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| 192 | Maurizio Codogno |
(tutti i teoremi dimostrabili sono veri) e la completezza (tutti i teoremi veri sono dimostrabili). Chi di paradosso ferisce, di paradosso perisce?
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89. Luci della ribalta
Per prima cosa, notate che è impossibile che a un certo punto tutte le lampadine siano spente: per spegnere una lampadina, infatti, occorre che quella precedente sia accesa. Questo è importante, perché se mai si fosse arrivati a quella configurazione da lì non ci si sarebbe più mossi. Definiamo ora uno spazio degli stati, come nel problema 53, che raccolga tutti i possibili modi in cui ci troviamo noi e le lampadine: per la precisione, uno stato viene specificato dicendo se ciascuna delle lampadine è accesa o spenta, e a quale lampadina siamo arrivati nel nostro giro turistico. Il numero di stati è molto grande, per la precisione n∙2n, ma è comunque finito; prima o poi si dovrà perciò tornare in uno stato già visitato, con la configurazione delle lampadine già apparsa mentre si guarda la stessa lampadina. Prendiamo ora il primo istante di tempo t1 in cui rivediamo uno stato che c’era già a un tempo precedente t0, e consideriamo lo stato precedente, t1−1. Visto che si può arrivare a ogni stato in un solo modo, questo doveva essere stato raggiunto al tempo t0−1, il che è impossibile per ipotesi... a meno che t0=0.
Post Scriptum
A vederla così, la dimostrazione spaventa un po’. Però non è difficile capirne l’idea di base; se si trova una definizione di spazio degli stati tale che si può arrivare a un qualunque stato da un solo altro stato, e il numero di stati è finito, siamo costretti a fare un ciclo. È un po’ come mettere un cavallo su una casella ai bordi di una scacchiera e vietargli di tornare indietro alla casella che aveva appena lasciato: se si osserva la scacchiera, si vede che il cavallo si muove qua e là, si direbbe quasi a caso, ma tracciando fisicamente le mosse con un filo e stendendo il filo ci si accorge che in realtà percorre un cerchio... solo un po’ “appallottolato”.
