Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 131

by Guido Fubini

Capitolo 20 - Differenziali esatti e potenziale

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 20 - Differenziali esatti e potenziale

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§ 131. — Differenziali esatti e potenziale.

Siano $X,Y,Z$ tre funzioni finite e continue in un campo a tre dimensioni $\tau$ limitato da una superficie $\sigma$ e tale che, se $\mathrm {\Gamma }$ è una qualsiasi linea chiusa tracciata entro $\tau$, esista almeno una (e quindi infinite) superficie appartenente a $\tau$, avente $\Gamma$ per unico contorno, e passante per un punto qualsiasi $\mathrm {D}$ di $\tau$. Ciò avviene, p. es., se $\tau$ è un campo sferico, conico, ecc, Resta escluso invece, p. es., che $\tau$ sia un toro di rivoluzione.

Siano $A,B$ due punti qualunque di $\tau$, che congiungiamo con una linea $C$ tracciata entro $\tau$.

Quando avverrà che

$\int _{AB}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)$

non dipenda dalla particolare linea $C$ scelta, ma soltanto dalle $X,Y,Z$ e dalla posizione dei punti $A,B$? Sia $C'$ un'altra linea uscente da $A$ e terminata a $B$. Dovrà essere, se con $C_{1}$ indichiamo la $C'$ percorsa nel verso opposto (da $B$ ad $A$)

$\int _{C}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)=\int _{C'}(Z\,dx+Y\,dy+Z\,dz)$

                                                  $=-\int _{C'}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)$

ossia:

$\int _{C+C_{1}}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)=0$.

Ma $C+C_{1}$ costituisce in sostanza un'arbitraria linea chiusa appartenente al campo $\tau$. E quindi, se $\sigma$ è una qualunque superficie posta in $\tau$ e terminata a $C=C_{1}$, dovrà essere, con le notazioni del precedente paragrafo,

$\int _{\sigma }(X_{1}{\text{cos}}\,nx+Y_{1}\,{\text{cos}}\,ny+Z_{1}{\text{cos}}\,nz)d\sigma =0$,

dove $\sigma$ è in sostanza una qualunque superficie appartenente al campo $\tau$. Questa uguaglianza è un'identità soltanto se:

$X_{1}=Y_{1}=Z_{1}=0$,

ossia se:

${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}},\,\,\,\,\,$${\frac {\partial X}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial x}},\,\,\,\,\,$${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial y}}.\,\,\,$ (1)

In tal caso e in tal caso soltanto:

$V=\int _{A}^{B}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)$

non dipenderà dal cammino $C$ seguito per andare da $A$ e $B$. Teniamo fisso il punto $A$ e facciamo variare $B$ in $\tau$. Per ogni posizione di $B$ avremo uno e un solo valore $V(B)$ di $V$. Perciò $V$ sarà una funzione delle coordinate $x,y,z$ di $B$ nel campo $\tau$. Come al § 91 a pag. 304 possiamo dimostrare che il differenziale di tale funzione vale proprio $X\,dx+Y\,dy+Z\,dz$, cioè che:

Se il campo $\tau$ soddisfa alle condizioni enunciate, e in esso le $\mathrm {X,Y,Z}$ soddisfano alle (1), esiste una funzione $\mathrm {V}$, le cui derivate parziali del primo ordine sono $\mathrm {X,Y,Z}$, ossia che ha per differenziale $\mathrm {X\,dx+Y\,dy+Z\,,dz}$. Tale funzione $\mathrm {V}$ è, a meno del segno, il potenziale del vettore che ha per componenti $\mathrm {X,Y,Z}$.

Questo teorema ci era già noto (§ 92) in casi particolari.

Nel caso che il campo $\tau$ non soddisfacesse alle condizioni enunciate si potrebbe ancora dimostrare l'esistenza di una tale funzione $V$. Ma una tale funzione uscirebbe dal campo delle funzioni fin qui studiate, perchè in uno stesso punto avrebbe infiniti valori. Un esempio ben noto è quello del potenziale dovuto a una corrente elettrica.

Le precedenti considerazioni si applicano senz'altro anche al caso più semplice dei differenziali $X\,dx+Y\,dy$, dove $X,Y$ soddisfino alla ${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}}$ in un'area piana $\sigma$ col contorno di un solo pezzo; restano così estesi a tali aree $\sigma$ i teoremi della teoria dei differenziali esatti, di cui abbiamo discorso ai §§ 90-91</math>.