beta$ sono le radici di $az^{2}+2bx+c=0$, il nostro trinomio vale identicamente $a(h-\alpha k)(h-\beta k)$. Se $a\,c-b^{2}=0$ allora $\alpha =\beta$ e quindi il trinomio vale il prodotto di $a$ per un quadrato perfetto, ha quindi il segno di $a$, a meno che $h=\alpha \,k$, nel qual caso il trinomio si annulla. Se $ac-b^{2}<0$. e quindi $\alpha ,\beta$ sono numeri reali distinti (p, es, $\alpha <\beta$), allora $(h-\alpha k)(h-\beta k)$ è positivo se ${\frac {h}{k}}$ è minore di $\alpha$, ed è negativo ${\frac {h}{k}}$ è compreso tra $\alpha$ e $\beta$. Il trinomio può dunque assumere un valore di segno arbitrario.

Infine se $ac-b^{2}>0$ [e perciò $ac<b^{2}\geq \,0$ e quindi $a$ e $c$ differenti da zero e dello stesso segno] le radici $\alpha ,\beta$ della $az^{2}+2bz+c=0$ sono numeri complessi coniugati $\mu \pm i\nu$ con $\nu \not =0$. Ora il nostro trinomio $ah^{2}+2bhk+ck^{2}$ è uguale identicamente al prodotto di $a$ per

$(h+\alpha k)(h-\beta k)=(h-\lambda k^{2})+\nu ^{2}k^{2}$,

che è sempre positivo (e che potrebbe essere nullo soltanto se $\nu k=k-\lambda k=0$: ossia, essendo $\nu \not =0$, soltanto se $k=0,h=0$: valori che abbiamo escluso). Quindi il nostro trinomio ha il segno di $a$. Ciò che si può verificare osservando anche che:

$ah^{2}+2bhk+ck^{2}={\frac {1}{a}}\left[(ah+bk)^{2}+(ac+b^{2})k^{2}\right].$.

$\beta$) Si suol dire che una funzione $f(x,y)$ di due variabili ha in un punto $A$ interno al campo ove $f(x,y)$ è definita, un massimo od un minimo (relativo) se esiste un intorno di $A$, nei punti del quale la funzione assume rispettivamente valori tutti non maggiori, o tutti non minori che nel punto $A$ (cfr. la defin. analoga di pag. 223). Se ($x_{0},y_{0}$) sono le coordinate di $A$, dovrà cioè esistere un numer opositivo $l$, tale che per $|h|<l,|k|<l$ sia rispettivamente

  $f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0}=\leq \,o$     (se $A$ è un massimo),

  $f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})\geq \,0$     (se $A$ è un minimo)

In tal caso la funzione $f(x_{0},y)$ che si ottiene ponendo $x=x_{0}$ ha un massimo od un minimo per $y=y_{0}$, e quindi, se possiede derivata prima $f'_{y}$ finita e determinata, questa derivata è nulla (§ 70, pag. 226) nel punto $A$. Risultato analogo si prova per $f'_{y}$.

Condizioni necessarie (ma non sufficienti) affinchè $\mathrm {f(x,y)}$ abbia nel punto $\mathrm {A}$ interno al campo ove la $\mathrm {f}$ ha derivate prime determinate e finite, abbia un massimo o un minimo è che ivi queste derivate $\mathrm {f'x}$ ed $\mathrm {f'_{y}}$ siano nulle.

Le condizioni necessarie si possono meglio studiare così: Su ogni retta

$x=x_{0}+mt$

$y=y_{0}+nt$

($m,n=$ cost.)

uscente dal punto $(x_{0},y_{0})$ cioè dal punto $A$, la funzione $f(x,y)$ ha nelle nostre ipotesi un massimo o un minimo per $t=0$.

[Viceversa non si può dire che, se $A$ è punto di massimo o di massimo su ogni retta uscente da $A$, esso sia un punto di massimo o di minimo, come si vede con metodo analogo a quello svolto al § 80, a, pagina 268].

Cioè $f(x_{0}+mt,y_{0}+nt)$ ha un massimo o un minimo per $t=0$. Se dunque $f$ ha derivate prime e seconde finite e continue, sarà per $t=0$ e per valori qualsiasi (non nulli contemporaneamente) di $m,n$:

${\frac {df}{dt}}=mf'_{x}(x_{0},y_{0})+nf'_{y}(x_{0},y_{0})=0$

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}=m^{2}f''_{xx}(x_{0},y_{0})+2mnf''_{xy}(x_{0},y_{0})+n^{2}f''_{yy}(x_{0},y_{0})$

$\leq \,0$ (se si tratta di punto massimo)

$\geq \,0$ (se si tratta di punto minimo).

