Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/214

198

CAPITOLO IX — § 63

---

Se si suppone senz'altro $\varphi '(x)\not =0$ nei punti interni all'intervallo ($a,b$), allora soltanto nel punto (incognito) c sarà $\varphi '(c)\not =0$, ma sarà anche soddisfatta l'altra ipotesi iniziale $\varphi (a)\not =\varphi (b)$, esisterebbe, per il teorema di Rolle, almeno un punto $x$, interno all'intervallo, ove si avrebbe $\varphi '(x_{1})=0$.

Se $f(a)=\varphi (a)=0$, allora, posto $b=x,c=x_{1}$, se ne deduce:

${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}={\frac {f'(x_{1})}{\varphi '(x_{1})}}$          (1)

[$x_{1}$ appartenente all'intervallo $(a,x)$].

Cioè:

Se le funzioni continue e derivabili f (x), φ (x) sono nulle per x$=$a, e nei punti interni all'intervallo (a, x) la φ' (x) è differente da zero, allora il rapporto ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ è uguale al rapporto delle derivata prime in un punto x₁ interno all'intervallo (a, x).

Al variare della $x$ in un intorno $\alpha$ di $a$, la $x_{1}$ percorrerà un certo insieme $\gamma$ di valori dello stesso intorno (cfr. Nota a pag. 200).

Se esiste il $\lim _{x=a}{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}$ , esisterà anche il $\lim _{x_{1}=a}{\frac {f'(x_{1})}{\varphi _{(}x_{1}}}$, e quindi per la (1) esisterà anche il $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$, cioè il limite del rapporto delle loro derivate prime $\mathrm {f'(x),\varphi '(x)}$.

Se anche le derivate prime di $f,\varphi$ sono nulle nel punto $a$ e se $\varphi ''\not =0$ quando $x\not =a$, potremo, applicando di nuovo lo stesso teorema, scrivere l'uguaglianza

${\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}={\frac {f''(x_{2})}{\varphi ''(x_{2})}}$

dove $x_{2}$ è un punto intermedio tra $a$ ed $x_{1}$ e quindi anche intermedio tra $a$ ed $x$.

Così continuando troviamo infine che, se esistono le derivata delle f, φ fino a quelle di ordine $\mathrm {n+1}$, se le $\mathrm {f,\varphi }$ e le prime loro n derivate sono nulle per $\mathrm {x=a}$ (mentre le $\mathrm {\varphi ',\varphi '',\cdots ,\varphi ^{(n)},\varphi ^{(n+1)}}$ sono differenti da zero per $\mathrm {x\not =a}$), allora

${\frac {f(x)}{\varphi (x)=}}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{\varphi ^{(n+1)}(\xi )}}$,

dove $\xi$ è un punto intermedio tra a ed x.

Se ne deduce una celebre formola dovuta pure a Lagrange conservando le ipotesi fatte per $f(x)$ e ponendo $\varphi (x)=(x-a)^{n+1}$ col che le ipotesi fatte per $\varphi (x)$ risultano soddisfatte. Poichè