Gli Elementi d'Euclide/Libro Terzo/Esercizi
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Esercizi.
1. Descrivere con un raggio dato una circonferenza, che passi per due punti dati.
2. Se col vertice di un triangolo isoscele, come centro, si descriva una circonferenza che tagli la base o la base prolungata, le parti di questa intercettate tra la circonferenza e l’estremità della base saranno uguali.
3. Se due circonferenze si tagliano scambievolmente, e per i punti d’intersezione si tirino due rette parallele, le parti di esse intercettate tra le due circonferenze saranno uguali.
4. Tirare per un punto d’intersezione di due circonferenze una linea retta prolungata fino ad incontrarle di nuovo ambedue, e che sia bisecata in questo punto.
5. Una corda PAQ taglia il diametro di un cerchio in un punto A e fa col diametro un angolo eguale alla metà di un retto; dimostrare che la somma dei quadrati di AP e di AQ è il doppio del quadrato del raggio.
6. Se due corde s’intersecano in un cerchio, la differenza dei loro quadrati è eguale alla differenza dei quadrati delle differenze dei segmenti
7. Due corde parallele in un cerchio hanno rispettivamente 6 e 8 metri di lunghezza, e sono distanti di un metro; quanti metri è il diametro?
8. Tirare una linea retta che tagli due cerchi concentrici, in modo che la parte di essa intercettata dalla circonferenza del maggior cerchio, sia il doppio della parte intercettata dalla circonferenza del minore.
9. Se due circonferenze si tagliano scambievolmente, la linea retta di maggior lunghezza, che si possa tirare per un punto d’intersezione, è quella che è parallela alla retta che unisce i centri. 422 GLI ELEMENTI D’ EUCLIDE. 10. Descrìvere tre cerchi eguali tangenti tra loro, e quindi un altro tangente a tutti tre. 11. Quanti cerchi eguali possono descrìversi intorno a un dato cerchio della stessa grandezza, che siano tangenti a questo e tra loro? . 12. Descrivere una circonferenza, che passi per un punto dato, e sia tangente a un cerchio dato in un dato punto, non essendo i due punti in una tangente al cerchio dato. 13. Descrivere un cerchio tangente a un cerchio dato in un datò punto, e tangente ad una linea retta data. 14. Due linee rette tirate da un punto dentro un cerchio in modo da fare angoli eguali colla retta tirata da questo punto al centro, tagliano dal cerchio segmenti uguali. 15. Tirare per un punto dato dentro un cerchio la corda di minima lunghezza. •> ' 16. Se due cerchi sono tangenti internamente ed il diametro del cerchio interno non è minore del raggio dèli’ altro cer- 0 chio, di tu^te le linee tangenti al cerchio interno e terminate al cerchio esterno, la massima è quella che è parallela alla tangente comune ai due cerchi. 17. Dimostrare che le due tangenti a un cerchio tirate da uno stesso punto, sono eguali tra loro; e quindi provare che le somme dei lati opposti di un quadrilatero descritto intorno al cerchio sono uguali, e che gli angoli sottesi al centro del cerchio da due lati opposti, sommati insieme fanno due retti. 18. La parte di una tangente a un cerchio, compresa tra le tangenti condotte all’ estremità di un diametro, sottende al centro un angolo retto; . • ; 19. Determinare sopra il prolungameuto del diametro di un cerchio, un punto, dal quale tirando una tangente al cerchio, questa sia uguale al diametro. 20. Descrivere una circonferenza che passi per un punto dato, abbia un raggio dato, e sia tangente ad una retta data. 21. Descrìvere una circonferenza che abbia il centro sopra un cateto di un triangolo rettangolo, che passi per il vertice dell’ angolo retto e sia tangente alla ipotenusa. 22. A è un punto di un diametro (o di un diametro prolungato) di un cerchio, il cui centro è O; OB un raggio perpendicolare al diametro; se AB taglia la circonferenza in P, e la tangente nel punto P taglia AO in C, dimostrare che AC è eguale a CP. 23. Tirata una tangente comune a due cerchi, e descritta sopra la parte di essa compresa tra i punti di contatto, come diametro, una circonferenza, questa passerà per i punti di contatto dei due cerchi, e le sarà tangente la linea che congiunge i loro centri. 24. Descrivere una circonferenza con un dato raggio, col centro in una linea data, e tangente ad un’ altra linea data. 25. Descrivere una circonferenza tangente ad una linea data in un punto dato, e tangente a una data circonferenza. 26. Tirare una tangente comune a due cerchi, con i punti di contatto dalla stessa parte, e da parti opposte della retta che congiunge i centri. 27. Tirare una linea retta tangente a un cerchio dato, e che faccia un dato angolo con una linea data. 28. Descrivere con raggi dati due circonferenze tangenti tra loro, e ad una medesima linea data dalla stessa parte. 29. Se due cerchi sono tangenti tra loro, e si tirano diametri paralleli, le linee che congiungono l'estremità di questi diametri passeranno per il punto di contatto. 