Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 56

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Derivata del prodotto di due o più funzioni

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 56. — Derivata del prodotto di due o più funzioni.

Siano $\varphi (x)$ e $\psi (x)$ due funzioni derivabili (e quindi conitnue). Vogliamo trovare la derivata della funzione prodotto

Essa sarà uguale al limite per $h=0$ del rapporto incrementale

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\varphi (x+h)\psi (x+h)-\varphi (x)\psi (x)}{h}}$.

Aggiungendo e togliendo al numeratore $\varphi (x)\psi (x+h)$, tale rapporto diventa

${\frac {\varphi (x+h)\psi (x+h)-\varphi (x)\psi (x+h)+\varphi (x)\psi (x+h)-\varphi (x)\psi (x)}{h}}$

che si può scrivere sotto la forma:

$\psi (x+h){\frac {\varphi (x+h)-\varphi (x)}{h}}+\varphi (x){\frac {\psi (x+h)-\psi (x)}{h}}$.

Il primo addendo è il prodotto di due fattori. Per $h=0$, il primo fattore tende a $\psi (x)$, perchè $\psi (x)$ è funzione continua; il secondo è il rapporto incrementale della funzione $\varphi (x)$, e quindi il suo limite per $h=0$ è la derivata $\varphi '(x)$ (che per ipotesi esiste e dè finita). Dunque il limite del primo addendo è $\psi (x)\varphi '(x)$. Analogamente si trova che il limite del secondo addendo è $\varphi (x)\psi '(x)$. Cosicchè il limite di tutta l'espressione, cioè la derivata della funzione $f(x)$, sarà

$f'(x)=\varphi '(x)\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)$;

da cui il

Teorema. La derivata della funzione f(x) prodotto di due funzioni $\varphi (x)$ e Ψ(x) che hanno la derivata finita, esiste e si ottiene moltiplicando la funzione Ψ(x) per la derivata della funzione $\varphi$(x), poi moltiplicando $\varphi$(x) per la derivata della funzione Ψ(x) e sommando i prodotti così ottenuti.

Se uno dei due fattori è costante, se p. es. $\varphi (x)=m$, essendo $m$ una costante qualsiasi, allora $\varphi '(x)=0$; e la derivata di $m\psi '(x)$, si riconosce uguale a $m\psi '(x)$.

Cioè: la derivata del prodotto $m\psi (x)(m={\text{cost.}}$ è $m\psi '(x)$.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse.

Osservazione

Se $f(x)=\varphi _{1}(x)\varphi _{2}(x)\varphi _{3}(x)$, dove $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ sono funzioni derivabili, si ha:

$f(x)=\psi (x)\psi _{3}(x)$ dove si è posto $\psi (x)=\varphi _{1}(x)\varphi _{2}(x)$.

$\psi '(x)=\varphi '_{1}(x)\varphi _{2}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi '_{2}(x)$

$f'(x)=\psi 0(x)\varphi _{3}(x)+\psi (x)\varphi _{2}(x)$.

Sostituendo a $\psi (x),\psi '(x)$ i valori dedotti dalle precedenti formole, si ha infine:

$f'(x)=\varphi '(x)\varphi _{2}(x)\varphi _{3}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi '_{2}(x)\varphi _{3}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi _{2}(x)\varphi '_{3}(x)$.

Studiando in modo simile i prodotti di $n$ funzioni derivabili, si ha:

La derivata del prodotto di n funzioni derivabili esiste ed è la somma degli n prodotti ottenuti moltiplicando la derivata di uno dei fattori per gli altri n — 1 fattori.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse.