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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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Vogliamo ora trasformare queste formole in altre, in cui compaiono esclusivamente la $f(x,y)$ e le sue derivate. A tal fine si osservi che le successive derivate della $\varphi (t)$ si calcolano coi metodi del § 83, $\delta$, pag. 278, dove è posto $x=a+ht,y=b+kt$. Ricordando poi che il porre $t=0$ equivale a porre $x=a,y=b$ e che il porre $t=\theta$ equivale a scrivere $a+h\theta$ e $b+k\theta$ al posto di $x,y$, si ottiene da (2) in virtù delle (1), (1)^bis:

$f(a+h,b+k)=f(a,b)+\left[h{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+k{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y)}}\right]_{x=a+h\theta y=b+k\theta }=$

$=f(a,b(+[hf'_{x}(a,b)+kf'_{y}(a,b)]+$

$+{\frac {1}{2}}\left[h^{2}{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+2\,hk{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right]_{x=a+h\theta \,y=b+k\theta }$

($0<\theta <1$) $\theta$ varia generalmente dal secondo al terzo membro.

La prima di queste uguaglianze è un'altra forma del teorema della media. Ma mentre la formola del § 81 è ottenuta passando dal punto $(x,y)$ al punto $(x+h,y+k)$ mediante una spezzata coi lati paralleli agli assi (e senza supporre la continuità delle $f'_{x},f'_{y}$), questa è ottenuta eseguendo tale passaggio con un segmento rettilineo (e supponendo $f'_{x},f'_{y}$ continue).

Utile esercizio sarà di generalizzare in modo analogo le precedenti formole sia a funzioni di più che due variabili, sia alla formola e alla serie di Taylor, quando non ci si fermi già ai termini contenenti derivate seconde.

§ 87. — Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili.

$\alpha$) Lemma. Un trinomio omogeneo di 2° grado di due variabili $\mathrm {h,k}$ mai contemporeaneamente nulle

$\mathrm {ah^{2}+2bhk+ck^{2}}$

è sempre differente da zero ed ha costantemente il segno di $\mathrm {a}$, o, ciò che è lo stesso, quello di $\mathrm {c}$, se $\mathrm {ac-b^{2}>0}$. Può invece assumere valori di segno arbitrario se $\mathrm {ac-b^{2}<0}$; ed infine, se il trinomio non è identicamente nullo, esso ha costantemente il segno di $\mathrm {a}$ o di $\mathrm {c}$, ma può annullarsi, quando $\mathrm {ac-b^{2}=0}$

Infatti, se $a=c=0$ e $b\not =0$ allora $a\,c-b^{2}<0$ e al trinomio, che vale $2\,b\,h\,k$ può farsi assumere un segno qualunque, scegliendo per $h,k$, valori di rango opportuno.