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capitolo xviii — § 110

per le considerazioni precedenti tutte e sole le funzioni $y$ della $x$ che risolvono la (3) o la (4) sono le funzioni rappresentate implicitamente dall'equazione

$f(x,y)=C$ ,

dove $C$ è una costante affatto arbitraria¹.

Esempio.

Si voglia, ad esempio, risolvere l'equazione differenziale ordinaria del primo ordine

$2y+x^{3}+(2x+y^{2})y'=0$ ; (5)

si vogliano cioè trovare tutte e sole le funzioni $y$ della $x$ , che la soddisfano. Poichè $y'={\frac {dy}{dx}}$ , la (5) si può scrivere moltiplicata per $dx$ :

$(2y+x^{3})dx+(2x+y^{2})dy=0$ .

Il primo membro è un differenziale esatto, poichè:

${\frac {\partial }{\partial y}}(2y+x^{3})=2={\frac {\partial }{\partial x}}(2x+y^{2})$ .

Le funzioni $f$ , per cui:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=2y+x^{3}$ , ${\frac {\partial f}{\partial y}}=2x+y^{2}$ ,

si ottengono integrando $2y+x^{3}$ rapporto a $x$ e aggiungendo una funzione di $y$ tale che la funzione che ne risulta abbia per derivata rapporto a $y$ la $2x+y^{2}$ .

Sarà dunque:

$f=2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+Y$ ,

essendo $Y$ tale che:

$\left(2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+Y\right)'_{y}=2x+y^{2}$ .

↑ Più precisamente la $c$ deve soddisfare a questa unica condizione, che la $f(x,y)=C$ sia risolubile rispetto alla $y$ . Così, p. es., se per $x=a,y=b$ , le $f_{x},f_{y}$ sono finite e continue, ed $f'_{x}\not =0$ , si può porre $C=f(a,b)$ . (Cfr. § 84, $\beta$ ).

[1] Più precisamente la $c$ deve soddisfare a questa unica condizione, che la $f(x,y)=C$ sia risolubile rispetto alla $y$ . Così, p. es., se per $x=a,y=b$ , le $f_{x},f_{y}$ sono finite e continue, ed $f'_{x}\not =0$ , si può porre $C=f(a,b)$ . (Cfr. § 84, $\beta$ ).

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