Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche

by Guido Fubini

Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche

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Guido Fubini - Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici (1900)

Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche

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Osservazioni varie e aggiunte

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Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche.

23. Le formule che danno la trasformazione da coordinate di Riemann a coordinate di Weierstrass sono le seguenti:

$x_{1}={\frac {{\frac {1}{4}}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{{\frac {1}{4}}+(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}$; $x_{2}={\frac {x}{{\frac {1}{4}}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$; $x_{3}={\frac {y}{{\frac {1}{4}}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$; $x_{4}={\frac {z}{{\frac {1}{4}}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Un piano generico è rappresentato dalla sfera dello spazio euclideo

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z={\frac {1}{4}}$

con $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ costanti arbitrarie; e tutte queste sfere tagliano secondo un circolo massimo la sfera

$x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}.$

Un sistema di generatrici della sfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$ è dato da

α)	$\left\lbrace {\begin{array}{l}x+{\frac {i}{2}}+\lambda (y-iz)=0\\y+iz-\lambda \left(x-{\frac {i}{2}}\right)=0.\end{array}}\right.$

Date due sfere

β)	$\left\lbrace {\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z={\frac {1}{4}}\\x^{2}+y^{2}+z^{2}+a'_{1}x+a'_{2}y+a'_{3}z={\frac {1}{4}}\end{array}}\right.$

per trovare a quali coppie di generatrici della sfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$ il cerchio (β) (immagine di una retta dello spazio curvo) si appoggia si sottragga da (β) la $x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$; e dalle equazioni così ottenute e da (α) si eliminano $x,y,z$. Si otterrà per determinare $\lambda$

${\begin{vmatrix}-1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\-1&b_{1}&b_{2}&b_{3}\\i&1&\lambda &-i\lambda \\i\lambda &-\lambda &1&i\end{vmatrix}}=0$

Da cui si deduce:

Affinchè il cerchio (β) e il cerchio

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+a'_{1}x+a'_{2}y+a'_{3}z-{\frac {1}{4}}=0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+b'_{1}x+b'_{2}y+b'_{3}z-{\frac {1}{4}}=0$

si appoggino alla medesima coppia di generatrici di

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$

deve essere

${\begin{vmatrix}-1&a_{1}\\-1&b_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\a_{2}&a_{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a_{2}\\-1&b_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{3}&b_{1}\\a_{3}&a_{1}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a_{3}\\-1&b_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\a_{1}&a_{2}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}-1&a'_{1}\\-1&b'_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b'_{2}&b'_{3}\\a'_{2}&a'_{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a'_{2}\\-1&b'_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b'_{3}&b'_{1}\\a'_{3}&a'_{1}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a'_{3}\\-1&b'_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b'_{1}&b'_{2}\\a'_{1}&a'_{2}\end{vmatrix}}.$

Quindi (§. 4).

Nella rappresentazione conforme dello spazio curvo rette parallele sono rappresentate da cerchi che si appoggiano a una stessa coppia di generatrici sghembe della sfera immagine dell’assoluto.

§. 23. Da ciò e da un teorema del prof. Bianchi più volte citato si deduce:

Le superficie generate da un cerchio che si muove, deformandosi o no, e appoggiandosi sempre a una stessa coppia di generatrici sghembe di una sfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0$ ammettono la famiglia di questi cerchi come famiglia di curve isoterme.

Questo teorema è generalizzabile; si ha infatti:

Tutte le superficie cerchiate di uno spazio piano, che ammettono la famiglia dei cerchi generatori come famiglia di curve isoterme si possono ottenere nella rappresentazione conforme su uno spazio piano degli spazii a curvatura costante come immagine delle rigate isoterme di questi ultimi spazii, cioè (Bianchi A) come immagine delle rigate generate dalle binormali a una curva di torsione costante.

Dimostrato questo teorema si ha poi subito (poichè nelle rappresentazioni conformi di uno spazio non-euclideo su uno spazio piano i cerchi si mutano in cerchi e le famiglie di curve isoterme in famiglie isoterme) che: Tutte le superficie cerchiate di uno spazio qualunque a curvatura costante che ammettono i cerchi come famiglia di curve isoterme si deducono, con rappresentazioni conformi, dalle rigate luogo delle binormali a una curva di torsione costante di uno spazio pure a curvatura costante.

