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derivate, differenziali

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**ALTRE DERIVATA NOTEVOLI (a=cost.).**
$y={\text{cost}}$ ; $y'=0$
$y=[f(x)]^{n}$ ; $y'=n[f(x)]^{n-1}f'(x)$	$y={\sqrt[{n}]{x}}$ ; $y'={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{a-1}}}}}$
$y={\text{arctg}}{\frac {x}{a}}$ ; $y'={\frac {a}{x^{2}+a^{2}}}$	$y={\sqrt {x}}$ $y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
$y={\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}$ ; $y'={\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$	$y={\sqrt[{n}]{f(x)}}$ ; $y'={\frac {f'(x)}{n{\sqrt[{n}]{f)x=^{n-1}}}}}$
$y=a\,\varphi \,(x)$ ; $y'=a\,\varphi '(x)$	$y={\sqrt {f(x)}}$ ; $y'={\frac {1}{2{\sqrt {f(x)}}}}f'(x)$

§ 61. — Derivate succive.

α) Sia $v(x)$ la velocità di un punto mobile $M$ all'istante $x$ . Il movimento si dice uniformemente accelerato, se la velocità riceve incrementi uguali in tempi uguali; e il tal caso il rapporto ${\frac {\Delta \,v}{\Delta \,x}}$ , dove $\Delta v$ è l'incremento ricevuto dalla velocità in un intervallo di tempo di ampiezza $\Delta x$ , si dice l'accelerazione del movimento.

Ne caso generale tale rapporto assume il nome di accelerazione media nell'intervallo ( $x,x+\Delta x$ ) di tempo considerato. E, per ragioni analoghe a quelle svolte negli esempi di pag. 157 e seg., il suo limite per $\Delta x=0$ , ossia $v'(x)=\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta v}{\Delta x}}$ si dice accelerazione all'istante $x$ . L'accelerazione si presenta così come la derivata della velocità $v(x)$ rispetto al tempo $x$ .

Ora, se $y=f(x)$ è lo spazio percorso dal nostro punto $M$ all'istante $x$ , è $v(x)=f'(x)$ . Quindi l'accelerazione è data dalla derivata della derivata $f'(x)$ di $f(x)$ .

β) In generale la derivata della derivata $f'$ di una funzione $y=f(x)$ si indica con $y''$ o con $f''(x)$ e si chiama derivata seconda di <math<y=f(x)</math>. Questa p una nuova funzione di $x$ , che a sua volta può ammettere una derivata che si chiama derivata terza di $y$ e si indica con $y'''$ o con $f'''(x)$ . E così via.