Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Definizioni relative alle linee piane

Art. 5. Definizioni relative alle linee piane

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 5. Definizioni relative alle linee piane

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Teoria dell'involuzione

Punti e tangenti comuni a due curve

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28. Una linea piana può considerarsi generata dal movimento <continuo> di un punto o dal movimento di una retta: nel primo caso, essa è il luogo di tutte le posizioni del punto mobile; nel secondo, essa è l'inviluppo delle posizioni della retta mobile.

Una retta, considerata come luogo de' punti situati in essa, è il più semplice esempio della linea-luogo.

Un punto, risguardato come inviluppo di tutte le rette incrociantisi in esso, è il caso più semplice della linea-inviluppo.

Un luogo dicesi dell'ordine $n$, se una retta qualunque lo incontra in $n$ punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti). Il luogo di primo ordine è la retta. Un sistema di $n$ rette è un luogo dell'ordine $n$. Due luoghi, i cui ordini siano rispettivamente $n,\, n'$ formano insieme un luogo dell'ordine $n + n'$.

Un luogo dell'ordine $n$ non può, in virtù della sua definizione, essere incontrato da una retta in più di $n$ punti. Dunque, se un tal luogo avesse con una retta più di $n$ punti comuni, questa sarebbe parte di quello, cioè tutt' i punti della retta apparterrebbero al luogo.

Una linea curva di dato ordine si dirà semplice, quando non sia composta di linee d'ordine inferiore.

Un inviluppo dicesi della classe $n$, se per un punto qualunque passano $n$ posizioni della retta inviluppante, ossia $n$ rette tangenti (reali, imaginarie, distinte o coincidenti). L'inviluppo di prima classe è il punto. Un sistema di $n$ punti è un inviluppo della classe $n$. Due inviluppi, le cui classi siano $n, \, n'$, costituiscono, presi insieme, un inviluppo della classe $n + n'$.

Se ad un inviluppo della classe $n$ arrivano più di $n$ tangenti da uno stesso punto, questo appartiene necessariamente a quell' inviluppo, cioè tutte le rette condotte pel punto sono tangenti dell'inviluppo medesimo.

Una curva-inviluppo di data classe si dirà semplice, quando non sia composta di inviluppi di classe minore.

29. Consideriamo una curva-luogo dell'ordine $n$. Se $a$ è una posizione del punto generatore, ossia un punto della curva, la retta $A$ che passa per $a$ e per la successiva posizione del punto mobile è la tangente alla curva in quel punto. Cioè, la curva luogo

delle posizioni di un punto mobile è anche l'inviluppo delle rette congiungenti fra loro le successive posizioni del punto medesimo.

Nel punto di contatto $a$ la curva ha colla tangente $A$ due punti comuni (contatto bipunto); quindi le due linee avranno, in generale, altri $n - 2$ punti d'intersecazione. Se due di questi $n - 2$ punti coincidono in un solo $b$, la retta $A$ sarà tangente alla curva anche in $b$. In tal caso, la retta $A$ dicesi tangente doppia; $a$ e $b$ sono i due punti di contatto.

Invece, se una delle $n - 2$ intersezioni s'avvicina infinitamente ad $a$, la retta $A$ avrà ivi un contatto tripunto colla curva. In tal caso, la retta $A$ dicesi tangente stazionaria, perchè, se indichiamo con $a,\, a',\, a''$ i tre punti infinitamente vicini che costituiscono il contatto, essa rappresenta due tangenti successive $aa',\, a'a''$; e può anche dirsi ch'essa sia una tangente doppia, i cui punti di contatto $a,\, a'$ sono infinitamente vicini. Ovvero: se la curva si suppone generata dal movimento di una retta, quando questa arriva nella posizione $A$ cessa di ruotare in un senso, si arresta e poi comincia a ruotare nel senso opposto. Il punto di contatto $a$ della curva colla tangente stazionaria chiamasi flesso, perchè ivi la retta $A$ tocca e sega la curva, onde questa passa dall'una all'altra banda della retta medesima.

30. Consideriamo ora una curva-inviluppo della classe $m$. Se $A$ è una posizione della retta generatrice, cioè una tangente della curva, il punto $a$ ove $A$ è incontrata dalla tangente successiva, è il punto in cui la retta $A$ tocca la curva. Quindi la curva inviluppo di una retta mobile è anche il luogo del punto comune a due successive posizioni della retta stessa.

Per un punto qualunque si possono condurre, in generale, $m$ tangenti alla curva. Ma se si considera un punto $a$ della curva, due di quelle $m$ tangenti sono successive, cioè coincidono nella tangente $A$. Quindi per a passeranno, inoltre, $m - 2$ rette tangenti alla curva in altri punti.

