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funzioni additive generali e integrali multipli

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il limite superiore $\mathrm {L}$ e l'inferiore $\mathrm {I}$ dei valori della derivata $\mathrm {F}$ nei punti di $\mathrm {\tau }$¹.

Se, p. es., $S(\tau )$ è il peso del pezzo $\tau$, allora ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$ è la densità media i $\tau$; e tale teorema ci dice (precisamente come nel caso delle sbarre) che la densità media di un pezzo $\tau$ non può superare il massimo (o il limite superiore=, nè essere inferiore al minimo o(o limite inferiore) della densità nei varii punti del pezzo considerato.

Dimostriamo, p. es., che non può essere ${\frac {S(\tau )}{\tau }}=L+\epsilon$ con $\epsilon >0$.. Diviso infatti $\tau$ in due campi parziali $\tau _{1}$ e $\tau '_{1}$, sarebbe $S(\tau )=S(\tau _{1})+S(\tau '_{1})$; cosicche

${\frac {S(\tau )}{\tau }}...{\frac {S(\tau _{1})+S(\tau '_{1})}{\tau _{1}+\tau '_{1}}}=L+\epsilon$.

Poichè ${\frac {S(tau_{1})+S(\tau '_{1})}{\tau _{1}+\tau '_{1}}}$ non può superare la più grande delle ${\frac {S(\tau _{1})}{\tau }},{\frac {S(\tau '_{1}}{\tau _{1}}}$, una di queste frazioni, p. es. la ${\frac {S(\tau )}{\tau _{1}}}$, sarà non minore di $L+\epsilon$. In $\tau _{1}$ esisterà. come si dimostra in modo analogo, un campo $\tau _{2}$ tale che ${\frac {S(\tau _{2})}{\tau _{2}}}\geq L+\epsilon$. E così via.

È facile dare una legge di divisione dei successivi campi $\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}$, ecc., in campi parziali cos+ che esista uno e un solo punto $A$ interno a tutti i campi $\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}$, ecc.

La derivata di $S(\tau )$ in $A$, cioè $\lim _{n=\infty }{\frac {S(\tau _{n}}{\tau _{n}}}$ non potrà dunque essere inferiore ad $L+\epsilon$; ciò che è assurdo, perchè $L$ è il limite superiore dei valori di tale derivata in tutto $\tau$.

$\beta$) Possiamo anche estendere la nozione di differenziale. Se $F$ è la derivata di $S$, il $\lim {\frac {S(\tau )}{\tau }}$, quando tutti i punti di $\tau$ tendono a un punto $A$, o, come diremo, per $\tau =A$, vale il valore $F(A)$ della $F$ nel punto $A$. Cosicchè $\lim _{\tau =A}\left[{\frac {S(\tau )}{\tau }}-F(A)\right]=0$. Potremo dunque scrivere:

${\frac {S(\tau )}{\tau }}=F(A)+\epsilon$,

dove $\epsilon$ tende a zero per $\tau =A$, ossia

$S(\tau )=F(A)\tau +s\tau$.

1. Si potrebbe provare che ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$ è proprio uguale al calore di $F$ in un punto $A$ di $\tau$, se il valore di $S$ corrispondente a uno strato (pezzo limitato da due rette o piani paralleli) di $I$ tendesse a zero col tendere a zero dello spessore dello strato. Ma queste considerazione hanno importanza soltanto per quegli studii più generali, a cui abbiamo accennato, che riguardano funzioni $F$ non continue.