Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

Art. 7. Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 7. Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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Punti e tangenti comuni a due curve

Porismi di Chasles e teorema di Carnot

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33. Se una curva dee passare per un dato punto $a$, ciò equivale manifestamente ad una condizione.

Per $a$ conducasi una retta $A$; se la curva deve contenere anche il punto di $A$ che è successivo ad $a$, cioè se la curva deve non solo passare per $a$, ma anche toccare ivi la retta $A$, ciò equivale a due condizioni.

Per $a$ conducasi una seconda retta $A_1$; se oltre ai due punti consecutivi di $A$, la curva dovesse contenere anche quel punto di $A_1$ che è successivo ad $a$, ciò equivarrebbe a tre condizioni. Ma in tal caso, due rette condotte per $a$ segherebbero ivi due volte la curva, cioè $a$ sarebbe un punto doppio per questa. Dunque, se la curva dee avere un punto doppio in $a$, ciò equivale a tre condizioni.

Se la curva deve avere in $a$ un punto doppio (tre condizioni), una retta qualunque $A$ condotta per $a$ conterrà due punti di quella, coincidenti in $a$. Se la curva deve passare per un terzo punto successivo di $A$, cioè se questa retta dovrà avere in $a$ tre punti comuni colla curva, ciò equivarrà ad una nuova condizione. Se lo stesso si esige per una seconda retta $A_1$ e per una terza $A_2$ (passanti per $a$), si avranno in tutto sei condizioni. Ma quando per $a$ passino tre rette, ciascuna delle quali seghi ivi tre volte la curva, quello è un punto triplo (31); dunque, se la curva dee avere in $a$ un punto triplo, ciò equivale a sei condizioni.

In generale: sia $x_{r-1}$ il numero delle condizioni, perchè la curva abbia in $a$ un punto $(r-1)^{plo}$. Ogni retta $A$ condotta per $a$, avrà ivi $r-1$ punti comuni colla curva. Se questa dee contenere un altro punto successivo di $A$, cioè se la retta $A$ deve in $a$ avere $r$ punti comuni colla curva, ciò equivale ad una nuova condizione. Se la stessa cosa si esige per altre $r-1$ rette passanti per $a$, si avranno in tutto $x_{r-1}+r$ condizioni. Ora, quando per $a$ passano $r$ rette, ciascuna avente ivi $r$ punti comuni colla curva, $a$ è un punto multiplo secondo $r$ (31); dunque, se la curva deve avere in $a$ un punto $(r)^{plo}$, ciò equivale ad un numero $x_r = x_{r-1} +r$ di condizioni; ossia $x_r=\tfrac{r(r+1)}{2}$.

34. Da quante condizioni è determinata una curva d'ordine $n$? Se la curva debba avere un dato punto $a$ multiplo secondo $n$, ciò equivale (33) ad $\tfrac{n(n+1)}{2}$ condizioni. Ma una linea d'ordine $n$, dotata di un punto $(n)^{plo}$ $a$, è il sistema di $n$ rette concorrenti in $a$ (31); e, affinchè queste siano pienamente individuate, basta che sia dato un altro punto per ciascuna di esse. Dunque:

Il numero delle condizioni che determinano una curva d'ordine $n$ è

$\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+3)}{2}$.

Se sono date solamente $\frac{n(n+3)}{2}-1$ condizioni, vi saranno infinite curve d'ordine $n$ che le potranno sodisfare, e fra esse ve ne saranno alcune (siane $N$ il numero) che passeranno per un punto qualunque dato. L'intero sistema di quelle curve, in numero infinito, chiamasi serie d'ordine $n$ e d'indice $N$.[48]

Per esempio, le tangenti di una curva della classe $m$ formano una serie d'ordine 1 e d'indice $m$.

In generale esiste sempre una linea che inviluppa una serie data <d'indice $N$>, cioè che in ciascun de' suoi punti tocca una curva della serie. <Essa è il luogo dei punti, pei quali due delle $N$ curve della serie coincidono.> Tutta la serie si può concepire generata dal movimento continuo di una curva, che vada cambiando di forma e di posizione, in modo però da sodisfare alle condizioni proposte. I punti, in cui una curva della serie sega quella che le succede immediatamente, sono anche i punti di contatto fra la prima di queste curve e la linea inviluppo della serie. [49]

35. Il teorema or ora dimostrato (34) ci mette in grado di stabilire quest'altro: che una curva semplice dell'ordine $n$ non può avere più di $\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}$ punti doppi (comprese le cuspidi). Infatti: se ne avesse uno di più, per questi $\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}+1$ e per altri $n - 3$ punti della stessa curva, in tutto $\tfrac{(n-2)(n-2+3)}{2}$ punti, si potrebbe far passare una curva dell'ordine $n - 2$, la quale avrebbe in comune colla linea data

$2\left\{\frac{(n-1)(n-2)}{2} +1\right\} + n-3 = n(n-2) +1$

intersezioni: il che è impossibile, se la curva data non è composta di linee d'ordine minore.

Note