La geometria non-euclidea/Capitolo I/Il postulato delle parallele presso i geometri greci

by Roberto Bonola

Il postulato delle parallele presso i geometri greci

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Roberto Bonola - La geometria non-euclidea (1906)

Il postulato delle parallele presso i geometri greci

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Capitolo I

Capitolo I - Il postulato delle parallele presso gli arabi

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IL POSTULATO DELLE PARALLELE PRESSO I GEOMETRI GRECI

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§ 1. Euclide [330-275 circa a. C.] chiama parallele due rette coplanari che prolungate comunque non s'incontrano [Def. XXIII]¹. Dimostra [Prop. XXVII, XXVIII] che due rette che formano con una loro trasversale angoli alterni interni uguali, ovvero angoli corrispondenti uguali, od angoli interni da una stessa parte supplementari sono parallele. Per dimostrare poi le inverse di queste proposizioni Euclide si giova del seguente postulato [V]:

Se una linea retta, cadendo sopra due altre, fa gli angoli interni da una medesima parte la cui somma sia minore di due retti, quelle due prolungate da questa parte si incontrano.

La teoria euclidea delle parallele è poi completata dai seguenti teoremi:

Linee rette parallele ad una stessa retta sono parallele fra loro [Prop. XXX].

Per un punto dato si può tracciare una sola retta parallela ad una retta data [Prop. XXXI].

Segmenti compresi fra segmenti uguali e paralleli sono uguali e paralleli [Prop. XXXII].

Dall'ultimo teorema si deduce l'equidistanza di due parallele. Fra le conseguenze più notevoli di questa teoria si trovano il noto teorema sulla somma degli angoli d'un triangolo e le proprietà delle figure simili.

§ 2. Fino i più antichi commentatori del testo euclideo ritennero che il V postulato non fosse abbastanza evidente per accettarlo senza dimostrazione, per cui essi cercarono di dedurlo come conseguenza di altre proposizioni. Per raggiungere lo scopo sostituirono talvolta la definizione euclidea di parallele, di forma grammaticale negativa, con altre definizioni, che non presentano detta forma, ritenuta difettosa.

Proclo [410-485], nel suo Commento al I libro di Euclide² , ci trasmette preziose notizie circa i primi tentativi fatti in proposito. Riferisce, ad esempio, che Posidonio [I° secolo a. C.] aveva proposto di chiamare parallele due rette coplanari ed equidistanti. Questa definizione e quella euclidea corrispondono però a due fatti che possono presentarsi separatamente, e Proclo [pag. 177], riferendosi ad una trattazione di Gemino [1° sec. a. C.] adduce in proposito gli esempi dell'iperbole, della concoide e del loro comportarsi rispetto ai relativi asintoti, per far vedere che vi potrebbero essere linee parallele nel senso euclideo, cioè linee che prolungate all'infinito non s'incontrano, e tuttavia non parallele nel senso di Posidonio, cioè non equidistanti.

Tale fatto è qualificato da Gemino, sempre al dire di Proclo, come il più paradossale [παραδοξότατον] di tutta la geometria.

Volendo poi accordare la definizione euclidea con quella di Posidonio è necessario dimostrare che due rette coplanari che non s’incontrano sono equidistanti; ovvero che il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta. Per tale dimostrazione Euclide si giova appunto del suo postulato.

Proclo [pag. 364] si rifiuta però di annoverarlo fra i postulati, osservando, a conferma di tale sua opinione, il fatto che la sua inversa [«La somma di due angoli di un triangolo è minore di due angoli retti»], è un teorema dimostrato da Euclide [ Prop. XVII ], non sembrandogli possibile che una proposizione, la cui inversa è dimostrabile, non sia alla sua volta dimostrabile. Mette anche in guardia contro gli abusivi appelli all’evidenza ed insiste sulla possibile [ipotetica] esistenza di rette asintotiche [pag. 191-2].

Tolomeo [2° sec. d. C.], sempre al dire di Proclo [p. 362-5], tentò di risolvere la questione con questo curioso ragionamento. Siano AB, CD due parallele, FG una trasversale, α e β i due angoli interni a sinistra di FG, ed α’ e β’ i due angoli interni a destra. Ciò posto la somma α + β sarà o maggiore o minore ovvero uguale a due angoli retti. Si ammetta che se per una coppia di parallele si verifica, ad es., il 1° caso [$\alpha +\beta >2\,{\widehat {retti}}$], altrettanto avvenga per ogni altra coppia. Allora poichè le rette FB, GD sono fra loro parallele, come sono parallele le rette FA, GC, così da: $\alpha +\beta >2\,{\widehat {retti}}$, si deduce: $\alpha '+\beta '>2\,{\widehat {retti}}$. Seguirebbe: $\alpha +\beta +\alpha '+\beta '>4\,{\widehat {retti}}$, il che è manifestamente assurdo. Dunque non può essere $\alpha +\beta >2\,{\widehat {retti}}$. Nello stesso modo si dimostra che non può essere $\alpha +\beta <2\,{\widehat {retti}}$, quindi sarà $\alpha +\beta =2\,{\widehat {retti}}$ [Proclo, pag. 365].