In una bella memoria di Demartres¹ si dimostra che il punto $P$ d’intersezione della retta comune ai piani di due cerchi consecutivi e della retta unente i punti d’intersezione di uno di questi cerchi, e della proiezione dell’altro cerchio sul piano del primo è un punto fisso nello spazio. Preso poi un triedro mobile, la cui origine sia il centro di uno generico di questi cerchi e l’asse delle $x$ passi per il punto $P$, in modo che le coordinate del punto $P$ siano $(\alpha ,0,0)$ Demartres dimostrò pure che, se $R$ è il raggio del cerchio stesso, il binomio $\alpha ^{2}-R^{2}$ è una costante. E allora tutto il resto della discussione di Demartres si può evitare con una semplicissima considerazione; consideriamo infatti la sfera $T$ di centro $P$ e raggio ${\sqrt {R^{2}-\alpha ^{2}}}$; poichè rispetto al triedro mobile l’equazione del cerchio, corrispondente è

$x^{2}+y^{2}=R^{2}$, $z=0$

si verifica subito che questo cerchio taglia la nostra sfera in punti diametralmente opposti. Ora se noi rappresentiamo in modo conforme uno spazio a curvatura costante sullo spazio piano in modo che la sfera $T$ rappresenti l’assoluto, i cerchi in discorso corrisponderanno a rette dello spazio curvo; e la nostra superficie cerchiata avrà per immagine nello spazio curvo una rigata, per cui le rette formano una famiglia isoterma; che è quanto si voleva dimostrare. Chiameremo con Demartres tali superficie, superficie isocicliche; avremo allora:

“Il problema di costruire le superficie isocicliche degli spazii a curvatura costante (o in particolare dello spazio piano) coincide col problema di determinare tutte le curve a torsione costante di uno spazio a curvatura costante„.

E allora ci restano da risolvere due questioni: l’una di trovare le formule effettive che permettano di passare da un problema all’altro; l’altra di interpretare questo teor. applicato allo spazio piano con la sola metrica euclidea; ciò che naturalmente è la cosa più interessante.

Sia dunque la superficie isociclica $\Sigma$ dello spazio piano definita dalle due forme

$ds^{2}=E(du^{2}+dv^{2})$, $Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}$

e siano le $u=cost.$ i cerchi costituenti la solita famiglia isoterma. Sarà la curvatura assoluta ${\frac {1}{\rho _{u}}}$ delle $u=cost$, funzione della sola $u$; la torsione delle $u=cost.$ sempre nulla. E detto $\sigma$ l’angolo tra la normale principale alle $u=cost.$ e la normale alla superficie in un punto generico, sarà

${\frac {\cos \sigma }{\rho _{u}}}={\frac {D''}{E}}$, ${\frac {\operatorname {sen} \sigma }{\rho _{u}}}=-{\frac {1}{E}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}$

che, per quanto s’è detto, danno derivate rispetto a $v$

1)	${\frac {D''}{E}}{\frac {\partial \sigma }{\partial v}}=-{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{E}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}\right)$

2)	${\frac {1}{E}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}{\frac {\partial \sigma }{\partial v}}={\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {D''}{E}}\right)$

col che le proprietà supposte danno

3)	${\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {D''^{2}+\left({\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}\right)^{2}}{D^{2}}}\right)=0$, ${\frac {D'}{E}}={\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial v}}$

mentre per le equazioni di Codazzi e di Gauss si ha:

4)	$DD''-D'^{2}=-{\frac {E}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\log E}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\log E}{\partial v^{2}}}\right)$

5)	${\frac {\partial D}{\partial v}}-{\frac {\partial D'}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial v}}D-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial v}}D''=0$

6)	${\frac {\partial D''}{\partial u}}-{\frac {\partial D'}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial u}}D-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial u}}D''=0.$

La superficie $\Sigma '$ immagine dello spazio curvo avrà per elemento lineare

$ds'^{2}={\frac {E}{\lambda ^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$

dove $\lambda$ si determina osservando che le $u=cost.$ sono geodetiche, cosicchè

7)	${\frac {\partial \log \lambda }{\partial u}}={\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial u}}.$

La seconda forma fondamentale di $\Sigma '$ è, come si calcola subito,

$D_{1}du^{2}+2D'_{1}dudv+D''_{1}dv^{2}=-$

$=-{\frac {\lambda (Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2})+2E(xX+yY+zZ)(du^{2}+dv^{2})}{\lambda ^{2}}}.$

