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| la geometria | 197 |
nozioni (sia, p. es., in quella di Hoüel), le suddette proprietà figurino soltanto fra i postulati, ritenendosi invece come assiomi le proprietà per cui la congruenza cade sotto il concetto logico di «eguaglianza». Ed invero i suddetti postulati si presentano immediatamente come l’enunciato di esperienze meccaniche; al loro carattere di certezza non si riattacca un sentimento di necessità paragonabile a quello che accompagna le proprietà fondamentali della congruenza, ma soltanto l’evidenza che sorge da esperienze qualitative.
Helmholtz sembra aver rilevato per primo che la congruenza geometrica non può ritenersi come un’eguaglianza, senza ammettere implicitamente altri fatti essenziali concernenti il movimento. Ed S. Lie, H. Poincarè, D. Hilbert, sotto diversi aspetti hanno reso la cosa più chiara, sottoponendo questi fatti ad una nuova critica.
La veduta fondamentale a cui tali ricerche sono ispirate sembra essere stata accennata per la prima volta nello Erlangen-Programm di F. Klein (1871).
Essa consiste in ciò:
Un movimento pone nello spazio, o in una regione di spazio, una corrispondenza biunivoca puntuale (trasformazione). Affinchè la relazione di due figure trasformabili con un movimento (congruenza) possa ritenersi come una eguaglianza occorre che:
eseguendo successivamente due movimenti si ottenga (come prodotto) una trasformazione che sia ancora un movimento (onde se A = B, B = C, A = C);
la trasformazione inversa di un movimento sia ancora un movimento (onde da A = B, B = A segua A = A).
Ciò si esprime brevemente dicendo che «i movimenti formano un gruppo di trasformazioni». È chiaro che tale affermazione ha il carattere di un’affermazione di fatto, la quale involge certe proprietà d’invarianza relativa dei corpi solidi in movimento e dell’organo tattile, indipendenti dal modo come questo passa da una posizione ad un ’altra.
Ora, dato che i postulati della congruenza, obiettivamente riguardati, hanno, al pari degli altri postulati della Geometria, un valore empirico, come si spiega il sentimento eminente di necessità psicologica che li accompagna?
Consideriamo per semplicità due figure congruenti, costituite da due coppie di punti fisici equidistanti, AB, CD; e poniamo, p. es., che la distanza dei suddetti punti di una coppia sia di tre dita.
Ponendo le tre dita fra A, B e fra C, D, si avranno due sensazioni successive che differiscono per la posizione in cui è stato collocato l’organo tattile, ma che hanno qualche cosa di comune, inerente all’invarianza dell’organo stesso nel passaggio dall’una all’altra posizione. Le rappresentazioni delle due coppie AB, CD non sono identiche, ma possono associarsi per
