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capitolo xviii — § 110

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Dovrà essere:

${\frac {\partial }{\partial v}}\left(c\,\rho \,{\frac {\partial t}{\partial p}}\right)={\frac {\partial }{\partial p}}\left(C\,\rho {\frac {\partial t}{\partial v}}\right)$

ossia $\rho (c-C){\frac {\partial ^{2}t}{\partial p\,\partial v}}+c{\frac {\partial \rho \,\partial t}{\partial v\,\partial p}}-C{\frac {\partial \rho }{\partial p}}{\frac {\partial t}{|partialv}}=0$

ossia          $c\left\{1+v{\frac {\partial \log \rho }{\partial v}}\right\}=C\left\{1+p{\frac {\partial \log \rho }{\partial p}}\right\}$.

La soluzione più semplice si ottiene, supponendo

$v{\frac {\partial \log \rho }{\partial v}}+1=0$;

$p{\frac {\partial \log \rho }{\partial p}}+1=0$;

ossia supponendo $\rho$ inversamente proporzionale a $p$ e a $v$, ponendo, p. es., $\rho ={\frac {1}{t}}$. Si ha così che ${\frac {dQ}{t}}$ è un differenziale esatto; la funzione, di cui esso è differenziale, dicesi entropia. E ne è ben nota l'importanza termodianmica.

Dicesi abiabatica ogni trasformazione, che non richiede nè assorbimento, nè dispersione di calorico; tali trasformazioni sono quindi definite dalla

$0=d\,Q=c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp+C{\frac {\partial t}{\partial v}}dv$ ossia dalla $c\,dvp+C\,pdv=0$.

Separando le variabili si trova $c={\frac {dp}{p}}+C_{v}^{dv}=0$, cioè

$c\,\log \,p+C\,\log \,v={\text{cost.}}$

                              $pv^{\frac {C}{c}}={\text{cost.}}$   ,   $p={\text{cost.}}\,v^{-{\frac {C}{c}}}$,

che ci dà in termini finiti l'equazione di una adiabatica.

Un'applicazione all'equazione $\mathrm {X(x,y){\frac {\partial f}{\partial x}}+T(x,y){\frac {\partial f}{\partial y}}=0}$.