) di frazioni semplici, ciascuna delle quali ha per denominatore uno dei fattori di primo o di secondo grado, in cui, secondo il teorema del § 16, pag. 52-53, si può decomporre il denominatore ;
) della derivata di una frazione
,
il cui denominatore è il massimo comun divisore di e , ossia il polinomio che si deduce da diminuendo di un'unità l'esponente di ognuno dei suoi fattori precedentemente citati, mentre è un polinomio di grado inferiore al grado di . Cosicchè, se è privo di fattori multipli, è una costante (polinomio di grado zero), è quindi nullo; e questa funzione è nulla.
Oss. Notiamo che in ) abbiamo dato due modi per calcolare . Secondo il caso, sarà più utile l'uno o latro procedimento.
Così, p. es., se
,
dal teorema precedente risulta che in ogni frazione si può decomporre nella somma:
) del polinomio ottenuto dividendo per ;
di tre frazioni semplici
, , ;
e infine di una derivata
.
E noi, anzichè dimostrare il teorema in generale, ci riferiremo per semplicità a questo esempio. La dimostrazione si estende però al caso più generale soltanto con qualche complicazione di notazioni.
Dim. Siano , quoziente e resto ottenuti dividendo per . Tale resto sarà di grado inferiore al grado di , che nel caso attuale vale . Potremo porre
(1)