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capitolo i — § 4

§ 4. — Numeri reali.

Insieme ai numeri positivi l’algebra considera, come è noto, anche i numeri negativi; i quali con le seguenti convenzioni, trovano pure applicazione nel problema della misura dei segmenti.

$\alpha$) Una retta $r$ si dice orientata, se è fissato su di essa un verso che si assume come positivo (nella figura e in quanto segue da sinistra a destra). Un segmento orientato di tale retta $AB$ si ritiene percorso nel verso dal punto $A$ al punto $B$, e si ritengono distinti i segmenti (orientati) $AB$, $BA$ i cui versi sono opposti.

Misura algebrica di un segmento $AB$ di $r$ è il rapporto di tale segmento al segmento unitario, preso col segno + o col segno — , secondo che il verso del segmento (il verso da $A$ a $B$) coincide col verso positivo o col verso negativo di $r$. E se noi indichiamo con uno stesso simbolo un segmento e la sua misura, e per convenzione poniamo in generale $a=-(-a)$, avremo $AB=-BA$, $AB+BA=0$. Cioè:

La misura di un segmento cambia di segno se ne invertiamo gli estremi.

I numeri razionali o irrazionali, positivi o negativi, fin qui definiti, hanno ricevuto complessivamente il nome di numeri reali. Se $a$ è un numero reale, con $|a|$ ne indichiamo il valore assoluto; indichiamo cioè con $|a|$ lo stesso numero $a$, se $a$ è positivo e il numero $a$ cambiato di segno, se $a$ è negativo.

$\beta$) Due segmenti orientati si diranno uguali, se hanno lo stesso verso e sono uguali dal punto di vista della geometria elementare: ossia se hanno misure uguali e dello stesso segno.

Due numeri si diranno uguali se hanno uguale segno e uguale valore assoluto. I numeri negativi si considerano minori di zero e dei numeri positivi. Di due numeri negativi si considera maggiore quello che è minore in valore assoluto.

Siano dati i segmenti $c$, $d$; preso un punto qualsiasi $A$ di $r$, si consideri il segmento $AB$ uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a $c$, e quindi il segmento $BC$ uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a $d$. Il segmento $AC$ (ed ogni segmento ad esso uguale) si dirà somma dei segmenti $c$, $d$. Questa definizione coincide evidentemente con la solita, quando i segmenti, $c$, $d$ sono entrambi positivi.