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derivate, differenziali

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Siano $x_{0}$ ed $x_{0}+h$ le ascisse $OA',OB'$ dei punti $A,B$. Le corrispondenti ordinate $A'A,B'B$ saranno $f(x_{0})f(x_{0}+h)$, cosicchè il coefficiente angolare della nostra retta è

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}-h)-x_{0})}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$,

come del resto si poteva trarre direttamente da note formole di Geometria analitica.

E per la definizione precedente avremo che il coefficiente angolare della retta tangente in $A$ esiste ed è uguale a

$\lim _{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f_{(}x_{0})}{h}}$,

se questo limite esiste. Se noi vogliamo tener conto che $x_{0}$ può avere un valore qualsiasi dell'intervallo che si considera, possiamo scrivere $x$ al posto di $x_{0}$, e dire così:

La retta tangente alla curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare il $\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

§ 49. — Derivata.

α) Sia $f(x)$ una funzione reale.

Nei due precedenti §§ si è presentato il rapporto

${\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Il denominatore e il numeratore sono il primo e la differenza di due valori della variabile indipendente $x$, l'altro la differenza dei due valori corrispondenti della funzione $f(x)$. Perciò di suol anche porre (ricordando la lettera iniziale della parola: differenza)

$h=(x+h)-x=\Delta x$,

$f(x+h)-f(x)=\Delta f$.

Il primo sarà detto incremento della $x$, l'altro incremento della $f(x)$. Il rapporto

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

viene perciò chiamato anche chiamato rapporto incrementale.