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capitolo xix — § 125

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angolare $-{\frac {f'_{x}}{f'_{y}}}$ della tangente a (1) nello stesso punto (e ciò perchè per ipotesi queste due rette tangenti coincidono). La precedente uguaglianza diventa quindi:

                                                  ${\frac {\partial f}{\partial a}}\Psi '(x)=0$.                                            ($\alpha$)

Se in un punto di (2) la ${\frac {\partial f}{\partial a}}$ è differente da zero, la ${\frac {\partial f}{\partial a}}$ (che è per ipotesi continua) sarà differente da zero anche nei punti vicini; e quindi per $(\alpha )$ dovrà ivi essere $\Psi (x)0$, cioè $a=$ costante. Cioè un pezzo almeno della curva (2) sarà addirittura un pezzo di una curva 81): nel caso che considereremo come banale.

Se così non è, avremo:

${\frac {\partial f}{\partial a}}=0$.

Cioè ogni punto $A$ della curva (2) sodisfa contemporaneamente alle:

                                        $f=0$          ${\frac {\partial f}{\partial a}}=0$                                             (3)

per un qualche valore di $a$ [che può variare con $A$, perchè $a=\Psi (x)$]. Viceversa, se per ogni pnto di una curva (2) esiste un valore di $a$ così che ne sieno soddisfatte le (3), allora per ogni $A$ di tae curva (2) esce una curva (1) che è tangente in $A$ a tale curva (2).

Una curva (2) in tali condizioni si chiama inviluppo delle (1). Quindi nelle nostre ipotesi:

L'inviluppo (i uno degli inviluppi) delle (1) è, se esiste, una curva, per ogni punto della quale esiste un valore di $\mathrm {a}$ tale che siano contemporaneamente soddisfatte le (3). Cosicchè, eliminando $\mathrm {a}$ tra le $\mathrm {f=f'a=0}$, si può dedurre spesso l'equazione dell'inviluppo.

Così, p. es., un inviluppo dei cerchi

                                             $(x-a)^{2}+y^{2}-1=0$                                 (4) soddisfa anche alla $2(x-a)=0$, cioè alla $x=a$; e quindi (4) si riduce ad $y^{-}=0$; tali cerchi hanno dunque due inviluppi; la retta $y=1$ e la retta $y=-1$.