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integrali curvilinei superficiali

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§ 128. — Trasformazione di integrali curvilinei nel piano¹.

Se abbiamo un campo piano $\gamma$ limitato da un contorno ad uno o più pezzi, si dirà $\int \,Xdx$ esteso al contorno di $\gamma$ la somma degli integrali $\int \,Xdx$ estesi ai singoli pezzi del contorno di $\gamma$, percorsi in guisa che un osservatore, camminando sul lato del foglio volto verso il lettore e percorrendo ogni pezzo di detto contorno nel verso indicato dalla freccia lasci a sinistra l'area $\gamma$.

Fig. 44. E notiamo che un tale osservatore, che volgesse la faccia verso la direzione positiva dell'asse delle $x$, avrebbe pre alla sinistra la direzione positiva dell'asse delle $y$. Se noi tiriamo una tangente $t$ a un pezzo del contorno di $\gamma$ volta in verso concorde a quello in si percorre detto pezzo del contorno, e tiriamo quindi la normale $n$ volta verso l'interno di $\gamma$, il solito osservatore avrà la direzione $n$ a sinistra, se volge la faccia verso la direzione $t$ (fig. 44.)²

Conserveremo sempre le convenzioni qui fatte.

Teorema 1° — Se $\mathrm {\gamma }$ è la somma di due aree $\mathrm {\gamma ',\gamma ''}$, l'integrale $\mathrm {\int \,X\,dx}$ esteso al contorno di $\mathrm {\gamma }$ è uguale alla somma degli integrali $\mathrm {\int \,X\,dx}$ estesi ai contorni di $\mathrm {\gamma ',\gamma ''}$. Infatti siano

1. I teoremi del § 1228 e seg. sono importanti al tecnico specialmente per le applicazioni alla elettrodinamica, ed anche alla idrodinamica teorica.
2. Al lettore l'enunciato preciso delle condizioni, che si suppongono soddisfatte del contorno. Nel primo campo $\gamma$ della precedente figura, il contorno esterno di $\gamma$ è, si noti, percorso in verso discorde al verso in cui procedono le lancette di un orologio, i contorni interni sono invece percorsi in verso concorde. Qui, si noti, ci riferiamo a campi $\gamma$ limitati. Al lettore l'esame dei campi illimitati.