Se due di queste $m - 2$ tangenti coincidono in una sola retta $B$, la curva ha in $a$ due tangenti $A, \, B$, cioè passa due volte per $a$, formando ivi un nodo; le rette $A$ e $B$ toccano in $a$ i due rami di curva che ivi s'incrociano. In questo caso, il punto $a$ dicesi punto doppio.

Invece, se una delle $m - 2$ tangenti coincide con $A$, questa retta rappresenta tre

tangenti successive $A,\, A',\, A''$, ed il punto $a$ può considerarsi come un punto doppio, le cui tangenti $A,\, A'$ coincidano (cioè, il cui nodo sia ridotto ad un punto). Nel caso che si considera, il punto $a$ dicesi cuspide o regresso o punto stazionario, perchè esso rappresenta l'intersezione della tangente $A$ con $A'$ e di $A'$ con $A''$; ossia perchè, se s'imagina la curva generata da un punto mobile, quando questo arriva in $a$ si arresta, rovescia la direzione del suo moto e quindi passa dalla parte opposta della tangente $A$ (tangente cuspidale).

Dalle formole di Plücker, che saranno dimostrate in seguito (Art. XVI), si raccoglie che una curva-luogo di dato ordine non ha in generale punti doppi nè cuspidi, bensì tangenti doppie e flessi; e che una curva-inviluppo di data classe è in generale priva di tangenti singolari, ma possiede invece punti doppi e punti stazionari.

Però, se la curva è di natura speciale, vi potranno anche essere punti o tangenti singolari di più elevata moltiplicità. Una tangente si dirà multipla secondo il numero $r$, ossia $(r)$^pla, quando tocchi la curva in $r$ punti, i quali possono essere tutti distinti, o in parte o tutti coincidenti. Un punto si dirà $(r)$^pla, quando per esso la curva passi $r$ volte, epperò ammetta ivi $r$ tangenti tutte distinte, ovvero in parte o tutte sovrapposte.

31. Se una curva ha un punto $(r)$^pla $a$, ogni retta condotta per $a$ sega ivi $r$ volte la curva, onde il punto $a$ equivale ad $r$ intersezioni della retta colla curva. Ma se la retta tocca uno de' rami della curva, passanti per $a$, essa avrà in comune con questa anche quel punto di esso ramo che è successivo ad $a$; cioè questo punto conta come <almeno> $r+1$ intersezioni della curva colla tangente. Dunque, fra tutte le rette condotte per $a$ ve ne sono al più $r$ (le tangenti agli $r$ rami) che segano ivi la curva in $r+1$ punti coincidenti; epperò, se vi fossero $r+1$ rette dotate di tale proprietà, questa competerebbe ad ogni altra retta condotta per $a$, cioè $a$ sarebbe un punto multiplo secondo il numero $r+1$.

Analogamente: se una curva ha una tangente $A$ multipla secondo $r$, questa conta per $r$ tangenti condotte da un punto preso ad arbitrio in essa, ma conta per <almeno> $r+1$ tangenti rispetto a ciascuno de' punti di contatto della curva con $A$. Cioè da ogni punto di $A$ partono $r$ tangenti coincidenti con $A$; e vi sono al più $r$ punti in questa retta, da ciascun de' quali partono $r+1$ tangenti coincidenti colla retta stessa. Onde, se vi fosse un punto di più, dotato di tale proprietà, questa spetterebbe a tutt' i punti di $A$, e per conseguenza questa retta sarebbe una tangente multipla secondo $r+1$.

Da queste poche premesse segue che:

Se una linea dell'ordine $n$ ha un punto $(n)$^plo $a$, essa non è altro che il sistema di $n$ rette concorrenti in $a$. Infatti, la retta che unisce $a$ ad un altro punto qualunque del luogo ha, con questo, $n + 1$ punti comuni, epperò fa parte del luogo medesimo. Così, se un inviluppo della classe $m$ ha una tangente $(m)$^pla, esso è il sistema di $m$ punti situati sopra questa retta.

Una curva semplice dell'ordine $n$ non può avere, oltre ad un punto $(n - 1)$^plo, anche un punto doppio, perchè la retta che unisce questi due punti avrebbe $n +1$ intersezioni comuni colla curva. Analogamente, una curva semplice della classe $m$ non può avere una tangente $(m - 1)$^pla ed inoltre un'altra tangente doppia, perchè esse rappresenterebbero $m +1$ tangenti concorrenti nel punto comune alle medesime.

Note