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numeri reali

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Il simbolo $p$, $n_{1}\;n_{2}\;n_{3}$..... ottenuto scrivendo dopo l'intero $p$ successivamente le cifre $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, ..... si chiama numero irrazionale, e si assume come misura di $N$. Esso è un numero decimale illimitato non periodico (perchè altrimenti $N$ sarebbe commensurabile con $M$).

Ogni segmento N determina così la sua misura; segmenti uguali hanno misure uguali.

Viceversa due segmenti aventi misure uguali sono uguali.

Infatti, se $n$ è un intero qualsiasi, i due segmenti contengono lo stesso numero di volte la $(10^{n})^{esima}$ parte di $M$ (cioè il segmento $\zeta$ ottenuto dividendo $M$ in $10^{n}$ parti uguali). La differenza $\delta$ dei due segmenti dati non può perciò superare $\zeta$; e ciò, qualunque sia $n$. Ma, se $\delta$ non è zero, io posso prendere $n$ così grande che $\zeta <\delta$¹. Ciò che contraddirebbe al già dimostrato. Quindi $\delta =0$, e i due segmenti sono uguali.

Il postulato della continuità della retta ci assicura poi che:

Ogni numero decimale limitato o no è misura di un segmento N (e soltanto dei segmenti uguali a questo).

Vi è dunque una corrispondenza biunivoca tra i segmenti $N$ di una retta ed i numeri razionali o no (quando segmenti uguali si considerino come non distinti).

Tutti i numeri fin qui definiti diconsi positivi.

Di due numeri (razionali o irrazionali) positivi disuguali si naturalmente maggiore quello che misura segmento maggiore. È facile trasformare questa definizione. Se, per semplicità, escludiamo i numeri le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a nove, sostituendoli con altri, le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a zero, troviamo, come è ben noto:

Il numero p è maggiore del numero q se

1. la parte intera di p supera la parte intera di q oppure, se
2. le parti intere di p, q sono uguali, ma la prima cifra decimale di p supera l’omologa di q oppure, se
3. i numeri p, q sono uguali fino alle n^esima cifra decimale, ma la $({\text{n}}+1)^{\text{esima}}$ cifra decimale di p supera l’omologa di q.

Non insistiamo sulle altre ben note proprietà delle disuguaglianze.

Secondo le nostre convenzioni, il numero non è che un simbolo per indicare il rapporto di due grandezze di una stessa classe di grandezze (per cui si può porre il problema della misura). Cosicchè al numero e all’algebra dei numeri potremmo

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1. E ciò in virtù del postulato di Archimede