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capitolo xx — § 127

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CAPITOLO XX.

INTEGRALI CURVILINEI E SUPERFICIALI

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§ 127. — Intgerali curvilinei e potenziale - Prime definizioni.

Ricordiamo la definizione già posta al § 91, pag. 302, e le osservazioni dell'es. 4° a pag. 332, § 100. Siano:

                              $x=f(t)$,     $y=y(t)$,     $z=z(t)$

                              per $a\leq \,t\leq \,b$               ($a,b=$ cost.).

le equazioni parametriche di un arco $C$ di curva; e siano $x'(t),y'(t),z'(t)$ continue nell0'intervallo considerato.

I seguenti risultati si estendono facilmente anche al caso di una curva $C$ con un numero finito di punti angolari (in cui le derivate a destra delle $x,y,z$ e non coincidono con le derivate a sinistra).

Sia $X(x,y,z)$ una funzione continua delle $x,y,z$ in un campo $D$ contenute all'interno della curva $C$.

La $X[x(t),y(t),z(t)]$ er $a\leq \,t\leq \,b$ ci dà i valori assunti da $X$ nei punti di $C$. Se condo le definizioni poste nei citati paragrafi, con $\int _{C}\,Xdx$ indichiamo lo:

(1)                               $\int _{a}^{b}\,X[x(t),y(t),z(t)]x'\,(t)\,dt$.

QUesto integrale rappresenta il valore relativo all'arco $C$ di una funzione additiva dei pezzi della curva considerata; e precisamente di quella funzione additiva, la cui derivata è $\mathrm {X}$ quando si assuma come misura di un pezzo di tale curva la lunghezza della sua proiezione sull'asse delle $\mathrm {x}$ (supposto che questa proiezione sia in corrispondenza biunivoca coi punti del pezzo di curva considerato).

Pertanto, se sono dati gli assi coordinati, tale integrale è perfettamente determinato dalla funzione $X$ e dell'arco $C$; ed esso cambia evidentemente si segno invertendo gli estremi $A,B$ di tale arco.

Del resto, se $x={\bar {x}}(\tau ),y={\bar {y}}(\tau ),z={\bar {z}}(\tau )$ sono ($\alpha \leq \,\tau \leq \,\beta$) altre equazioni parametriche dell'arco stesso, esiste corrispondenza biunivoca tra i valori di $t$ e $\tau$, in guisa che valori corrispondenti delle $t,\tau$, individuano lo stesso punto della curva.