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capitolo xiv — § 88-89

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$|f'_{y}|$ sia in $R$ sempre minore di una costante $h$. Questi supposto, sua ha per il teorema della media:

$|B|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y+h)dx-\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }hf'_{y}(x,y+\theta h)dx\right|\leq$

$\leq \left|h\int _{\alpha }^{\beta }Hdx\right|=\left|H(\beta -\alpha )h\right|$

Quindi, per $h=0$, è $\lim B=0$ come dovevai provare.

Se noi conserviamo l'ipotesi che i punti del segmento $y={\text{cost.}}$ lungo il quale si fa l'integrazione appartengano al campo ove $f(x,y)$ è finita e continua, si potrebbe dimostrare che lo $\mathrm {\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx}$ è una funzione continua di $\mathrm {y}$, anche se $\alpha ,\beta$, anzichè costanti, sono funzioni continue di $y$

Per dimostrare tali teoremi nella sola ipotesi della continuità della $\mathrm {f(x,y)}$, basta, esteso il teor. della continuità uniforme alle funzioni di due variabili, ricrdare che $|f(x,y+h)-f(x,y)|$ si può rendere minore di $\varepsilon$ e per tutti i punti $(x,y)$, prendendo $h$ abbastanza piccolo.

§ 89. — Derivazione sotto il segno d'integrale.

Supponiamo che $\alpha$ e $\beta$ siano costanti, e che siano continue tanto la $\mathrm {f(x,y)}$ quanto la $\mathrm {f'_{y}(x,y)}$. Noi diciamo che in tal caso la derivata di $\mathrm {\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx}$ rispetto ad $\mathrm {y}$ vale $\mathrm {\int ^{\beta }f'_{y}(x,Y)}$; che cioè la derivata del nostro integrale è uguale all'integrale della derivata che si ottiene per ciò derivando la funzione che compare sotto il segno di integrale.

Oss. Per la dim. completa basta ricordare che, essendo $f'_{y}$ continua, essa è anche uniformemente continua.

Qui consideriamo il solo caso che $|f''_{yy}$ sia nel campo considerato sempre minore di una costante $H$.

Noi dobbiamo calcolare:

$\left(\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right)_{y}=\lim _{h=0}{\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y+h)dx-\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx}{h}}=$

$=\lim _{h=0}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx$.

Per la formola di Taylor è

$f(x,y+h)-f(x,y)=hf'_{y}(x,y)+{\frac {h^{2}}{2}}f''_{yy}(x,y+\theta h)$

$(0<\theta <1)$.