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capitolo xviii — § 116-117

zioni $\mathrm {k}$ , che si ottengono risolvendo le equazioni (2) e (3)_bis, algebriche lineari nelle $\mathrm {k'}$ .

Si noti, che, se $f(x)=0$ , la (3)_bis si riduce alla (3); le (2) e le (3)_bis dicono $k'=0$ ; cioè $k=$ cost., come avevamo già osservato.

Il metodo qui svolto di integrare la (trovare le soluzioni della) (4) si chiama metodo della variazione delle costanti arbitrarie, in quando che alle $k$ , costanti arbitrarie nella formola che risolve (1), si sostituiscono conveniente funzioni di $x$ nella formola che risolve (4).

§ 117. — Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti.

$\alpha$ ) Supposte ora le $p_{i}$ costanti, cerchiamo se una funzione $y=e^{ex}$ (dove $c=$ cost.) può soddisfare alla: {{centrato| $y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+.....+p_{n}y=0$ . (1) Si osservi che dalla $y=ce^{ex}$ si deduce:

$y'=ce^{cx}$ ; $y''=c^{2}e^{cx}$ ; .....; $y^{(n)}=c^{n}e^{cx}$ .

Sostituendo in (1) si trova che deve essere:

$e^{cx}(c^{n}+p_{1}c^{n-1}+p_{2}c^{n-2}+.....+p_{n-1}c+p_{n})=0$ ,

e, poichè $e^{cx}$ non può essere zero, dovrò essere nullo l'altro fattore; dunque, affinchè $y=e^{cx}$ rappresenti una soluzione particolare dell'equazione, è necessario e sufficiente che $c$ sia una delle $n$ radici dell'equazione algebrica (detta equazione caratteristica):

$c^{n}+p_{1}c^{n-1}+p_{2}c^{n-2}+.....+p{n-1}c+p_{n}=0$ , (2)

la quale si forma dall'equazione differenziale, ponendo in luogo di $y$ e delle sue derivate successive le potenze successive delle incognite $c$ . Si noti che al posto di $y'$ è posto $c^{1}=c$ , ed al posto di $y$ la $c^{0}=1$ .