[p. 188 modifica ]
§ 60. — Derivata logaritmica.
y
=
log
f
(
x
)
{\displaystyle y=\log f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
z
=
f
(
x
)
{\displaystyle z=f(x)}
y
=
log
z
{\displaystyle y=\log z}
z
=
f
(
x
)
{\displaystyle z=f(x)}
y
x
′
=
1
z
z
x
′
=
1
f
(
x
)
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'_{x}={\frac {1}{z}}z'_{x}={\frac {1}{f(x)f'(x)}}}
La derivata del logaritmo di una funzione derivabile f(x)>0 o, come si suol dire, la derivata logaritmica di f(x) si ottiene dividendo la derivata f'(x) d f(x) per la stessa funzione f(x).
Viceversa sia
y
=
e
φ
(
x
)
{\displaystyle y=e^{\varphi (x)}}
φ
(
x
)
=
log
y
{\displaystyle \varphi (x)=\log y}
y
=
e
z
{\displaystyle y=e^{z}}
z
=
φ
(
x
)
{\displaystyle z=\varphi (x)}
y
x
′
=
y
z
′
z
x
′
=
e
x
φ
′
(
x
)
{\displaystyle y'_{x}=y'_{z}z'_{x}=e^{x}\varphi '(x)}
y
′
x
=
y
φ
′
(
x
)
{\displaystyle y'x=y\varphi '(x)}
Se il logaritmo di una funzione è derivabile), la derivata della funzione è uguale alla derivata del suo logaritmo moltiplicata per la funzione stessa.
Quest'ultimo teorema è spesso molto utile, perchè è talvolta più facile derivare il logaritmo di una funzione che la funzione stessa.
Se ne deduce che la derivata di
e
e
x
{\displaystyle e^{e\,x}}
c
e
e
x
{\displaystyle ce^{e\,x}}
vale anche se la costante e è complessa (così che risulta [p. 189 modifica ]
c
=
a
+
i
b
{\displaystyle c=a+ib}
e
e
x
=
e
a
x
(
cos
b
x
+
i
sen
b
x
)
{\displaystyle e^{ex}=e^{ax}({\text{cos}}\,bx+i\,{\text{sen}}\,bx)}
y
=
x
n
{\displaystyle y=x^{n}}
Ris.
log
y
=
n
log
x
,
(
log
y
)
x
′
=
n
x
,
y
x
′
=
x
n
n
x
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle \log \,y=n\,\log \,x,\,(\log \,y)'_{x}={\frac {n}{x}},y'_{x}=x^{n}{\frac {n}{x}}=nx^{n-1}}
Questo risultato fondamentale era stato già da noi dimostrato per
n
{\displaystyle n}
x
≤
o
{\displaystyle x\,\leq \,o}
2° Si derivi
y
=
[
f
(
x
)
]
n
{\displaystyle y=[f(x)]^{n}}
Ris.
log
y
=
n
log
f
(
x
)
;
(
log
y
)
x
′
=
n
[
log
f
(
x
)
]
′
;
x
=
n
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle \log \,y=n\,\log \,f(x);(\log \,y)'_{x}=n[\log \,f(x)]';x=n{\frac {f'(x)}{f(x)}}}
y
x
′
=
m
y
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
n
[
f
(
x
)
]
n
−
1
{\displaystyle y'_{x}=my{\frac {f'(x)}{f(x)}}=n[f(x)]^{n-1}}
f
(
x
)
≤
0
{\displaystyle f(x)\,\leq \,0}
Con altro e più semplice metodo si ponga
z
=
f
(
x
)
{\displaystyle z=f(x)}
y
=
z
n
,
z
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=z^{n},z=f(x)}
y
x
′
=
n
z
n
−
1
z
x
′
=
n
[
f
(
x
)
]
n
−
1
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'_{x}=nz^{n-1}\,z'_{x}=n[f(x)]^{n-1}f'(x)}
Anche questa formola ci era già nota per il caso di
n
{\displaystyle n}
3° Si derivi
y
=
[
f
(
x
)
]
φ
(
x
)
{\displaystyle y=[f(x)]^{\varphi (x)}}
Si ha
log
y
=
φ
(
x
)
log
f
(
x
)
{\displaystyle \log \,y=\varphi (x)\,\log \,f(x)}
y
x
′
=
f
φ
[
φ
(
x
)
log
f
(
x
)
)
]
x
′
=
f
φ
{
φ
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
φ
′
(
x
)
log
f
(
x
)
}
{\displaystyle y'_{x}=f^{\varphi }[\varphi (x)\,\log \,f(x))]'_{x}=f^{\varphi }{\begin{Bmatrix}\varphi \,{\frac {f'(x)}{f(x)}}+\varphi '(x)\,\log \,f(x)\end{Bmatrix}}}
Si possono riassumere così i precedenti risultati:
Se
y
{\displaystyle y}
è una funzione della
x
{\displaystyle x}
, che si può calcolare con somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamenti a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche, e trigonometriche, altrettanto avviene generalmente per
y
′
{\displaystyle y'}
[p. 190 modifica ]
Il calcolo di
y
′
{\displaystyle y'}
QUADRO DELLE REGOLE DI DERIVAZIONE.
