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capitolo xviii — § 110

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Le funzioni $y$ che soddisfano l'equazione differenziale sono date implicitamente dall'equazione:

${\text{cos}}x+{\frac {y^{2}}{2}}=C$

dove $C$ è costante arbitraria.

Risolvendo l'ultima equazione rispetto a $y$ si ha:

$y=\pm {\sqrt {2\,C-2\,{\text{cos}}\,x}}$.

Talvolta, pur non essenso il primo membro della (4) un differenziale esatto a variabili separate, si può con facili artifici ridurlo tale.

Così, ad esempio, si abbia da risolvere l'equazione differenziale:

${\sqrt {x\,y}}\,dx+{\sqrt[{3}]{x\,y}}\,dy=0$,

ossia:

${\sqrt {x}}\,{\sqrt {y}}\,dx+{\sqrt[{3}]{x}}\,{\sqrt[{3}]{y}}\,dy=0$.

Dividendo ambo i membri dell'equazione per ${\sqrt {y}}\,{\sqrt[{3}]{x}}$¹ si ha:

                                        ${\frac {\sqrt {x}}{\sqrt[{3}]{x}}}\,dx+{\frac {\sqrt {y}}{\sqrt {y}}}\,dy=0$.                         (6)

Colla divisione operata abbiamo ricondotto l'equazione differenziale proposta al tipo precedentemente esaminato, onde, integrando la (6), si ha che le dun<ioni $y$ che la risolvono sono date implicitamente dall'equazione:

$\int \,{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt[{3}]{x}}}\,dx+\int {\frac {\sqrt[{3}]{y}}{\sqrt {y}}}\,dy=C$ ($C={\text{cost,}}$)

ossia dalla:

$\left.{\frac {6}{7}}\,x^{\frac {7}{6}}+{\frac {6}{5}}y\right|^{6}=C$.

da cui:

$y=\left({\frac {5}{6}}C-{\frac {5}{7}}\,{\sqrt[{6}]{7}}\right)^{\frac {6}{5}}$.

1. Questa divisione è lecita (se $x$ è generico) supposto $y\not =0$. Bisognerà poi esaminare a parte se la $y=0$ (come avviene appunto nel caso nostro) una soluzione della nostra equazione.