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capitolo xii — § 78

§ 78. — Integrali singolari.

$\alpha$) Finora ci siamo limitati ad integrali di funzioni continue nell'intervallo considerato. Vogliamo ora definire gli integrali di una funzione $f(x)$ che nell'intervallo ($a$, $b$) che si considera dappertutto continua, eccettuato un numero finito di punti singolari.

Ciò, per es., avviene se volessimo studiare l'espressione $\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx$, poichè ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ è singolare per $x=0$. Osserveremo che, se $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ è continua nell'intervallo $\epsilon .....1$; cosicchè ha un significato perfettamente determinato lo $\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx$, che, calcolato coi soliti metodi, si riconosce uguale a $(2-2{\sqrt {\epsilon }})$.

Calcoliamo ora il

$\lim _{\epsilon =0}\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon =0}(2-2{\sqrt {\epsilon }})$.

Tale limite esiste ed è uguale a $2$.

E noi porremo per definizione

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon =0}\int _{epsilon}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=2$.

Più in generale, se nello $\int _{a}^{b}f(x)dx$ è, per esempio, $a<b$ e la $f(x)$ è singolare in $a$, ma è continua nell'intervallo $a+\epsilon ,.....b$, dove $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere ($\epsilon <b-a$), allora noi cercheremo il $\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$. Se questo limite esiste ed è finito, porremo per definizione

$\int _{b}^{a}f(x)=\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$.

Se invece tale limite non esiste o non è finito $\left({\text{come, p. es., avviene di}}\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {dx}{x-a}}\right)$, tale integrale sarà per noi un simbolo privo di significato.