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cambiamento di variabili nelle formole, ecc.

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cosicchè:

$\tau =\left[X\,\Delta X+{\frac {1}{2}}(\Delta \,X)^{2}\right]\Delta \,Y=X\,\Delta \,X\,\Delta \,Y+{\frac {1}{2}}(\Delta \,X)^{2}\,\Delta \,Y$.

Dunque

${\frac {\tau }{k}}=X+{\frac {1}{2}}\Delta X=\rho +{\frac {1}{2}}\Delta \rho$.

Per $\Delta \rho =0$ tale rapporto ha pure per limite $\rho$.

Si potrebbe dire che $\tau$ vale $X\Delta X\Delta Y$, a meno di infinitesimi di ordine superiore.

Bisognerebbe completare questa dimostrazione, considerando campi $k$ di forma qualsiasi; noi ce ne dispensiamo ricordando solo al lettore che gli stessi metodi, con cui nel § 105 abbiamo dimostrato l'esattezza di una formola analoga in coordinate cartesiane ortogonali, potrebbero provare la formola attuale in coordinate polari (cfr. più avanti in questo stesso §).

Osservazione.

Si potrebbero anche applicare i metodi del § 1013, in cui il campo era diviso in pezzi con rette parallele agli assi, cioè con linee di equazione $x={\text{cost.}}<math>,oppurey={\text{cost.}}$ Si dovrebbe ora invece dividere il campo in pezzetti con linee $\rho ={\text{cost.}}$ e $\theta ={\text{cost.}}$ (cerchi col centro nell'origine e rette uscenti dall'origine). Prescindendo dai pezzi sul contorno, gli altri sono quadrangoli la cui area vale, come vedemmo più sopra, $\rho \,d\rho \,+{\frac {1}{2}}\,d\rho ^{2}\,d\theta$. Se $F$ è la funzione da integrare, il suo integrale si trova coi metodi del § 103 uguale al limite di

$\Sigma \,F\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta +{\frac {1}{2}}\Sigma \,F\,d\,\rho ^{2}\,d\,\theta$

per $d\rho =d\theta =0$. (Indico con $F$ un valore assunto da $F$ in un punto di ogni pezzetto). Il primo addendo si prova (§ 105) tendere ad $\int \int \,F\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta$; il secondo addendo tende a zero; perchè, se $H$ è il massimo di $|F|$, ed $\epsilon$ il massimo valore di $d\rho$, allora:

$|\Sigma \,F\,d\,\rho ^{2}\,d\,\theta |<H\,\epsilon \,\Sigma \,d\,\rho \,d\,\theta =H\,\epsilon \,\Sigma \,d\,\rho \,\Sigma \,d\,\theta$.

23 — G. Fusini, Analisi matematica.