Ponendo per $Xx+Yy+Zz$ il valore che se ne ricava dalla² $\rho _{12}-D'W$ e ricordando che si può ammettere costante $\lambda -2\rho$ se ne deduce (ricordando le (1) e (3)):

$D_{1}du^{2}+2D'_{1}dudv+D''_{1}dv^{2}={\frac {D''-D}{\lambda }}du^{2}-2{\frac {D'}{\lambda }}dudv.$

E le $u=cost.$ riescono anche assintotiche, cioè appunto rette. Per trovare $\lambda$ senza quadrature, si usi delle formule di Codazzi e di Gauss per la $\Sigma '$; se ne avrà ${\frac {\lambda }{D'}}=cost.$, e le formule di Codazzi e di Gauss stesse si ridurranno alle:

α)	${\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)=0$

β)	${\frac {\partial \log {\frac {D''-D}{\sqrt {E}}}}{\partial v}}=0$

γ)	$\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)^{2}\left\{\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)^{2}+{\frac {\partial ^{2}\log \left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)}{\partial v^{2}}}\right\}=cost.$

Le due prime di queste equazioni per le (2), (3), (5) sono conseguenza l’una dell’altra; se si riuscisse perciò a dimostrare direttamente una di queste due e la terza, si sarebbe dimostrato di nuovo, e in modo diretto, il nostro teorema.

La (α) dà per la (3)

${\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial u\partial v}}=0.$

Quindi: In una superficie isociclica dello spazio piano consideriamo un quadrangolo formato da due cerchi e da due traiettorie ortogonali al sistema dei cerchi. Calcoliamo i valori di $\sigma$ (angolo della normale alla superficie in un punto col piano del cerchio passante per il punto stesso) nei quattro vertici del quadrangolo; la somma dei valori che detto angolo riceve in due vertici opposti è uguale alla somma dei valori che riceve negli altri due vertici.

Ma un risultato ben più notevole si deduce dalle (α), (β).

Esse ci dimostrano che il binomio differenziale

$(D''-D)du-2D'dv$

ammette ${\frac {1}{\sqrt {E}}}$ come fattore integrante

ossia che

$D_{1}du+2D'_{1}dv={\frac {D''-D}{\lambda }}du-2{\frac {D'}{\lambda }}dv$

ammette ${\frac {\lambda }{\sqrt {E}}}$ (che è noto appena sia dato l’elemento lineare della rigata isoterma) come fattore integrante. Dunque:

“Sopra ogni superficie isociclica si trovano con sole quadrature le assintotiche della corrispondente rigata isoterma; sopra ogni rigata luogo delle binormali a una curva di torsione costante le assintotiche si determinano con quadrature„.

Quest’ultimo teorema ha una elegante spiegazione geometrica: si sa che su ogni rigata le assintotiche si determinano per mezzo di una equazione di Riccati; basta dunque conoscere un’assintotica, perchè le altre siano determinabili con quadrature.

Se noi confrontiamo la costruzione data dal Darboux (T. III, Cap. XIV) dell’immagine euclidea conforme di una superficie dello spazio curvo con la costruzione data dal Demartres per le superficie isocicliche, otteniamo il seguente teorema che permette appunto di costruire una e quindi tutte le assintotiche di una rigata isoterma con sole quadrature:

“Proprietà caratteristica delle rigate formate dalle binormali a una curva di torsione costante è che la sviluppabile formata dai piani tangenti alla rigata e all’assoluto abbia per spigolo di regresso un’assintotica detta rigata.

Ultimo problema da risolvere è quello di interpretare nella metrica euclidea i risultati ora ottenuti per le superficie isocicliche dello spazio piano. Ricordando i teoremi del §. 8, a cui appunto io giunsi per risolvere questa questione, abbiamo subito:

Il problema di trovare le superficie isocicliche dello spazio piano equivale a quello di trovare quelle coppie di curve a torsione costante ma distinta, dello spazio stesso, che si corrispondono punto a punto con uguaglianza di arco e di prima curvatura. La trasformazione di Razzaboni per queste dà una trasformazione delle superficie isocicliche.

Note

1. Annales de l’École Normale Supérieure, T. IV, 1887, pag. 145 e seg.
2. Bianchi. (Lezioni, Cap. IV, pag. 114).