30. La retta tirata da un vertice di un triangolo equilatero a un punto della circonferenza circoscritta al triangolo, è eguale alla somma o alla differenza delle due rette condotte dalle estremità della base a quel punto, secondo che. quella linea taglia o non taglia la base. 31. AB, AC sono due corde qualunque di un cerchio, D, E i punti di mezzo degli archi AB, AC; DE taglia AB, AC nei punti F, G: dimostrare che AF è eguale ad AG. 32. Dimostrare.che si può far passare una circonferenza per tutti i vertici di un quadrilatero, quando la somma dei suoi angoli opposti è uguale a due retti, e trovare il centro e il raggio di questa circonferenza. 33. ABCD è un parallelogrammo; condotta CE perpendicolare alla diagonale BD> e le perpendicolari ad AB, AD 124 GLI ELEMENTI ü’EUCLIDE. nei punti B, D, dimostrare che queste tre rette s’incontrano in un medesimo punto. ■ 34. Le tre circonferenze che passano ciascuna per due vertici dirun triangolo, e per il punto d’intersezione delle tre perpendicolari condotte dai vertici sul lati opposti, sono eguali tra loro. 35. Due circonferenze si taglianonei puntici, B, é il centro di una è sopra l’altra; tirata una corda ACD che le taglia ambedue, dimostrare che CB è eguale a CD. 36. Degli angoli che fanno le rette condotte da due punti dati sopra una circonferenza a un punto di una tangente alla medesima, il massimo è quello che si ottiene quando il punto della tangente è il punto di contatto. 37. Dati tre punti di una circonferenza, dimostrare come si possano trovare quanti altri punti si vogliano della medesima, «ertza conoscere la posizione del centro. 38. Se per i vertici di un quadrilatero si conducono le bisettrici degli angoli, tutti i punti nei quali una bisettrice incontra l’adiacente, saranno sopra una medesima circonferenza. 39. ABC è un semicerchio, ADC è un quarto di circonferenza avente per corda la linea ^4C e dalla medesima parte; tirate da un punto qualunque B della semi-circonferenza BA e BDC, dimostrare che BA e BD sono uguali, e che delle retto AB, AC soltanto la maggiore può tagliare il cerchio ADC. 40. Se una corda sia bisecata da un’altra, e prolungata fino all’incontro colle tangenti all’estremità della bisettrice, le parti di essa comprese tra le tangenti e la circonferenza sono egùali. 41. Se a partire dalle estremità A, C di un dato arco di cerchio si prendono in direzioni opposte due archi eguali AB, CD, le corde AC, BD sono parallele. ’ 42. Gli archi intercettati da due còrde parallele sono eguali; e se due corde qualunque s’intersecano, la somma degli archi ihtercettati da esse è eguale alla somma degli archi intercettati dai diametri paralleli alle medesime. 43. A, B, C, A’, B, C sono punti di una circonferenza; LIBRO TERZO. 125 se AB, AG sono respettivamente parallele ad A’B’, A’C; BG* sarà parallela a B’C. ’ . 44. Se due circonferenze eguali si tagliano, e col centro in uno dei due punti d’intersezione si descrive un’altra circonferenza, i punti nei quali questa taglia una delle due circonferenze eguali è in linea retta con l’altro punto d’intersezione di queste. * 45. Se due circonferenze uguali si tagliano, e da uno dei punti d’intersezione si tira una linea retta che le tagli, la parte di questa compresa tra loro sarà bisecata dal cerchio, il cui diametro è la corda comune ai due cerchi uguali. * 46. Se due circonferenze si tagliano, ^ siano presi due punti qualunque in una di esse, e dai punti d’intersezione delle due circonferenze siano tirate a ciascuno di questi due linee che taglino l’altra circonferenza, le linee rette che congiungeranno i punti dove le rette tirate dallo stesso punto d’intersezione delle due circonferenze tagliano l’ultima circonferenza, saranno eguali tra loro. 47. A e B sono punti dati; se si tirano per questi quante si vogliano coppie di rette AC, BG che facciano tra loro angoli uguali ad un angolo dato, le bisettrici di questi angoli passeranno tutte per uno stesso punto. 48. Se si tirino dall’estremità di un diametro le perpendicolari ad una corda di un cerchio, le parti della corda comprese tra loro e la circonferenza saranno eguali, e la perpendicolare minore sarà eguale al segmento della maggiore compreso tra la corda e la circonferenza. 49. Se la base di un triangolo sia bisecata dal diametro del cerchio circoscritto, e si tiri dall’estremità di questo diametro una perpendicolare sul lato maggiore, questa dividerà il lato stesso in due segmenti, uno dei quali sarà eguale alla semisomma e V altro alla semi-differenza degli altri due lati. 50. Dato il raggio di un cerchio tangente a due linee date non parallele, determinarne il centro. 51. Trovare un punto nel diametro prolungato di un dato cerchio, tale che tirando da esso le due tangenti al cerchio, la parte concava della circonferenza sia doppia della convessa. Elementi d’Euclide $ . 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