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integrali curvilinei e superficiali

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completamente determinato il punto $A$; in altre parole si possano risolvere le (1) rispetto alle $x,y$:

$x=x(X,Y)\,\,\,\,\,$$y=y(X,Y)\,\,\,\,\,$(2)

Le (2) posseggano derivate prime e seconde finite e continue.

Assumiamo $X,Y$ come coordinate cartesiane ortogonali in un altro piano. Ogni punto $A$ di $\sigma$ determina i corrispondenti valori delle $X,Y$, e quindi anche il punto $A_{1}$ del piano $XY$, che ha questi valori come coordinate; al variare di math>A</math> in $\sigma$, varierà anche il punto $A_{1}$ riempiendo un'area $Sigma$. Ogni punto $A_{1}$ di $\Sigma$ determinerà a sua volta, per le (2), uno e un solo punto corrispondente di $\sigma$. In questa corrispondenza biunivoca tra i punti di $\sigma$ e di $\Sigma$ ai punti del contorno $s$ di $\sigma$ corriponderanno i punti del contorno $S$ di $\Sigma$.

$\beta$) Quando avviene che in tale corrispondenza si conservi il verso (non la grandezza) degli angoli? Sia $y=\varphi (x)$ una curva $\gamma$ in $\sigma$ e sia ${\frac {dy}{dx}}$ la tangente dell'amngolo $\omega$, che la retta tangente a $\gamma$ in un punto $A$ forma con l'asse delle $x$. Sia $\Gamma$ la curva luogo dei punti di $\Sigma$, che corrispondono ai punti di $\gamma$: e sia $A_{1}$ il punto corrispondente di $A$. La ${\frac {dY}{dX}}$ sarà la tangente dell'angolo $\Omega$, che la retta tangente a $\Gamma$ in $A_{1}$ fa con l'asse delle $X$. Il verso degli angoli sarà conservato, allora e allora soltanto che ${\text{tg}}\Omega$ cresce al crescere di ${\text{tg}}\omega$.