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CAPITOLO VIII — § 51

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δ) Si trovi la derivata di $y=a^{x}(a>0)$.

Si ha

$y'=\lim _{h=0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {a^{z}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\lim _{h=0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=$

$=a^{x}\log _{e}a$ (cfr. § 38, pag. 127).

In particolare la derivata $y=e^{x}$ è uguale a

$y'=e^{x}\log _{e}=e^{x}$.

ε) Si trovi la derivata di $y=\log _{a}x(a>0)(x>0)$.

Si ha $y'?\lim _{h=0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}$.

Posto $h={\frac {x}{m}}$, ossia posto $m={\frac {x}{h}}$, se ne deduce:

$y'=\lim _{m=\infty }{\frac {\log _{a}\left(x+{\frac {x}{m}}\right)-\log _{a}x}{x:m}}={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }m\log _{a}{\frac {x+{\frac {x}{m}}}{x}}=$

$={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }\log _{a}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=\log _{a}e$.

In particolare, se $a=e$, si ha che la derivata di $y=\log _{e}x$ è $y'{\frac {1}{x}}$: coò che del resto avevamo già trovato (pag. 166, es. 1°, γ) per via geometrica.

λ) Derivare $y=x^{n}$ ($n$ intero positivo).

Ris. Si noti che

$(x+h)^{n}=x^{n}+nhx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}x^{n-2}+\cdots$

Si troverà $y'=nx^{n-1}$.

η) Derivare $y={\sqrt {x}}$.

Si ha

$y'=\lim _{h=0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}=\lim {\frac {(x+h)-x}{h|{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}|}}$.

Si trova $y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.