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capitolo xix — § 123-124

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$ax+by+cz+d=0$ è l'equazione di $\pi '$, le $a,b,c,d$ devono soddisfare alle: $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d=0,ax'_{0}+by'_{0}+cz'_{0}$ e $ax(t_{0}+h)+by(t_{0}+h)+cz(t_{0}+h)+d=0$. All'ultima equazione possiamo, in virtù delle prime due, sostituire la

$a{\frac {x(t_{0}+h)-hx_{0}-x_{0}}{h^{2}}}+b{\frac {y(t_{0}+h)-hy'_{0}-y_{0}}{h^{2}}}+c{\frac {z(t_{0}+h)-hz'_{0}-z_{0}}{h^{2}}}=0$

Passando al limite per $h=o$ e ricordando il risultato del § 63, pag. 199, questa equazione diventa $a{x''}_{0}+b{y''}_{0}+c{z''}_{0}=0$. Ritroviamo così precisamente le (5). Se adottassimo la proprietà qui enunciata per definire il piano osculatore, notiamo che non avremmo dovuto supporre continue le $\mathrm {x'',y'',z''}$, ma che sarebbe bastato supporre determinate e finite le derivate seconde nel punto $\mathrm {t=t_{0}}$.

Si dice piano normale in $A$ il piano

$x'_{0}(x-x_{0})+y'_{0}(y-y_{0})+z'_{0}(z-z_{0})=0$,

luogo delle normali della retta tangente in $A$innalzate dal punto $A$. La sua intersezione col piano osculatore dicesi normale principale.

La normale in $A$ al piano osculatore giace sul piano normale, e dicesi binormale.

La ragione di questo nome sta in ciò che, considerato il piano osculatore come il piano di tre punti $A,B,D$ infinitamente vicini, la binormale è normale alle due rette infinitamente vicine $AB,BD$; le quali congiungendo punti consecutivi, si debbono considerare entrambe tangenti alla curva $C$.

§ 124. — Cerchio osculatore.

$\alpha$) Sia                     $x=x(t)$          ,          $y=y(t)$                                    (1)

una curva piana $Gamma$; le $x(t),y(t)$ posseggano derivate prime e seconde finite e continue in un certo itorno $\gamma$ di $t=a$. Sia $A$ il punto $t=a$: siano $B$ e $C$ due punti $t=a+h,t=a+k$ dell'intorno $\gamma$. Supposto che i tre punti $A,B,C$ di $\Gamma$ non siano allineati, per essi passerà un cerchio di equazione

                        $(x-\xi )^{2}+(y-\nu )^{2}-R^{2}=0$                                        (2)

se $(\xi ,\nu )$ ne è il centro, $R$ il raggio. I punti comun alla curva e al cerchio, soddisferanno all'equazione dedotta sostituendo nella equazione (2) del cerchio i valori delle $\mathrm {x,y}$ dati dalle equazioni (1) di $\Gamma$:

$[x(t)-\xi ]^{2}+[y(t)-\nu ]^{2}-R^{2}=0$.

Il primo membro è una funzione $F(t)$ della $t$, che dovrà esser nulla almeno nei punti $t=a,t=a+h,t=a+k$