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§ 68. Fra la geometria sopra una superficie di curvatura costante e quella d'una porzione di piano, prese l'una e l'altra con le opportune limitazioni, intercede una analogia, che possiamo mettere in evidenza traducendo le prime definizioni e proprietà dell'una in quelle dell'altra, com'è sommariamente indicato dalla contrapposizione di frasi che si osserva nel seguente quadro.
a) Superficie. a) Regione di piano.
b) Punto. b) Punto.
c) Geodetica.
c) Retta.
d) Arco di geodetica. d) Segmento rettilineo.
e) Proprietà lineari della geodetica. e) Postulati relativi all'ordinamento dei punti sulla retta.
f) Due punti determinano una geodetica. f) Due punti determinano una retta.
g) Proprietà fondamentali dell'uguaglianza di archi geodetici e di angoli.
g) Postulati della congruenza segmentaria ed angolare.
h) Se due triangoli geodetici hanno uguali due lati e l'angolo compreso, anche i rimanenti lati ed angoli sono uguali.
k) Se due triangoli rettilinei hanno uguali due lati e l'angolo compreso, anche i rimanenti lati ed angoli sono uguali.
Segue che si possono ritenere comuni alla geometria delle superficie in discorso tutte quelle proprietà pertinenti a regioni limitate di piano, che nell'assetto euclideo sono indipendenti dal postulato delle parallele e nella cui dimostrazione non si fa uso del piano completo [per es. dell'infinità della retta].
Procediamo ora a confrontare, con le corrispondenti della superficie, quelle proposizioni relative alla regione piana, che sono in connessione con l'ipotesi euclidea. Si ha, per es., che sul piano la somma degli angoli di un triangolo