Da questo risultato si trae facilmente il postulato euclideo.

§ 3. Proclo [pag. 371], dopo aver criticato il ragionamento di Tolomeo, tenta raggiungere lo stesso scopo per altra via. La dimostrazione di Proclo riposa sulla seguente proposizione, che egli assume come evidente. La distanza fra due punti situati su due rette che si tagliano può rendersi grande quanto si vuole, prolungando sufficientemente le due rette³. Da questa deduce il lemma:

Una retta che incontra una di due parallele incontra necessariamente anche l’altra.

Ecco la dimostrazione del lemma data da Proclo. Siano AB, CD due parallele ed EG una trasversale, incidente in F alla prima. La distanza di un punto variabile sul raggio FG dalla retta AB cresce oltre ogni limite quando il punto si allontana indefinitamente da F; e poichè la distanza di due parallele è finita, la retta EG dovrà necessariamente incontrare CD.

Proclo introdusse dunque l’ipotesi che la distanza di due parallele si mantenga finita, ipotesi da cui logicamente si deduce quella d’Euclide.

§ 4. Che il postulato d’Euclide fosse oggetto di discussioni e ricerche presso i greci risulta ancora dalla seguente paradossale argomentazione, con cui, al dire di Proclo [pag. 369], si pretendeva dimostrare che due rette tagliate da una terza non s’incontrano, anche quando la somma degli angoli interni da una stessa parte è minore di due angoli retti.

Sia AC una trasversale delle due rette AB, CD ed E il punto medio di AC. Da quella parte di AC, in cui la somma degli angoli interni è minore di due angoli retti, si prendano su AB e CD i segmenti AF, CG uguali ad AE. Le due rette AB, CD non possono incontrarsi fra i punti A, F e C, G, perchè in un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due.

Congiunti poi i punti F, G, a partire dal segmento FG, si ripeta la precedente costruzione, cioè si determinino su AB, CD i due segmenti FK, GL, ciascuno eguale alla metà di FG. Le due rette AB, CD non potranno incontrarsi fra i punti F, K e G, L. E poichè questa operazione può ripetersi indefinitamente, si volle concludere che le due rette AB, CD non si sarebbero mai incontrate.

Il vizio principale dell’argomentazione risiede nell’uso dell’infinito, poichè i segmenti AF, FK,... potrebbero, per successive diminuzioni, tendere a zero e la loro serie essere finita. L’autore del paradosso ha fatto uso dello stesso principio con cui Zenone [495-435 a. C.] pretendeva dimostrare che Achille non raggiungerebbe la testuggine, pur muovendosi con velocità doppia della velocità di quest’ultima.

Ciò è notato, sotto altra forma, da Proclo [pag. 369-70] dicendo che ciò che così si dimostra è che, col suddetto processo non si può raggiungere il punto d’incontro [determinare: ὁρίζειν], non che esso non esista.

Proclo osserva inoltre che, «poichè la somma di due angoli d’un triangolo è minore di due angoli retti [Euclide, XVII], esistono delle rette che tagliate da una terza s’incontrano da quella parte in cui la somma degli angoli interni è minore di due angoli retti; così a chi asserisce che per una qualunque differenza fra detta somma e due angoli retti le due rette non s’incontrano, si può rispondere che per differenze minori le rette s’incontrano».

«Ma se per alcune coppie di rette formanti con una terza angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due angoli retti, esiste un punto d’incontro, resta a vedere se ciò accade per tutte le coppie. Poichè alcuno potrebbe osservare che vi fosse una certa deficienza [da due angoli retti] per la quale esse [rette] non s’incontrano, incontrandosi invece tutte le altre per le quali tale deficienza fosse ulteriore, [Proclo, pag. 371]». Dal seguito risulterà che il dubbio qui affacciato da Proclo ha fondamento soltanto nel caso in cui il segmento AC della trasversale [Fig. 3] rimane invariabile, mentre le due rette della coppia, ruotando intorno ai punti A e C, fanno variare la loro deficienza.

