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DERIVATE, DIFFERENZIALI

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zione $\varphi (y)$ della $y$ (per $y$ appartenente all'intervallo $\beta$. In altre parole in tali intervalli le

                              $y=f(x)$          ,          $x=\varphi (y)$

definiscono una stessa curva. Queste funzioni si diranno inverse l'una dell'altra. Così, p. es., avviene della coppia di funzioni

                    $y=\log _{a}x$          ,          $x=a^{y}$     $(a>0;a\not =1)$

[intervallo $\alpha =(0,+\infty )$]               [intervallo $\beta =(-\infty ,+\infty )$]

                    $y={\sqrt[{n}]{x}}$                    $x=y^{n}$($n$ intero positivo dispari)

[intervallo $\alpha =(-\infty ,+\infty )$]               [intervallo $\beta =(-\infty ,+\infty )$]

                    $y={\sqrt[{n}]{x}}$                    $x=y^{n}$($n$ intero positivo pari)

[intervallo $\alpha =(0,\infty )$]               [intervallo $\beta =(0,+\infty )$].

(In questi intervalli si debbono trascurare gli estremi, eccetto l'estremo $0$ dell'ultimo esempio).

Nell'ultimo esempio si suppone $x>0$, affinchè il simbolo ${\sqrt[{x}]{n}}$ non sia privo di significato; e si suppone $y={\sqrt[{n}]{x}}>0$, perchè altrimenti a un valore della $x$ corrisponderebbero due valori distinti per la $y$.

Supposte continue entrambe le $f(x),\varphi (y)$, e supposto che $f'(x)$ esista e sia differenze da zero, si vuol calcolare $\varphi '(y)$. Evidentemente per ipotesi l'incremento $\Delta x$ dato alla $x$ individua l'incremento $\Delta y$ dato alla $y$; e viceversa. Di più (per la supposta continuità delle $f,\varphi$), gli incrementi $\Delta x,\Delta y$ tendono contemporaneamente a zero¹. ora:

$\varphi '(y)=\lim _{\Delta y=0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=\lim _{\Delta y=0}{\frac {1}{\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}}={\frac {1}{\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}}$.

Poichè $\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ esiste ed è uguale a $f'(x)\not =0$, se ne deduce:

$\varphi '(y)={\frac {1}{f'(x)}}$.

Cioè, nelle nostre ipotesi, la derivata φ'(x) è il numero reciproco di f'(x); e viceversa. Così, p. es., si verifica, posto

1. Le ipotesi si possono ridurre. Così, p. es., nel Capitolo dedicato alla teoria delle funzioni implicite, si vedrà che, se $y=f(x)$ possiede derivata $f'(x)$ differente da zero per $x=a$, e se $b=f(a)$, allora esiste una funzione $x$ della $y$, uguale ad $a$ per $y=b\left({\text{che ha in tale punto una derivata proprio}}{\frac {1}{f'(a)}}\right)$, che è quindi continua per $y=b$ e soddisfa alla $y=f(x)$. Si noti che: Se y è funzione continua della x nell'intervallo α, se essa è sempre crescente o sempre decrescente, allora la x è funzione continua della y nell'intervallo β corrispondente.