Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Prefazione
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Questo lavoro studia il parallelismo negli spazii a curvatura costante positiva, importante elemento della geometria metrica di tali spazii definito per la prima volta da Clifford1. Si introducono perciò nuove coordinate di retta (parametri di scorrimento) di cui si danno svariati significati geometrici, e per cui si trova un algoritmo semplicissimo che permette di trattarle in modo rapido e sicuro, mentre senza di esso i calcoli riuscirebbero estremamente lunghi e noiosi.
Si può quindi dare una dimostrazione del principio di dualità senza ricorrere a considerazioni dell’assoluto, definire per la prima volta l’angolo di due rette sghembe, ecc. L’applicazione di questi principii alla teoria delle curve, mentre suggerisce per esse l’introduzione di un nuovo elemento: “la torsione di Clifford„, dimostra in nuovo modo e completa un teorema del prof. Bianchi2; una modificazione delle formule di Frenet per lo spazio curvo conduce a confronti, a mio parere notevoli, con lo spazio piano e a nuovi teoremi. L’applicazione della teoria delle parallele allo studio delle congruenze dà in modo diretto le condizioni necessarie e sufficienti affinchè le forme quadratiche differenziali definenti una congruenza siano compatibili, dà immediatamente un criterio per riconoscere se una congruenza è , appena ne siano date le forme fondamentali e permette infine di stabilire alcuni nuovi risultati per la densità di una congruenza.
Applicando questi teoremi alla teoria delle superficie, si ottengono nuove interpretazioni geometriche della curvatura assoluta e della torsione geodetica, si riconduce la teoria delle superficie nello spazio curvo allo studio di quelle rappresentazioni della sfera euclidea in sè stessa, per cui parti corrispondenti hanno area uguale. Si possono quindi generalizzare alcune formule ben note dello spazio euclideo per la teoria della superficie e dei sistemi tripli ortogonali, col cui aiuto si studiano tra l’altro quelle congruenze che per ogni deformazione della superficie di partenza, cui i raggi della congruenza si immaginino invariabilmente uniti, si dispongono sempre in 3 rigate di Clifford, e si trovano infine curiosi risultati per l’angolo che formano elementi lineari corrispondenti sulla superficie e sulla sua immagine piana.
L’applicazione di questi risultati alla teoria della superficie conduce, tra l’altro, allo studio di notevoli coppie di elementi sferici, studio che si può anche interpretare nella metrica euclidea e che dà un significato geometrico (sebbene non semplice) della trasformazione di Lie per le superficie pseudosferiche, mentre risolve in nuovo modo il problema di determinare sulla sfera euclidea quei reticoli che la dividono in parallelogrammi infinitesimi equivalenti.
Lo studio della immagine Riemanniana di rette parallele porta a una nuova proprietà caratteristica delle superficie di Demartres (isocicliche)3, proprietà che mentre si può interpretare con la sola metrica euclidea, conduce a nuove proprietà delle superficie isocicliche e delle rigate isoterme (luogo delle binormali di una curva a torsione costante)4 degli spazii a curvatura costante.