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capitolo x — § 69 — serie di potenze

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donde, ponendo nella nostra serie successivamente $x={\frac {2}{10}}$, $x={\frac {1}{239}}$ si trova:

${\frac {\pi }{4}}=4\left\{{\frac {2}{10}}-{\frac {1}{3}}{\frac {2^{3}}{1000}}+{\frac {1}{5}}{\frac {2^{5}}{100.000}}-.....\right\}-$

$-\left\{{\frac {1}{239}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{239}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({1}{239}\right)^{5}-.....\right\}$.

la quale formola ha servito al calcolo di $\pi$ fino alla $704^{esima}$ cifra decimale. Come esercizio, il lettore ne deduca il valore di $\pi$ con due cifre decimali esatte.

8° Analogamente si osservi che:

$(\mathrm {arcsen} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$;

che per $|x|<1$ si può sviluppare in serie binomiale:

$(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=1-{\frac {1}{2}}(-x^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {1}{2}}-1\right)}{1\,\cdot \,2}}(-x^{2})^{2}+$

$+.....=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {1\,\cdot \,3}{2^{2}\lfloor {2}}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}\lfloor {3}}}x^{6}+.....$

Si trova per $|x|<1$ con metodo analogo al precedente che:

$\mathrm {arcsen} \,x=x+{\frac {x^{3}}{2\,\cdot \,3}}+{\frac {1\,\cdot \,3}{2^{2}\lfloor {2}}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2^{3}\lfloor {3}}}{\frac {x^{2}}{7}}+{\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5\,\cdot \,7}{2^{4}\lfloor {4}}}{\frac {x^{9}}{9}}+.....$

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