§ 5. Un’altra dimostrazione assai antica del V postulato, riportata nel Commento arabo di Al-Nirizi⁴ [IX secolo], pervenutoci ancora attraverso la traduzione latina di Gherardo da Cremona⁵ [XII secolo], è attribuita ad Aganis⁶.

La parte di questo commento, relativa alle definizioni, postulati, assiomi, contiene frequenti riferimenti al nome di Sambelichius, che s'identifica facilmente con Simplicius, il celebre commentatore di Aristotile, vissuto nel VI secolo. Simplicius avrebbe adunque scritto una Introduzione al I libro di Euclide, esprimendo in essa idee simili a quelle di Gemino e Posidonio, affermando che il V postulato non è evidente e riportando la dimostrazione del suo compagno Aganis.

Questa dimostrazione è fondata sull'ipotesi che esistano rette equidistanti, rette che Aganis, come già Posidonio, chiama parallele. Da tale ipotesi egli deduce che la minima distanza di due parallele è un segmento perpendicolare comune alle due rette; che due rette perpendicolari ad una terza sono fra loro parallele; che due parallele tagliate da una terza formano angoli interni da una stessa parte supplementari e reciprocamente.

La semplicità con cui si dimostrano queste proposizioni ci dispensa dal riportare i ragionamenti di Aganis. Dopo aver notato che da esse seguono le Prop. XXX, XXXII di Euclide [cfr. p. 1], indichiamo come Aganis costruisca il punto d'incontro di due rette non equidistanti.

Siano AB, GD due rette intersecate dalla trasversale EZ e tali che la somma degli angoli interni ${\widehat {AEZ}}$, ${\widehat {EZD}}$ sia minore di due retti. Senza togliere nulla alla generalità della figura si può supporre che ${\widehat {AEZ}}$ sia retto.

Si fissi allora su ZD un punto arbitrario T, dal quale si conduca TL perpendicolare a ZE; poi si divida, col punto P, il segmento EZ in due parti uguali, indi, col punto M, il segmento PZ in due parti uguali, successivamente MZ in due parti uguali, ecc.... fino a che uno dei punti medi P, M,... cada nel segmento LZ. Se questo, ad es., è il punto M, si tracci in M la retta perpendicolare ad EZ, che incontrerà in N la ZD. Si costruisca finalmente su ZD il segmento ZC, multiplo di ZN come ZE è multiplo di ZM. Nel nostro caso è: ZC = 4.ZN. Il punto C così ottenuto è il punto d’incontro delle due rette AB e GD.

Per provare ciò bisognerebbe dimostrare che i segmenti consecutivi ed uguali ZN, NS,... della retta ZD, hanno proiezioni uguali sulla ZE. Non ci fermiamo su questo fatto perchè dovremo tornarvi in seguito. Del resto il ragionamento è suggerito dalla figura stessa di Aganis.

Rileviamo la caratteristica della precedente costruzione: essa risiede nell’uso [implicito] del cosidetto postulato di Archimede, necessario per assegnare il segmento MZ, sottomultiplo di EZ e minore di LZ.

Note

1. Per quanto riguarda il testo euclideo ci riferiremo sempre alla edizione critica di J. L. HEIBERG [Lipsia, Teubner, 1883].
2. Per quanto riguarda il testo di Proclo ci riferiremo all'edizione curata da G. Friedlein: Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum Commentarii [Lipsia, Teubner, 1873].
3. Questa proposizione, assunta come evidente, è da Proclo appoggiata coll’autorità di Aristotile: cfr. «De Coelo, I, 5». Una rigorosa dimostrazione della prop. in discorso fu data dal Padre G. Saccheri, nell’opera citata a p. 20.
4. Cfr. R.-O. Besthorn ed J.-L. Heiberg. «Codex Leidensis 399, 1. Euclidis Elementa ex interpretatione Al-Hadschdschadsch cum commentariis Al-Narizii». [Copenhague, F. Hegel, 1893-97].
5. Cfr. M. Curtze: «Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis Commentarii. Ex interpretatione Gherardi Cremonensis in codice Cracoviensi 569 servata. [Lipsia, Teubner, 1899].
6. A proposito di Aganis è bene notare che è da Curtze ed Heiberg identificato con Gemino. Invece P. Tannery, rigetta tale identificazione. Cfr. Tannery: «Le philosophe Aganis est il identique a Geminus?» Biblioteca Math. (3), t. 2, p. 9-11 [1901].