FUNZIONE
DERIVATA
y
=
φ
(
x
)
±
ψ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)\pm \psi (x)}
y
′
=
φ
′
(
x
)
±
ψ
′
(
x
)
{\displaystyle y'=\varphi '(x)\pm \psi '(x)}
y
=
φ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)\psi (x)}
y
′
=
φ
′
(
x
)
ψ
(
x
)
+
φ
(
x
)
ψ
′
(
x
)
{\displaystyle y'=\varphi '(x)\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)}
y
=
1
φ
(
x
)
{\displaystyle y={\frac {1}{\varphi (x)}}}
y
′
=
−
φ
′
(
x
)
[
φ
(
x
)
]
2
{\displaystyle y'=-{\frac {\varphi '(x)}{\left[\varphi (x)\right]^{2}}}}
y
=
ψ
(
x
)
φ
(
x
)
{\displaystyle y={\frac {\psi (x)}{\varphi (x)}}}
y
=
ψ
′
(
x
)
φ
(
x
)
−
ψ
(
x
)
φ
′
(
x
)
[
φ
(
x
)
]
2
{\displaystyle y={\frac {\psi '(x)\varphi (x)-\psi (x)\varphi '(x)}{\left[\varphi (x)\right]^{2}}}}
y
=
f
(
x
)
,
x
=
φ
(
y
)
{\displaystyle y=f(x),x=\varphi (y)}
f
′
(
x
)
φ
′
(
y
)
=
1
{\displaystyle f'(x)\varphi '(y)=1}
y
=
f
(
z
)
,
z
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=f(z),z=\varphi (x)}
y
x
′
=
f
′
(
z
)
φ
(
x
)
=
y
z
′
z
x
′
{\displaystyle y'_{x}=f'(z)\varphi (x)=y'_{z}z'_{x}}
(1)
y
=
log
e
z
{\displaystyle y=\log _{e}{z}}
y
=
e
z
{\displaystyle y=e^{z}}
1
(1)
y
′
=
1
z
z
′
{\displaystyle y'={\frac {1}{z}}z'}
y
′
=
e
z
z
x
′
=
y
z
x
′
{\displaystyle y'=e^{z}z'_{x}=yz'_{x}}
y
=
φ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)^{\psi (x)}}
y
′
=
φ
(
x
)
ψ
(
x
)
[
ψ
′
(
x
)
log
φ
(
x
)
+
ψ
(
x
)
φ
(
x
)
φ
(
x
)
]
{\displaystyle y'=\varphi (x)^{\psi (x)}\left[\psi '(x)\,\log \,\varphi (x)+\psi (x){\frac {\varphi (x)}{\varphi (x)}}\right]}
QUADRO DELLE DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI.
FUNZIONE
DERIVATA
y
=
costante
{\displaystyle y={\text{costante}}}
y
′
=
0
{\displaystyle y'=0}
y
=
x
m
{\displaystyle y=x^{m}}
y
′
=
m
x
m
−
1
{\displaystyle y'=mx^{m-1}}
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
y
′
=
1
2
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
y
=
sen
x
{\displaystyle y=\operatorname {sen} {x}}
y
′
=
cos
x
{\displaystyle y'=\cos {x}}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos {x}}
y
′
=
−
sen
x
{\displaystyle y'=-\operatorname {sen} {x}}
y
=
tang
x
{\displaystyle y={\text{tang}}\,x}
y
′
=
1
cos
2
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}
y
=
cot
x
{\displaystyle y=\cot {x}}
y
′
=
−
1
sen
2
x
{\displaystyle y'=-{\frac {1}{\operatorname {sen} ^{2}{x}}}}
y
=
log
x
{\displaystyle y=\log {x}}
y
′
=
1
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{x}}}
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}{x}}
y
′
=
1
x
log
a
e
{\displaystyle y'={\frac {1}{x}}\log _{a}{e}}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
y
′
=
a
x
log
e
a
{\displaystyle y'=a^{x}\log _{e}{a}}
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
y
′
=
e
x
{\displaystyle y'=e^{x}}
y
=
arc
sen
cos
x
{\displaystyle y={\text{arc}}{\begin{matrix}\operatorname {sen} \\\cos \end{matrix}}x}
y
′
=
±
1
1
−
x
2
{\displaystyle y'=\pm {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
y
=
arc tang
x
{\displaystyle y={\text{arc tang}}\,x}
y
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle y'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
[p. 191 modifica ]
ALTRE DERIVATA NOTEVOLI (a=cost.).
