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SERIE

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Poichè $|f_{n}|\leq M_{n},|l_{n}|\leq M_{n}$ sarà pure

[3]$|f_{n+1}(x|+f_{n+2}(x)+f_{n+3}(x)+\cdots |{\frac {\epsilon }{3}}$,

[4]$|_{n+1}+l_{n+2}+l_{n+3}+\cdots |<{\frac {\epsilon }{3}}$.

D'altra parte poichè (§ 35, α, pag. 113)

$\lim _{x=\infty }(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})=(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n})$,

si p otrà trovare un intorno di a, in cui

[5] $|f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})-(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n})|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Cosicchè, in virtù delle [3], [4], [5], in questo intorno, sarà

$|(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}+f_{n+1}+\cdots )-(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}+l_{n+1}+\cdots )|\leq$

$\leq |(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})-(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n})|+$

$+|f_{n+1}+f_{n+2}+\cdots |+|l_{n+1}+l_{n+2}+\cdots |\leq \epsilon$.

Dunque, dato un ε piccolo a piacere, esiste un intorno di a in cui vale questa disuguaglianza.

Per la definizione di limite avremo pertanto:

Se una serie di funzioni (reali o complesse) è totalmente convergente in un intorno del punto a, e se per $x=a$ i suoi termini ammettono un limite (certo finito), il limite della serie per $x=a$ è uguale alla serie dei limiti.

Ne segue tosto che: Se i termini di una serie totalmente convergente sono funzioni continue, la somma della serie è una funzione continua.

I precedenti teoremi valgono anche per le serie uniformemente convergenti, di cui la serie totalmente convergenti sono un caso particolare. Si dice che la serie $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots$ converge ed ha per somma $f(x)_{1}$ se, prefissato un $\epsilon >0$ piccolo a piacere, per ogni valore di $x$ nell'intervallo considerato esiste un intero m tale che per $n>m$ sia $|f(x)-[f_{1}(x)f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)]|<\epsilon$.

Questo valore di m varia generalmente con $x$; ma se (comunque sia stato scelto ε) si può trovare un valore di m, tale che la precedente disuguaglianza valga per tutti i valori della $x$, la serie si dice uniformemente convergente. In altre parole per una serie convergente il numero m è generalmente funzione di $x$ e di ε (che, al variare di $x$, può anche avere $+\infty$ per limite superiore); per una serie uniformemente (in uguale grado) convergente si deve poter scegleire un m, che sia funzione della sola ε.

Questi teoremi si estendono senz'altro alla serie, i cui termini sono funzioni di più variabili; essi, si noti, sono affatto analoghi ai teoremi corrispondenti per le somme di un numero finito di funzioni.