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capitolo xi — § 72

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teorema è geometricamente intuitivo; dall'ipotesi scende infatti che i punti della curva $t=f(x)$ di ascissa $b$, o di ascissa $c$ sono da banda opposta all'asse delle $x$. La curva $y=f(x)$ quindi deve incontrare almeno in un punto dell'intervallo ($b$, $c$) l'asse delle $x$.

γ) Supponiamo: 1° che nell'intervallo ($b$, $c$) la $f''(x)$ conservi un segno variabile, che quindi la curva $y=f(x)$ volga la concavità sempre da una stessa parte in tale intervallo; 2° che $f(b)$ ed $f(c)$ siano di segno opposto; 3° che nell'intervallo ($b$, $c$) esista una sola radice $a$ dell'equa<ione $f(x)=0$.

I numeri $b$, $c$ si possono considerare come valori approssimati (l'uno per difetto, l'altro per ecceddo) della radice $a$. Vogliamo trovarne dei valori più approssimati. Ricordiamo che per il precedente lemma la curva $y=f(x)$ è tutta interna al triangolo $BCD$ formato dalle tangenti $DB$, $CD$ nei punti $B$, $C$ di ascissa $b$, $c$, e della corda $BC$

Il punto $a$ cercato è dunque compreso tra i punti ove l'asse delle $x$ incontra la corda $BC$ e la spezzata $BD+DC$. Tali punti $b_{1}$, $c_{1}$ sono due valori più approssimati che $b$, $c$ al valore cercato $a$. Ripetendo per tali punti quanto si è detto per i punti $b$, $c$, troveremo due valori $b_{2}$, $c_{2}$ ancor più approssimati.

E si può dimostrare che, così continuando, si può ottenere il valore di $a$ con qualsiasi approssimazione prefissata.

δ) Il nostro procedimento geometrico si può facilmente tradurre in formole analitiche. L'equazione della corda $BC$ è ${\frac {y-f(b)}{x-b}}={\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}$; l'ascissa della sa intersezione con l'asse delle $x$ si ottiene ponendo $y=0$, cosicchè $x={\frac {b\,f(c)-cf(b)}{f(c)-f(b)}}$.

Le tangenti di $B$ e $C$ hanno per equazione

          ${\frac {y-f(b)}{x-b}}=f'(b)$,                          ${\frac {y-f(c)}{x-c}}=f'(c)$;

ed incontrano l'asse delle $x$ rispettivamente nei punti

          $x=b-{\frac {f(b)}{y'(b)}}$,                              $x=c-{\frac {f(c)}{f'(c)}}$.

Quale di questi punti è l'intersezione dell'asse $x$ con la spezzata $BD+DC$? Evidentemente quello che appartiene all'intervallo ($b$, $c$); e se entrambi appartengono a tale intervallo, quello che è più vicino al punto già determinato ove la retta $BC$ incontra l'asse delle $x$.