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funzioni additive generali e integrali multipli

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Ora $\int _{l}^{L}y_{2}dx$ è l'area del rettangoloide limitato dall'asse delle $x$, delle due ordinate passanti per <math<A</math> e per $B$ (cfr. fig. 41) e della curva $ACB$, mentre $\int _{l}^{L}y_{1}dx$ è l'area del rettangoloide limitato dalle stesse rette e dalla curva $ADB$ (fig. 41). Fig. 41. La differenza del terzo membro di (4) vale quindi la differenza tra le aree dei due rettangoloidi, cioè l'area di $\sigma$

c.d.d.

Se $\sigma$ è decomponibile in più campi $\sigma _{1},\sigma _{2},.....,\sigma _{n}$, il contorno di ciascuno dei quali è incontrato al più in due punti da una retta $x={\text{cost.}}$ (come avviene nei casi più comuni) l'integrale (3) esteso a $\sigma$ ha un valore che, come sappiamo, è la somma dei valori corrispondenti ai campi $\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}$ ed è quindi ancora uguale all'area di $\sigma$, c. d. d. (Per semplicità escludiamo le aree $\sigma$, che non si possono decomporre nel modo citato).

Ne segue dubito il nostro teorema; infatti il quoziente ottenuto dividendo (2) per l'area $\sigma$, cioè per (3), è compreso, per quanto già vedemmo, tra $M$ ed $m$, ossia un valore che $F$ assume in un punto di $\sigma$. Se dunque tutti i punti di $\sigma$ tendono a un punto $A$, tale quoziente tende al valore di $F$ in $A$. perciò $F$ è la derivata di (2)</math>.

I^a Osservazione.

In modo simile col simbolo $\int dx\int dy\int F(x,y,z)dz$ esteso a un solido $\tau$ si intende, se $F(x,y,z)$ è continua, quel numero che si ottiene integrando la $F(x,y,z)$ lungo il segmento, o i segmenti che su una retta $y={\text{cost.}},x={\text{cost}}$ sono determinati da <math<\tau</math>, e integrando poi l'integrale così trovato nell'area proiezione di $\tau$ sul piano $xy$.

Se $F=1$, tale integrale è il volume di $\tau$. In generale esso è quella funzione additiva di $\tau$, che ha per derivata $F(x,y,z)$.

II^a Osservazione.

La definizione di derivata di una funzione additiva ha profonda analogia con la definizione di derivate di una funzione