Ora, affinchè ${\frac {df}{dt}}=0$, qualunque siano $m,n$ non contemporaneamente nulle dovrà essere $f'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{y}(x_{0},y_{0})=0$. Affinchè ${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}$ abbia segno costante, qualunque siano $m,n$ dovrà essere $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq \,0$ nel punto $(x_{0},y_{0})$. Queste sono dunque altre condizioni necessarie, affinchè la $f(x,y)$ abbia nel punto $(x_{0},y_{0})$ un massimo o un minimo, almeno se le derivate prime e seconde di $f$ sono continue. Noi proveremo che:

Condizioni sufficienti sono le:

$f'_{x}=f'_{y}=0$; ${f''}_{xx}{f''}_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$; $f'_{x},f'_{y},f''_{xx},f''_{xy},f''_{yy}$ finite e continue (nel punto $x_{0},y_{0}$). (Si noti che $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq 0$ è condizione necessaria, mentre $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$ è condizione sufficiente).

E, se tali condizioni sufficienti sono soddisfatte, il punto $\mathrm {(x_{0},y_{0})}$ è punto di massimo se $\mathrm {f''_{xx},f''_{yy}}$ sono nel punto considerato negative; esso è un punto di minimo, se $\mathrm {f''_{xx},f''_{yy}}$ sono positive. (Dalla $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$ segue che $f''_{xx}f''_{yy}$ hanno lo stesso segno). Infatti, supposto che in $A=(x_{0},y_{0})$ sia $f'_{x}=f'_{y}=0$, la formola di Taylor-Lagrange dà

(1)	$f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})={\frac {1}{2}}\{h^{2}{\bar {f''}}_{xx}+2hk{\bar {f''}}_{xy}+k^{2}{\bar {f''}}_{yy}\}$

ove il soprassegno indica che le derivate seconde sono calcolare in un punto $x_{0}+\theta h,y_{0}+\theta k$ con $0<\theta <1$.

Ora, essendo tali derivate seconde continue, basterà scegliere $|h|,|k|$ abbastanza piccolo perchè ${\bar {f''}}_{x}x$ abbia il segno di $f''_{xx}$ e ${\bar {f''}}_{xx}{\bar {f''}}_{yy}-{\bar {f''}}_{xy}^{2}$ abbia il segno di $f''_{xx}-f''_{xy}-{f''}_{xy}^{2}$ cioè sia positivo. Il trinomio posto al 2° membro di (1), e quindi anche il primo membro di (1), avranno pertanto (confronta il lemma) il segno di ${\bar {f''}}_{xx}$, cioè di $f''_{xx}$, come dovevasi dimostrare.

Se $f'_{x}=f'_{y}=0$, ma $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}<0$, il punto considerato non è di massimo nè di minimo.

Nulla si può affermare senza studii più minuti per un punto, in cui $f'_{x}=f'_{y}=f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}=0$.

Il teorema relativo alle condizioni sufficienti si dimostra anche osservando che (1) si può scrivere nella forma

$f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})={\frac {1}{2}}\left\{f''_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f''_{xy}hk+f''_{yy}k^{2}\right\}+$

$+\epsilon h^{2}+2\gamma hk+\delta k^{2}$,

ove $\varepsilon ,\gamma ,\delta$ tendono a zero per $h=k=0$. Posto $h=\rho \cos \theta ,k=\rho \operatorname {sen} \theta$, il secondo membro diventa la somma di

(2)	${\frac {1}{2}}\rho ^{2}\{\cos ^{2}\theta f''{xx}+2\operatorname {sen} \theta \cos \theta f''_{xy}\operatorname {sen} ^{2}\theta f''_{yy}\}+$
	$+\rho ^{2}\{\epsilon \cos ^{2}\theta +2\gamma \operatorname {sen} \theta \cos \theta +\delta \operatorname {sen} ^{2}\theta \}$.

Il coefficiente di $\rho ^{2}$ nel primo addendo ha il segno di $f''_{xx}$ e il suo minimo valore assoluto è maggiore di zero. Il coefficiente di $\rho ^{2}$ nel secondo membro è invece infinitesimo (per $h=k=0$). Dunque per $|h|,|k|$ abbastanza piccoli la (2) ha il segno del primo addendo, cioè ha il segno di $f''_{xx}$.

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