y
=
cost
{\displaystyle y={\text{cost}}}
y
′
=
0
{\displaystyle y'=0}
y
=
[
f
(
x
)
]
n
{\displaystyle y=[f(x)]^{n}}
y
′
=
n
[
f
(
x
)
]
n
−
1
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'=n[f(x)]^{n-1}f'(x)}
y
=
x
n
{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}
y
′
=
1
n
1
n
x
a
−
1
n
{\displaystyle y'={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{a-1}}}}}}
y
=
arctg
x
a
{\displaystyle y={\text{arctg}}{\frac {x}{a}}}
y
′
=
a
x
2
+
a
2
{\displaystyle y'={\frac {a}{x^{2}+a^{2}}}}
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
y
′
=
1
2
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
y
=
arcsen
x
a
{\displaystyle y={\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}}
y
′
=
1
a
2
−
x
2
{\displaystyle y'={\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}
y
=
f
(
x
)
n
{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{f(x)}}}
y
′
=
f
′
(
x
)
n
f
)
x
=
n
−
1
n
{\displaystyle y'={\frac {f'(x)}{n{\sqrt[{n}]{f)x=^{n-1}}}}}}
y
=
a
φ
(
x
)
{\displaystyle y=a\,\varphi \,(x)}
y
′
=
a
φ
′
(
x
)
{\displaystyle y'=a\,\varphi '(x)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {f(x)}}}
y
′
=
1
2
f
(
x
)
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {f(x)}}}}f'(x)}
![{\displaystyle y=[f(x)]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6f5ec4af5ed680e20afdbce6089aec1c169e9c)
![{\displaystyle \log \,y=n\,\log \,f(x);(\log \,y)'_{x}=n[\log \,f(x)]';x=n{\frac {f'(x)}{f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f6c1bbb2848788eade4beb331d993c075ed02f)
![{\displaystyle y'_{x}=my{\frac {f'(x)}{f(x)}}=n[f(x)]^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda86fe29515781c76128c63e7d33004a62681b6)
![{\displaystyle y'_{x}=nz^{n-1}\,z'_{x}=n[f(x)]^{n-1}f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2af1d399e8d0239a5594b875bae63e3a241844b)
![{\displaystyle y=[f(x)]^{\varphi (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0def757c17c5561c78644929e4dde50f13b513bb)
![{\displaystyle y'_{x}=f^{\varphi }[\varphi (x)\,\log \,f(x))]'_{x}=f^{\varphi }{\begin{Bmatrix}\varphi \,{\frac {f'(x)}{f(x)}}+\varphi '(x)\,\log \,f(x)\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074bb5a5120c9f5a436b4ff37c1f902866f2a015)
![{\displaystyle y'=-{\frac {\varphi '(x)}{\left[\varphi (x)\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4684a6e9c11e6a96e5d50ac99ea79eb3484abc)
![{\displaystyle y={\frac {\psi '(x)\varphi (x)-\psi (x)\varphi '(x)}{\left[\varphi (x)\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de9be4fb9cd50a6b821edc4698f7b94b72b5567)
![{\displaystyle y'=\varphi (x)^{\psi (x)}\left[\psi '(x)\,\log \,\varphi (x)+\psi (x){\frac {\varphi (x)}{\varphi (x)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28e0bbc9e750e87e9a124fb6e92318db16b0431)
![{\displaystyle y'=n[f(x)]^{n-1}f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c38e225b552c8a9813391ea81dd508c560fded)
![{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c948f50917ced2d3036c8c5edc92ee14a6b43a)
![{\displaystyle y'={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{a-1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096db7dea630f73a1aa966e3ea535e2908f38ae9)
![{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f95a0b034a723ecb28bd173c1dc1f034709e77e)
![{\displaystyle y'={\frac {f'(x)}{n{\sqrt[{n}]{f)x=^{n-1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f96832c27de9d14a5b37180c5b82729b280de6d)
