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LIBRO PRIMO. 23



EuclidB1T7.png

Sia la linea .a.b. dalle estremità dellaqual siano protratte da una medesima parte due line rette, lequale concorrino, in uno medesimo ponto, come saria la linea a.c. & la b.c. lequale concorrono nel ponto .c. Dico che in quella medesima parte, non potranno esser tirate dalle medesime estremità due altre linee, lequal concorrino ad altro ponto che nel ponto .c. domente che quella laquale serà tirata dal ponto .a. sia equale alla linea .a.c. & quella che serà tirata dal ponto .b. sia equale alla linea .b.c. laqual cosa, sel fusse possibile, per l’aduersario siano tirate due altre linee da quella medesima parte (cioè uerso .c.) lequale concorrino nel ponto .d. & sia la linea .a.d. equal alla .a.c. e la linea .b.d. equale alla linea .b.c. Adonque, ouer che ’l ponto cade dentro del triangolo, ouer de fora, perche non puo caderne in l’uno & l’altro lato, perche all’hora la parte seria equale al suo tutto. Ma se quel cade di fora, ouer l’una delle due linee .a.d. e .b.d. segarà l’una dell’altra due linee .a.c. ouer .b.c. oueramente che ne l’una ne l’altra seranno segate ne dall’una ne dall’altra; hor poniamo che l’una delle due seghi l’altra delle altre due, come apar in la prima figura e sia protratta la linea .c.d. Adonque perche li duoi lati .a.c. et a.d. del triangolo .a.c.d. sono equali l’angolo .a.c.d. serà equale all’angolo .a.d.c. (per la quinta propositione) similmente perche nel triangolo .b.c.d. li duoi lati .b.c. & .b.d. sono equali li dui angoli .b.c.d. & .b.d.c. seranno similmente equali (per la medema propositione) & perche l’angolo .b.d.c. e maggiore dell’angolo .a.d.c. (sua parte) seguita che l’angolo .b.c.d. sia maggiore dell’angolo .a.c.d. donde che la parte seria maggiore del suo tutto laqual cosa è impossibile. Ma se’l ponto .d. cade de fora del triangolo .a.b.c. talmente che le linee non si seguino come nella seconda figura appare protrarò la linea .d.c. & allongarò le due linee .b.d. & .b.c. sotto alla basa per fina al .f. & al .e. & perche le linee .a.d. & .a.c. son equale li dui angoli .a.c.d. & .a.d.c. seranno equali (per la quinta) similmente perche la .b.c. e la .b.d. son equale li angoli che sono sotto alla basa (liquali sono .c.d.f. & .d.c.e.) seranno equali (per la seconda parte della medema quinta) adonque perche l’angolo .e.c.d. e minor dell’angolo .a.c.d. seguita che l’angolo .f.d.e. sia minor dell’angolo .a.d.c. laqual cosa è impossibile, cioè ch’el tutto sia minor della parte, & per il medesimo modo se