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capitolo iv - § 11

CAPITOLO IV.

POLINOMII ED EQUAZIONE ALGEBRICHE

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§ 11. — Calcolo combinatorio. Prodotti di binomii e formola del binomio.

$\alpha$) Ricordiamo rapidamente una ben nota formola di calcolo combinatorio.

Sia ${\binom {n}{h}}$ il numero delle combinazioni di $n$ oggetti ad $h$ ad $h$, cioè il numero dei modi possibili, in cui possiamo scegliere un gruppo di $h$ elementi tra $n\geq h$ elementi prefissati.

Per $h=1$ è evidentemente ${\binom {n}{1}}=n$. Se poi $G_{h-1}$ è un gruppo di $h-1$ elementi scelti tra i dati, noi potremo dedurne un gruppo $G_{h}$ di $h$ elementi, aggiungendo a $G_{h-1}$ uno dei residui $n-(h-1)$ elementi; otteniamo così da ogni $G_{h-1}$ proprio $n-(h-1)$ gruppi $G_{h}$. Operando però in tal modo sui vari $G_{h-1}$, otteniamo ogni $G_{h}$ precisamente $h$ volte, perchè ogni $G_{h}$ contiene $h$ gruppi $G_{h-1}$. Perciò il numero ${\binom {n}{h}}$ dei $G_{h}$ è uguale al prodotto di ${\frac {n-(h-1)}{h}}$ per il numero ${\binom {n}{h-1}}$ dei $G_{h-1}$. Quindi

${\binom {n}{1}}=n={\frac {n}{1}}$; ${\binom {n}{2}}={\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{1}}={\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}$;
${\binom {n}{3}}={\frac {n-2}{3}}{\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}$; eccetera
${\binom {n}{h}}={\frac {n(n-1)(n-2)\dotsb [n-(h-1)]}{\lfloor {\underline {h}}}}$.	(1)