Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/372

356

cap. xvii — § 108 bis — cambiamento di variabile, ecc.

---

Supposto che le $x,y$ abbiano derivate prime e seconde finite e continue¹, e ricordando la formola di Taylor

$x(X+dX,Y)=x(X,Y)+x'_{N}(X,Y)dX+{\frac {1}{2}}{x''}_{NN}(X+\theta dX,Y)dX^{2}(0<\theta <1)$.

ed analoghe, si trova che tale area vale il valore assoluto di

${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x'_{N}(X,Y)&x'_{Y}(X,Y)\\x'_{N}(X,Y)&y'_{Y}(X,Y)\end{vmatrix}}dX\,dY+{\frac {\alpha }{2}}\,dX\,dY$

dove $\alpha$ è una quantità che (se con $K$ indichiamo una costante positiva maggiore in valore assoluto di tutti i valori delle derivate prime e seconde delle $x,y$) soddisfa alla

$|\alpha |<K^{2}(dX+dY+dXdY)$.

Altrettanto trovasi per il triangolo <math<BCD</math>. Cosicchè l'area del quadrangolo rettilineo $ABCD$ vale il valore assoluto di

$\left({\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}+\beta \right)dX\,dY$,

dove con ${\frac {d(x,y=}{d(X,Y)}}$ indico il valore in $A$ del cosiddetto Jacobiano

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial X}}&{\frac {\partial y}{\partial X}}\\{\frac {\partial x}{\partial Y}}&{\frac {\partial y}{\partial Y}}\end{vmatrix}}$

e con $\beta$ indico una quantità soddisfacente alla

                                                  $|\beta |<K^{2}(dX+dY+dXdY)$.                              (1)

Moltiplicando tale area per una valore $F$, che la funzione $F(x,y)$ assume in tale quadrangolo, e sommando tutti i prodotti così ottenuti, si trova

$\Sigma \,F\,\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dXdY+\Sigma \,\beta \,F\,dX\,dY$.

In virtù della (1) e con metodi analoghi a quelli dell'osserv. del § 108 si trova che il secondo addendo tende a zero, e che (cfr. § 103):

L'integrale $\mathrm {\int Fd\tau }$ è uguale a

$\int dY\int F\ \left|frac{d(x,y)}{d(X,Y)}\right|dX=\int dX\int F\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dY$.

Se $X=\rho ,Y=\theta ,x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta ,y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$, allora

$\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|=\rho$.

E si ritorna alla formola del precedente § 108.

Oss. Se noi consideriamo $X,Y$ come coordinate cartesiane ortogonali in un altro piano $P$, e indichiamo con $H$ la regione di $P$ che è luogo dei punti corrispondenti ai punti di $I$, se $\tau$ e $k$ indicano al solito le aree di due pezzi corrispondenti di $I$ e di $H$, allora il valore assoluto del precedente Jacobiano vale naturalmente la derivata ${\frac {d\tau }{dk}}$. Dimostrando direttamente questa proposizione, si avrebbe un'altra dimostrazione dei risultati di questo §.

---

---

1. Queste concezioni si potrebbero rendere meno restrittive.