Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 46

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 7 - Serie di funzioni

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[p. 152 modifica]

§ 46. — Serie di funzioni.

Siano $f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),\cdots$ infinite funzioni determinate in un campo $T$ . Siano $M_{1},M_{2},M_{3},\cdots$ rispettivamente i limiti superiori dei loro moduli $|f_{(}x)|,|f_{2}(x)|,|f_{3}(x)|$ , ecc.

Se la serie di questi limiti superiori

[1] $M_{1}+M_{2}+M_{3}+\cdots$

converge, allora è convergente assolutamente anche la serie

$f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots$

in ogni punto del campo $T$ ¹.

Una tale serie $f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots$ si dirà totalmente convergente.

Se la costante $L_{n}$ non è inferiore ad alcuno dei valori delle $|f_{n}(x)|$ , e se la serie $L_{1}+L_{2}+L_{3}+\cdots$ converge, la serie $f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots$ è totalmente convergente.

Infatti dalle $L_{n}\geq |f_{n}(x)|$ si deduce $L_{n}\geq M_{n}$ . Dalla convergenza della serie delle $L$ si deduce quindi la onvergenza della serie delle $M$ , e quindi per definizione, la totale convergenza della serie delle $f_{(}x)$ .

Una serie totalmente convergente è (come abbiamo già osservato) anche assolutamente convergente. Il teorema reciproco non è generalmente vero.

Supponiamo che esista il $\lim _{x=a+}f_{1}(x)$ , che noi indicheremo con $l_{1}$ ².

È chiaramente $|l_{n}|\leq M_{n}$ ; e quindi la serie

[2] $l_{1}+l_{2}+l_{3}+\cdots$

converge assolutamente. Sia $M$ la somma di [1], e sia ε un numero piccolo a piacere. Esisterà un intero n così grande che

$M-(M_{1}+M_{2}+\cdots +M_{n})<{\frac {\epsilon }{3}}$

cioè

$M_{n+1}+M_{n+2}+M_{n+3}+\cdots <{\frac {\epsilon }{3}}$ .

[p. 153 modifica]Poichè $|f_{n}|\leq M_{n},|l_{n}|\leq M_{n}$ sarà pure

[3] $|f_{n+1}(x|+f_{n+2}(x)+f_{n+3}(x)+\cdots |{\frac {\epsilon }{3}}$ ,

[4] $|_{n+1}+l_{n+2}+l_{n+3}+\cdots |<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

D'altra parte poichè (§ 35, α, pag. 113)

$\lim _{x=\infty }(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})=(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n})$ ,

si p otrà trovare un intorno di a, in cui

[5] $|f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})-(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n})|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Cosicchè, in virtù delle [3], [4], [5], in questo intorno, sarà

$|(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}+f_{n+1}+\cdots )-(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}+l_{n+1}+\cdots )|\leq$

$\leq |(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})-(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n})|+$

$+|f_{n+1}+f_{n+2}+\cdots |+|l_{n+1}+l_{n+2}+\cdots |\leq \epsilon$ .

Dunque, dato un ε piccolo a piacere, esiste un intorno di a in cui vale questa disuguaglianza.

Per la definizione di limite avremo pertanto:

Se una serie di funzioni (reali o complesse) è totalmente convergente in un intorno del punto a, e se per $x=a$ i suoi termini ammettono un limite (certo finito), il limite della serie per $x=a$ è uguale alla serie dei limiti.

Ne segue tosto che: Se i termini di una serie totalmente convergente sono funzioni continue, la somma della serie è una funzione continua.

I precedenti teoremi valgono anche per le serie uniformemente convergenti, di cui la serie totalmente convergenti sono un caso particolare. Si dice che la serie $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots$ converge ed ha per somma $f(x)_{1}$ se, prefissato un $\epsilon >0$ piccolo a piacere, per ogni valore di $x$ nell'intervallo considerato esiste un intero m tale che per $n>m$ sia $|f(x)-[f_{1}(x)f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)]|<\epsilon$ .

Questo valore di m varia generalmente con $x$ ; ma se (comunque sia stato scelto ε) si può trovare un valore di m, tale che la precedente disuguaglianza valga per tutti i valori della $x$ , la serie si dice uniformemente convergente. In altre parole per una serie convergente il numero m è generalmente funzione di $x$ e di ε (che, al variare di $x$ , può anche avere $+\infty$ per limite superiore); per una serie uniformemente (in uguale grado) convergente si deve poter scegleire un m, che sia funzione della sola ε.

Questi teoremi si estendono senz'altro alla serie, i cui termini sono funzioni di più variabili; essi, si noti, sono affatto analoghi ai teoremi corrispondenti per le somme di un numero finito di funzioni. [p. 154 modifica]

Osservazione

Accanto alle serie i matematici hanno studiato altri algoritmi analoghi che hanno grande importanza per il teorico, e ben poca per l'ingegnere . Voglio alludere ai prodotti infiniti, alle frazioni continue illimitate, ai determinanti infiniti.

Così, p. es., dati infiniti numeri $u_{1},u_{2},u_{3},\cdots$ , ecc. si dice che il prodotto infinito $u_{1}u_{2}u_{3}\cdots$ converge ed ha il valore $p$ se il limite per $n=\infty$ del prodotto $p_{n}=u_{1}u_{2}\cdots u_{n}$ dei primi $n$ numeri $u$ esiste, è finito, ed è uguale a $p$ . Lo studio di un tale prodotto si può ridurre a quello di una serie, osservando che in particolare sarà $\log |p|=\log |u_{1}|+\log |u_{2}|+\cdots$ .

Note

↑ Infatti delle $|f_{n}|\leq M_{n}$ si deduce che per ogni valore di $x$ nel campo la serie $|f_{1}|+|f-2|+|f_{3}|+\cdots$ converge, e quindi (§ 45) la serie $f_{1}+f_{2}+f_{+}\cdots$ converge assolutamente.
↑ È inclusa l'ipotesi che la $x$ varii in $T$ ,e quindi anche che in ogni intorno destro di $a$ esistano punti di $T$ , distinti da $a$ .

[1] Infatti delle $|f_{n}|\leq M_{n}$ si deduce che per ogni valore di $x$ nel campo la serie $|f_{1}|+|f-2|+|f_{3}|+\cdots$ converge, e quindi (§ 45) la serie $f_{1}+f_{2}+f_{+}\cdots$ converge assolutamente.

[2] È inclusa l'ipotesi che la $x$ varii in $T$ ,e quindi anche che in ogni intorno destro di $a$ esistano punti di $T$ , distinti da $a$ .

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