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complementi varii

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§ 134. — Elementi del calcolo delle variazioni.

$\alpha$) La teoria dei massimi e dei minimi si propone di trovare il valore della variabile (o i valori delle variabili) che rendono massima o minima una data funzione. Ma talvolta si presentano problemi di massimo o di minimo di un altro tipo: il problema di cercare la funzione $\varphi (x)$ o la curva $y=\varphi (x)$ che rendono minimo qualche integrale, p. es. la curva $y=\varphi 8x)$ che passa per due punti $A,B$ di ascissa $a,b$ e che ha la minima lunghezza, ossia che rende minimo $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(x)}}\,dx$, oppure la curva passante per due punti $A,B$ posti ad altezze differenti, tale che sia minimo il tempo impiegato da un grave che cade da $A$ a $B$ lungo la curva, ecc., ecc.

Si voglia trovare la funzione $y$ della <math<x</math>, che rende minimo l'integrale $\int _{a}^{b}f(x,y,y')\,dx$, e che assume valori dati a priori per $x=a,x=b$. Si ammetta che tale funzione possegga derivate prime e seconde finite e continue, che per la $f$ e derivate valgano nel campo che esamineremo, tutte le proprietà (continuità, ecc.) necessarie per la validità dei calcoli seguenti.

Se $y=\varphi (x)$ è la funzione cercata (supposto che esista e possegga derivate prime e seconde finite e continue), e se $z(x)$ è una funzione con derivate prima e seconda finite e continue, nulla per $x=a$ e per $x=b$, allora, qualunque sia il valore della costante $t$, la funzione $\varphi (x)+tz(x)$ assume per $x=a$ e per $x=b$ i valori prefissati; e il nostro integrale, ove si ponga $\varphi (x)+tx(x)$ al posto di $y$, ossia

$\int _{a}^{b}f[x,\varphi (x)+tz(x),\varphi '(x)+tz'(x)]dx$

diventa una funzione di $t$ che ha un minimo per $t=0$.

Sarà dunque (§ 70, pag. 226):

${\frac {d}{dt}}\int _{a}^{b}f[x,\varphi (x)+tz(x),\varphi '(x)+tz'(x)]dx=0\,\,\,\,\,$ per $t=0$

ossia (§ 89, pag. 296)

$\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}f[x,\varphi (x)+tz(x),\varphi '(x)+tz'(x)]dx=0\,\,\,\,\,$ per $t=0$

29 — G. Fubini, Analisi matematica.